Книга посвящена методам построения устойчивых приближений решений некорректно поставленных задач. К этому классу задач относится ряд классических математических задач, как например, решение интегральных уравнений первого рода, некоторых задач линейной алгебры, оптимального управления, оптимального планирования и др. Сюда же относятся и так называемые обратные задачи, связанные с интерпретацией экспериментальных наблюдений.

Книга предназначена для широкого круга читателей, интересующихся методами решения таких задач.

Книга содержит 9 иллюстраций, библ. 221 назв.

Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Если исходные данные известны приближённо, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближённого решения. В силу этих особенностей долгое время считалось, что некорректно поставленные задачи не могут иметь практического значения. Однако можно указать некорректно поставленные задачи, относящиеся как к классическим разделам математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач. Это позволяет судить о широте рассматриваемого класса задач. Названия глав и приводимые в книге примеры показывают не только широту этого класса задач, но и многообразие их применения. К числу важных задач относятся задачи создания систем автоматической математической обработки результатов эксперимента (включая интерпретацию), задачи оптимального управления и оптимального проектирования систем.

Одним из существенных этапов обработки является решение задач, неустойчивых к малым изменениям исходных данных. Поэтому не вызывает сомнения необходимость разработки методов решения таких задач. При этом приближённые решения, получаемые по приближённым исходным данным, должны быть устойчивыми к малым изменениям последних.

За последние годы в различных журналах появилось большое количество работ, посвящённых этим вопросам. Назрела необходимость написания книги, посвящённой методам решения некорректно поставленных задач, в которой в доступной для широкого круга читателей форме излагались бы основные идеи и вопросы, связанные с построением решений таких задач по приближённым данным, устойчивых к малым изменениям последних. Такую книгу мы и предлагаем вниманию читателей.

Исходные данные некорректно поставленных задач, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при построении приближённых решений и при оценке их погрешности, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный. В предлагаемой книге мы ограничиваемся, как правило (кроме гл. IV и V), детерминированным подходом. Вероятностный подход рассматривается, например, в работах […].

В книге развивается метод регуляризации построения приближённых решений некорректно поставленных задач, разработанный в […].

Мы не ставили перед собой цели дать обзор имеющейся литературы по некорректно поставленным задачам. Поэтому приводимый в конце книги список литературы не претендует па полноту. Обзор литературы читатель может найти, например, в […].

Книга предназначается для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, а также для инженеров и научных работников, интересующихся вопросами математической обработки и прогнозирования экспериментов…

ПРЕДИСЛОВИЕ
акад. А. Н. Тихонов, проф. В. Я. Арсенин

Предисловие	5

Введение	7

§ 1. О некоторых аспектах в постановке математических задач	7
§ 2. Понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач	12
§ 3. Примеры некорректно поставленных задач	15

Г л а в а I. Метод подбора. Квазирешения	30

§ 1. Метод подбора решения некорректно поставленных задач	31
§ 2. Квазирешения	35
§ 3. Приближённое нахождение квазирешений	39
§ 4. Замена уравнения Az = u близким ему	42
§ 5. Метод квазиобращения	43

Г л а в а II. Метод регуляризации	46

§ 1. Понятие регуляризирующего оператора	46
§ 2. О способах построения регуляризирующих операторов	51
§ 3. О построении регуляризирующих операторов с помощью минимизации
сглаживающего функционала	61
§ 4. Применение метода регуляризации к приближённому решению
интегральных уравнений первого рода	71
§ 5. Примеры применения метода регуляризации	75
§ 6. Определение параметра регуляризации	83

Г л а в а III. О решении вырожденных и плохо
обусловленных систем линейных алгебраических уравнений	90

§ 1. Метод регуляризации нахождения нормального решения	94
§ 2. Дополнительные замечания	101

Г л а в а IV. О приближённых решениях интегральных
уравнений первого рода типа свёрток	102

§ 1. Классы регуляризирующих операторов для уравнений типа свёрток	103
§ 2. Уклонение регуляризованного решения от точного	115
§ 3. Асимптотические оценки уклонения регуляризованного решения от
точного для уравнения типа свёртки при α → 0	120

Г л а в а V. О некоторых оптимальных регуляризирующих
операторах для интегральных уравнений типа свёртки	134

§ 1. Оптимальное регуляризованное решение. Связь метода
регуляризации с оптимальной фильтрацией по Винеру	136
§ 2. Свойства функции ψ(p) для уравнений с ядрами I—IV типов	141
§ 3. Определение высокочастотных характеристик сигнала и шума
и оптимального значения параметра регуляризации	148

Г л а в а VI. Устойчивые методы суммирования рядов Фурье
с приближёнными в метрике l₂ коэффициентами	157

§ 1. Классы устойчивых методов суммирования рядов Фурье	159
§ 2. Об оптимальных методах суммирования рядов Фурье	167

Г л а в а VII. Об устойчивых методах минимизации функционалов
и решения задач оптимального управления	171

§ 1. Устойчивый метод минимизации функционалов	174
§ 2. Устойчивый метод решения задач оптимального управления	181

Г л а в а VIII. Устойчивые методы решения задач
оптимального планирования (линейного программирования)	189

§ 1. О постановке задач оптимального планирования
и математического программирования	190
§ 2. Задачи оптимального планирования. Существование решений
и единственность	194
§ 3. Метод регуляризации решения задач оптимального планирования	198

Литература	211

Предметный указатель	222

Книги на ту же тему

Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Некорректные задачи теории возмущений (асимптотические методы механики), Панченков А. Н., ред., 1984
Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981
Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд., исправл., Петровский И. Г., 1965
Интегральные уравнения, Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я., 1968
Интегральные уравнения (Введение в теорию), Краснов М. Л., 1975
Интегральные уравнения. — 2-е изд., испр., Привалов И. И., 1937

elapsed time 0.018 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему