|
Дифференциальная геометрия. — 5-е изд. |
Погорелов А. В. |
год издания — 1969, кол-во страниц — 176, тираж — 75000, язык — русский, тип обложки — мягк., масса книги — 150 гр., издательство — Физматлит |
|
цена: 199.00 руб |  | | | |
|
Сохранность книги — хорошая
Формат 84x108 1/32 |
ключевые слова — дифференциальн, геометр, крив, поверхност, эйлер, монж, гаусс, лобачевск, неевклидов, риман, эрланген, картан, проективн, аффинн, миндинг, петерсон, изгибан, соприкосновен, огибающ, кривизн, параболоид, конформн, изометричн, кодацц, геодезическ |
Несмотря на сравнительно небольшой объём, книга охватывает все разделы курса дифференциальной геометрии для математических специальностей университетов и пединститутов. Она отличается безупречностью изложения, содержит чёткие и ясные доказательства, богато снабжена упражнениями и задачами повышенной трудности.
Книга является одним из лучших учебных руководств по курсу дифференциальной геометрии для университетов и пединститутов.
Дифференциальная геометрия — это часть математики, которая изучает геометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности, а также семейства кривых и поверхностей методами анализа бесконечно малых. Характерным для дифференциальной геометрии является то, что она изучает прежде всего свойства кривых и поверхностей «в малом», т. е. свойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей.
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объёма — понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к первой половине XVIII века и связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей было написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795 г.).
В 1827 г. Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Открытие Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии сыграло огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной. Так, в 1854 г. Б. Риман своей лекцией «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» заложил основы так называемой римановой геометрии, которая в применении к многомерным многообразиям находится в таком же отношении к геометрии n-мерного евклидова пространства, как внутренняя геометрия произвольной поверхности к евклидовой геометрии на плоскости.
Теоретико-групповая точка зрения Ф. Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872 г.), в применении к дифференциальной геометрии была развита Э. Картаном, построившим теорию пространств проективной и аффинной связности.
В России школу дифференциальной геометрии создали Ф. Миндинг и К. М. Петерсон, основные исследования которых посвящены вопросам изгибания поверхностей. Эти исследования были продолжены в работах многих русских и советских геометров.
В основу настоящей книги положены лекции автора по дифференциальной геометрии на физико-математическом факультете Харьковского университета. Автор преследовал цель дать строгое изложение основ дифференциальной геометрии и типичных для неё методов исследования, не нарушая при этом значительно установившихся традиций. Большой фактический материал по дифференциальной геометрии вынесен в упражнения и задачи, решение которых является обязательным условием при подготовке студентов-геометров.
ВВЕДЕНИЕ
|
ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие ко второму изданию | 6 | Предисловие к третьему изданию | 6 | Введение | 7 | | Ч А С Т Ь П Е Р В А Я | ТЕОРИЯ КРИВЫХ | | Г л а в а I. Понятие кривой | 9 | | § 1. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая | 9 | § 2. Регулярная кривая. Способы аналитического задания кривой | 12 | § 3. Особые точки регулярных плоских кривых | 16 | § 4. Асимптоты плоских кривых | 23 | Упражнения к главе I | 26 | Задачи и теоремы к главе I | 28 | | Г л а в а II. Понятия для кривых, связанные с понятием | соприкосновения | 28 | | § 1. Векторная функция скалярного аргумента | 29 | § 2. Касательная кривой | 33 | § 3. Соприкасающаяся плоскость кривой | 37 | § 4. Соприкосновение кривых | 39 | § 5. Огибающая семейства кривых, зависящих от параметра | 42 | Упражнения к главе II | 45 | Задачи и теоремы к главе II | 47 | | Г л а в а III. Вопросы теории кривых, связанные с понятием | кривизны и кручения | 49 | | § 1. Длина дуги кривой. Естественная параметризация | 49 | § 2. Кривизна кривой | 53 | § 3. Кручение кривой | 57 | § 4. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой | 59 | § 5. Плоские кривые | 63 | Упражнения к главе III | 68 | Задачи и теоремы к главе III | 71 | | Ч А С Т Ь В Т О Р А Я | ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ | | Г л а в а IV. Понятие поверхности | 73 | | § 1. Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая | поверхность | 73 | § 2. Регулярная поверхность. Аналитическое задание поверхности | 75 | § 3. Специальные параметризации поверхности | 79 | § 4. Особые точки на регулярной поверхности | 82 | Упражнения и задачи к главе IV | 87 | | Г л а в а V. Основные понятия для поверхностей, связанные | с понятием соприкосновения | 88 | | § 1. Касательная плоскость поверхности | 88 | § 2. Лемма о расстоянии точки от поверхности. Соприкосновение кривой | и поверхности | 93 | § 3. Соприкасающийся параболоид. Классификация точек поверхности | 95 | § 4. Огибающая семейства поверхностей, зависящих от одного или двух | параметров | 100 | § 5. Огибающая семейства плоскостей, зависящих от одного параметра | 102 | Упражнения к главе V | 105 | Задачи и теоремы к главе V | 106 | | Г л а в а VI. Первая квадратичная форма поверхности и | связанные с ней вопросы теории поверхностей | 108 | | § 1. Длина кривой на поверхности | 108 | § 2. Угол между кривыми на поверхности | 110 | § 3. Площадь поверхности | 112 | § 4. Конформное отображение | 115 | § 5. Изометричные поверхности. Изгибание поверхностей | 119 | Упражнения к главе VI | 121 | Задачи и теоремы к главе VI | 122 | | Г л а в а VII. Вторая квадратичная форма поверхности и | связанные с ней вопросы теории поверхностей | 124 | | § 1. Кривизна кривой, лежащей на поверхности | 125 | § 2. Асимптотические направления. Асимптотические линии. Сопряжённые | направления. Сопряжённые сети на поверхности | 129 | § 3. Главные направления на поверхности. Линии кривизны | 132 | § 4. Связь между главными кривизнами поверхности и нормальной | кривизной в произвольном направлении. Средняя и гауссова | кривизна поверхности | 135 | § 5. Линейчатые поверхности | 140 | § 6. Поверхности вращения | 144 | Упражнения к главе VII | 147 | Задачи и теоремы к главе VII | 148 | | Г л а в а VIII. Основные уравнения теории поверхностей | 151 | | § 1. Деривационные формулы | 151 | § 2. Формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци | 154 | § 3. Существование и единственность поверхности с заданными первой и | второй квадратичными формами | 156 | Задачи и теоремы к главе VIII | 159 | | Г л а в а IX. Внутренняя геометрия поверхностей | 161 | | § 1. Геодезическая кривизна кривой на поверхности | 161 | § 2. Геодезические линии на поверхности | 164 | § 3. Полугеодезическая параметризация поверхности | 166 | § 4. Кратчайшие на поверхности | 168 | § 5. Теорема Гаусса-Бонне | 170 | § 6. Поверхности постоянной гауссовой кривизны | 172 | Задачи и теоремы к главе IX | 173 |
|
Книги на ту же тему- Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
- Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
- Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов, Новиков С. П., Фоменко А. Т., 1987
- Топологические вариационные задачи, Фоменко А. Т., 1984
- Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов, Стинрод Н., Чинн У., 1967
- Дифференциальная топология: Начальный курс, Милнор Д., Уоллес А., 1972
- Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
- Симметрические пространства, Лоос О., 1985
- Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987
- Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989
- Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995
|
|
|