КнигоПровод.Ru19.04.2021

/Наука и Техника/Математика

Гиперкомплексные числа — Кантор И. Л., Солодовников А. С.
Гиперкомплексные числа
Кантор И. Л., Солодовников А. С.
год издания — 1973, кол-во страниц — 144, тираж — 60000, язык — русский, тип обложки — мягк., масса книги — 120 гр., издательство — Физматлит
КНИГА СНЯТА С ПРОДАЖИ
Сохранность книги — хорошая

Формат 84x108 1/32. Бумага типографская №2
ключевые слова — гиперкомплексн, кватернион, октав, алгебр, фробениус, гурвиц, чисел, арифмет, ортонормирован, базис, ортогональн, преобразован, изоморф, подалгебр, нормированн, коммутативн

Эта брошюра посвящена гиперкомплексным числам — обобщению обычных комплексных чисел. В ней рассказывается о том, к чему приводит замена одной «мнимой единицы» i несколькими мнимыми единицами, иначе говоря, рассказывается о величинах вида a + bi + сj… В частности, книга знакомит читателя с замечательными примерами гиперкомплексных чисел — кватернионами и октавами. Эти числа играют большую роль в различных математических вопросах. В книге рассматриваются два таких вопроса: разыскание «алгебр с делением» (теорема Фробениуса) и разыскание «нормированных алгебр» (теорема Гурвица).


Предметом этой книжки являются различные системы «чисел», которые можно построить, исходя из действительных чисел, путём добавления ряда «мнимых единиц». Классический пример такой системы — это система комплексных чисел.

Одно из важнейших свойств комплексных чисел выражается тождеством

(1)     |zz'| = |z|·|z'|

(модуль произведения равен произведению модулей). Если обозначить z = a12i, z' = b1 + b2i, то (1) перепишется в виде

        (a1b1 - a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2 = (a12 + a22) (b12 + b22).

Прочитанное справа налево, это тождество звучит так: «произведение суммы двух квадратов на сумму двух квадратов есть снова сумма двух квадратов».

Существуют ли подобные тождества с большим, чем 2, числом квадратов?

Как описать все такие тождества?

Ещё Л. Эйлер указал пример тождества для 4 квадратов; позже было найдено тождество для 8 квадратов. Однако полное решение вопроса удалось получить только в конце XIX века.

Можно предположить, что каждое тождество «для n квадратов» связано с формулой (1), в которой z и z' обозначают уже не комплексные числа, а «числа» более общего вида:

        a1 + a2i + a3 j + … + an,

где i, j, …, ℓ — мнимые единицы. Несколько упрощая положение вещей, можно сказать, что это действительно так. Установление связи между тождествами «для n квадратов» и формулой (1) для некоторых систем «гиперкомплексиых» чисел составляет одну из основных линий в общем построении этой книжки.

Другой вопрос, которому уделено в этой книжке много места, — это вопрос о делении гиперкомплексных чисел. Дело в том, что в любой системе гиперкомплексных чисел определены только три из четырёх «арифметических» операций: сложение, вычитание и умножение. Что же касается деления, то вопрос о возможности этой операции для данной системы гиперкомплексных чисел требует отдельного рассмотрения. Вообще, следует сказать, что гиперкомплексные системы, в которых возможно деление, составляют большую редкость. Разумеется, системы действительных чисел, так же как и комплексных, являются примерами систем с делением. Но, кроме них, имеются и другие примеры. Самыми замечательными среди них являются система так называемых кватернионов и система октав. Проблема разыскания всех гиперкомплексных систем с делением исчерпывающим образом не решена и до сих пор. Несколько вариантов этой проблемы будут рассмотрены в данной книжке.

Первая глава этой книги знакомит читателя с различными примерами гиперкомплексных чисел, в том числе с «кватернионами» и «октавами»; для тех и других справедлива формула (1), и те и другие составляют «систему с делением». Третья глава посвящена исключительной роли, которую играют три системы: комплексных чисел, кватернионов, октав по отношению к поставленным выше вопросам. Вторая глава является вспомогательной: в ней излагаются на элементарном уровне основные понятия линейной алгебры.

Книжка рассчитана на учащихся математических школ и просто всех интересующихся математикой. Первая и вторая главы в основном доступны школьнику старших классов, чтение других разделов может потребовать от него довольно напряжённых усилий. Во всех случаях никаких предварительных знаний от читателя не требуется.

ПРЕДИСЛОВИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие3
 
Глава 1
ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
 
§ 1. Комплексные числа5
§ 2. Другие арифметики для чисел a + bi9
§ 3. Кватернионы15
§ 4. Кватернионы и векторная алгебра24
§ 5. Гиперкомплексные числа31
§ 6. Процедура удвоения. Октавы36
§ 7. Алгебры47
 
Глава 2
n-МЁРНЫЕ ВЕКТОРЫ
 
§ 8. n-мерное векторное пространство An59
§ 9. Базис пространства An64
§ 10. Подпространства71
§ 11. Лемма об однородной системе уравнений74
§ 12. Скалярное произведение76
§ 13. Ортонормированный базис. Ортогональное преобразование83
 
Глава 3
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОСТЬ ЧЕТЫРЁХ АЛГЕБР
 
§ 14. Изоморфные алгебры91
§ 15. Подалгебры94
§ 16. Перевод «задачи о сумме квадратов» на язык теории алгебр.
Нормированные алгебры95
§ 17. Нормированные алгебры с единицей. Теорема Гурвица99
§ 18. Способ построения любой нормированной алгебры и вытекающие из
него следствия для задачи о сумме квадратов108
§ 19. Теорема Фробениуса116
§ 20. Коммутативные алгебры с делением129
 
Заключение135

Книги на ту же тему

  1. Дополнительные главы математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, Макаров И. П., 1968
  2. Математика действительных и комплексных чисел, Андронов И. К., 1975
  3. Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч. — 3-е изд. (комплект из 2 книг), Пойа Д., Сеге Г., 1978
  4. Группы и их графы, Гроссман И., Магнус В., 1971
  5. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е изд., стереотип., Привалов И. И., 1977
  6. Методы теории функций комплексного переменного. — 5-е изд., испр., Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., 1987
  7. Основы теории аналитических функций комплексного переменного, Бицадзе А. В., 1969
  8. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 11-е изд., Привалов И. И., 1967
  9. Краткий курс теории аналитических функций. — 3-е изд., испр. и доп., Маркушевич А. И., 1966
  10. Симметрия в алгебре, Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я., 1967
  11. Элементарное введение в абстрактную алгебру, Фрид Э., 1979
  12. Основы линейной алгебры и некоторые её приложения. Учебное пособие, Блох Э. Л., Лошинский Л. И., Турин В. Я., 1971
  13. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 3-е изд., Кострикин А. И., 2004
  14. Алгебра, Ленг С., 1968

© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru