Несмотря на сравнительно небольшой объём, книга охватывает все разделы курса дифференциальной геометрии для математических специальностей университетов и пединститутов. Она отличается безупречностью изложения, содержит чёткие и ясные доказательства, богато снабжена упражнениями и задачами повышенной трудности.

Книга является одним из лучших учебных руководств по курсу дифференциальной геометрии для университетов и пединститутов.

Дифференциальная геометрия — это часть математики, которая изучает геометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности, а также семейства кривых и поверхностей методами анализа бесконечно малых. Характерным для дифференциальной геометрии является то, что она изучает прежде всего свойства кривых и поверхностей «в малом», т. е. свойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей.

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объёма — понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к первой половине XVIII века и связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей было написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795 г.).

В 1827 г. Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Открытие Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии сыграло огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной. Так, в 1854 г. Б. Риман своей лекцией «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» заложил основы так называемой римановой геометрии, которая в применении к многомерным многообразиям находится в таком же отношении к геометрии n-мерного евклидова пространства, как внутренняя геометрия произвольной поверхности к евклидовой геометрии на плоскости.

Теоретико-групповая точка зрения Ф. Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872 г.), в применении к дифференциальной геометрии была развита Э. Картаном, построившим теорию пространств проективной и аффинной связности.

В России школу дифференциальной геометрии создали Ф. Миндинг и К. М. Петерсон, основные исследования которых посвящены вопросам изгибания поверхностей. Эти исследования были продолжены в работах многих русских и советских геометров.

В основу настоящей книги положены лекции автора по дифференциальной геометрии на физико-математическом факультете Харьковского университета. Автор преследовал цель дать строгое изложение основ дифференциальной геометрии и типичных для неё методов исследования, не нарушая при этом значительно установившихся традиций. Большой фактический материал по дифференциальной геометрии вынесен в упражнения и задачи, решение которых является обязательным условием при подготовке студентов-геометров.

ВВЕДЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию	6
Предисловие к третьему изданию	6
Введение	7

Ч А С Т Ь П Е Р В А Я
ТЕОРИЯ КРИВЫХ

Г л а в а I. Понятие кривой	9

§ 1. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая	9
§ 2. Регулярная кривая. Способы аналитического задания кривой	12
§ 3. Особые точки регулярных плоских кривых	16
§ 4. Асимптоты плоских кривых	23
Упражнения к главе I	26
Задачи и теоремы к главе I	28

Г л а в а II. Понятия для кривых, связанные с понятием
соприкосновения	28

§ 1. Векторная функция скалярного аргумента	29
§ 2. Касательная кривой	33
§ 3. Соприкасающаяся плоскость кривой	37
§ 4. Соприкосновение кривых	39
§ 5. Огибающая семейства кривых, зависящих от параметра	42
Упражнения к главе II	45
Задачи и теоремы к главе II	47

Г л а в а III. Вопросы теории кривых, связанные с понятием
кривизны и кручения	49

§ 1. Длина дуги кривой. Естественная параметризация	49
§ 2. Кривизна кривой	53
§ 3. Кручение кривой	57
§ 4. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой	59
§ 5. Плоские кривые	63
Упражнения к главе III	68
Задачи и теоремы к главе III	71

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Г л а в а IV. Понятие поверхности	73

§ 1. Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая
поверхность	73
§ 2. Регулярная поверхность. Аналитическое задание поверхности	75
§ 3. Специальные параметризации поверхности	79
§ 4. Особые точки на регулярной поверхности	82
Упражнения и задачи к главе IV	87

Г л а в а V. Основные понятия для поверхностей, связанные
с понятием соприкосновения	88

§ 1. Касательная плоскость поверхности	88
§ 2. Лемма о расстоянии точки от поверхности. Соприкосновение кривой
и поверхности	93
§ 3. Соприкасающийся параболоид. Классификация точек поверхности	95
§ 4. Огибающая семейства поверхностей, зависящих от одного или двух
параметров	100
§ 5. Огибающая семейства плоскостей, зависящих от одного параметра	102
Упражнения к главе V	105
Задачи и теоремы к главе V	106

Г л а в а VI. Первая квадратичная форма поверхности и
связанные с ней вопросы теории поверхностей	108

§ 1. Длина кривой на поверхности	108
§ 2. Угол между кривыми на поверхности	110
§ 3. Площадь поверхности	112
§ 4. Конформное отображение	115
§ 5. Изометричные поверхности. Изгибание поверхностей	119
Упражнения к главе VI	121
Задачи и теоремы к главе VI	122

Г л а в а VII. Вторая квадратичная форма поверхности и
связанные с ней вопросы теории поверхностей	124

§ 1. Кривизна кривой, лежащей на поверхности	125
§ 2. Асимптотические направления. Асимптотические линии. Сопряжённые
направления. Сопряжённые сети на поверхности	129
§ 3. Главные направления на поверхности. Линии кривизны	132
§ 4. Связь между главными кривизнами поверхности и нормальной
кривизной в произвольном направлении. Средняя и гауссова
кривизна поверхности	135
§ 5. Линейчатые поверхности	140
§ 6. Поверхности вращения	144
Упражнения к главе VII	147
Задачи и теоремы к главе VII	148

Г л а в а VIII. Основные уравнения теории поверхностей	151

§ 1. Деривационные формулы	151
§ 2. Формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци	154
§ 3. Существование и единственность поверхности с заданными первой и
второй квадратичными формами	156
Задачи и теоремы к главе VIII	159

Г л а в а IX. Внутренняя геометрия поверхностей	161

§ 1. Геодезическая кривизна кривой на поверхности	161
§ 2. Геодезические линии на поверхности	164
§ 3. Полугеодезическая параметризация поверхности	166
§ 4. Кратчайшие на поверхности	168
§ 5. Теорема Гаусса-Бонне	170
§ 6. Поверхности постоянной гауссовой кривизны	172
Задачи и теоремы к главе IX	173

Книги на ту же тему

Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов, Новиков С. П., Фоменко А. Т., 1987
Топологические вариационные задачи, Фоменко А. Т., 1984
Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов, Стинрод Н., Чинн У., 1967
Дифференциальная топология: Начальный курс, Милнор Д., Уоллес А., 1972
Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
Симметрические пространства, Лоос О., 1985
Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987
Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989
Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995

elapsed time 0.031 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему