Предлагаемая книга возникла из лекций, которые автор читал студентам Московского физико-технического института. Заглавие книги совпадает с названием соответствующего курса, обязательного для студентов, специализирующихся в области прикладной математики.

Стандартный курс дифференциальных уравнений знакомит студента лишь с основами этой теории. В то же время практическая деятельность математика, занимающегося прикладными задачами, обычно требует знания целого ряда вопросов, далеко выходящих за рамки программы. К их числу относятся прежде всего разнообразные вопросы асимптотического поведения решений. Поэтому, когда стала очевидной необходимость чтения курса дополнительных глав обыкновенных дифференциальных уравнений, то было решено основное внимание сосредоточить на изложении методов асимптотического анализа. Любые исследования имеют дело с моделями реальных процессов. Это значит, что уравнения, оказывающиеся в распоряжении математика, дают лишь приближённое описание явлений, которые представляют собой объект изучения… Исследователь всегда «упрощает задачу», отбрасывая слагаемые и понижая порядок системы. Возможность такого упрощения обычно оправдывается малостью того или другого параметра. Однако не всякую малую величину можно отбросить, не искажая смысла задачи. Поэтому математик, который занимается подобными вопросами, должен владеть методами, позволяющими изучать зависимость решений от параметров задачи и прежде всего асимптотическое поведение решений при их малых значениях. С подобными вопросами математику приходится сталкиваться независимо от того, в какой области он применяет математические методы исследования. Они в равной степени актуальны в физике и в баллистике, теории колебаний и экономике и т. д.

Значение асимптотических методов возросло в последние десятилетия в связи с развитием вычислительных машин. Очень часто высказывается мысль, что благодаря развитию вычислительной техники и методов вычислительной математики уменьшается значение аналитических методов. Автор этой книги является категорическим противником подобной точки зрения и убеждён, что эффективные вычислительные методы решения той или иной задачи, экономные с точки зрения затраты машинного времени, всегда должны использовать информацию об аналитической природе задачи…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предисловие	7

Г л а в а I. Некоторые вопросы вспомогательного характера	11

§ 1. Метод фазовой плоскости и некоторые свойства нелинейных колебаний	11
1. Фазовые траектории (11). 2. Линейные системы (12). 3. Фазовая плоскость уравнения Дюффинга (16). 4. Пример периодической фазовой плоскости (18).
§ 2. Дальнейшее изучение уравнения Дюффинга	19
1. Некоторые сведения из теории эллиптических функций (20). 2. Выражение общего интеграла уравнений Дюффинга (21). 3. Формула для периода (22).
§ 3. Примеры колебаний систем с переменными параметрами	25
1. Предварительные замечания (25). 2. Случай, когда возвращающая сила стремится к нулю (26). 3. Колебания с диссипативными силами (27). 4. Случай, когда возвращающая сила ограничена (28).
§ 4. О некоторых достаточных условиях ограниченности колебаний	30
1. Критерий устойчивости для случая, когда возвращающая сила изменяется монотонно (30). 2. Устойчивость колебаний ракеты (32). 3. Основная лемма (33). 4. Критерий устойчивости для уравнения (3.8) (34).
§ 5. Теорема Пуанкаре	35
1. Формулировка (35). 2. Доказательство утверждения I (38). 3. Замечание об аналитичности правых частей (40).

Г л а в а II. Метод Ляпунова-Пуанкаре	41

§ 1. Система Ляпунова — случай одной степени свободы	41
1. Консервативные системы (41). 2. Система Ляпунова (42). 3. Приведение к каноническому виду (43). 4. Преобразование интеграла Н (44). 5. Периодичность решений системы Ляпунова (45). 6. Вычисление периода (46). 7. Одно свойство периода (48). 8. Формулировка теоремы Ляпунова (49).
§ 2. Условия существования периодических решений	49
1. Предмет исследования (49). 2. Необходимые и достаточные условия периодичности (50). 3. Случай, когда фундаментальные решения уравнения (2.2) — периодические функции времени (51). 4. Пример (52). 5. Одно уравнение второго порядка (53). 6. Одно уравнение второго порядка. Случай непериодических фундаментальных решений (55).
§ 3. Метод Ляпунова	58
1. Пример (58). 2. Обсуждение алгоритма (60). 3. Расчёт приближённого решения (63). 4. Уравнение Дюффинга (64). 5. Пример неконсервативной системы (66).
§ 4. Система Ляпунова. Случай произвольного числа степеней свободы	67
1. Определение (68). 2. Приведение к каноническому виду (68). 3. Теорема Ляпунова (70). 4. Метод Ляпунова (71). 5. Консервативные системы произвольного числа степеней свободы (75). 6. Метод Ляпунова в нелинейных консервативных системах (77).
§ 5. Автоколебания	79
1. Пример автоколебаний (79). 2. Формулировка математической задачи (82). 3. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае квазилинейных систем (метод Пуанкаре) (83). 4. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае систем, близких к консервативным (90). 5. Пример (92). 6. Автоколебания в квазилинейных системах со многими степенями свободы (93).
§ 6. Метод Г. В. Каменкова	96
1. Квазилинейная теория. Теорема Г. В. Каменкова (97). 2. Квазилинейная теория. Расчёт периодических решений (101).
§ 7. Неавтономные квазилинейные системы. Метод Пуанкаре	103
1. Замечание о линейных системах (103). 2. Колебания вдали от резонанса (105). 3. Резонансные колебания. Случай одной степени свободы (108). 4. Пример: уравнение Ван-дер-Поля (112). 5. Один специальный случай (114). 6. О резонансе n-го рода (116). 7. О квазилинейной трактовке нелинейных уравнений (119).
§ 8. Неавтономные системы второго порядка, близкие к системам Ляпунова. Метод Малкина	121
1. Предварительный анализ (121). 2. Решения x⁰ и y⁰. Нерезонансный случай (123). 3. Пример расчёта нерезонансных решений (125). 4. Резонансные режимы в системах, близких к системе Ляпунова (126). 5. Примеры расчёта резонансных решений уравнения Дюффинга (131). 6. Ещё один пример решений x⁰ (133). 7. О решениях, близких к нетривиальным решениям системы Ляпунова (135).
§ 9. Заключительные замечания	138

Г л а в а III. Асимптотические методы разделения движений	140

Введение	140
§ 1. Метод Ван-дер-Поля	141
1. Предварительные замечания (141). 2. Переменные Ван-дер-Поля (142). 3. Схема В. М. Волосова (143). 4. Укороченные уравнения (144). 5. Стационарные режимы (145). 6. Пример разрывных правых частей (147). 7. Диссипативная система (150). 8. Автоколебательная система (152). 9. Эквивалентная линеаризация в консервативных системах (153). 10. Замечание об исследовании устойчивости (156).
§ 2. Метод Ван-дер-Поля в системах, близких к консервативным	157
1. Замена переменных (157). 2. Укороченные уравнения (159). 3. Пример (161). 4. Другой подход к решению той же задачи (162). 5. Примечания (166).
§ 3. Системы с медленным временем	166
1. Вывод укороченных уравнений (166). 2. Адиабатические инварианты (168). 3. Интеграл действия (169). 4. Пример использования адиабатических инвариантов (170). 5. Вычисление амплитуды и энергии (171). 6. Некрторые обобщения (172). 7. Задача о маятнике переменной массы (174).
§ 4. Описание алгоритма асимптотического интегрирования для случая одной быстрой переменной	175
1. Преобразование переменных (175). 2. Определение членов разложений (177). 3. Построение приближённого решения (181). 4. Оценка точности (182). 5. Независимость точности приближённого решения от выбора функций φ_i и ψ_i (185). 6. Замечание о характере приближённых формул (188). 7. Метод последовательных приближений (188). 8. Система стандартного вида (190). 9. О возможных обобщениях(190). 10. Замечание об исследовании стационарных режимов (191).
§ 5. Алгоритм асимптотического интегрирования. Случай нескольких быстрых переменных	191
1. Система с двумя вращающимися фазами (191). 2. Метод Фурье (193). 3. Описание алгоритма в нерезонансном случае (194). 4. Резонансный случай (197). 5. Исследование главного резонанса в случае постоянных частот (197). 6. Общий случай главного резонанса (200). 7. Комбинационные резонансы (202). 8. Установившиеся режимы (203). 9. Вынужденные колебания квазилинейных систем (204). 10. Резонансные решения уравнения Дюффинга (206). 11. О кратных резонансах в колебательных системах (207). 12. Один пример колебательной системы с большим числом степеней свободы (210).
§ 6. Исследование стационарных точек и устойчивости	211
1. Предварительные замечания (211). 2. Исследование устойчивости (212). 3. Устойчивость тривиального решения системы. (6.6) (213). 4. Замечания (214). 5. Трактовка результатов (216).
§ 7. Вращательные движения маятника	217
1. Замечания об изучении колебательных движений маятника (217). 2. Новые независимые переменные (219). 3. Построение асимптотики порождающего решения (220). 4. Вращательные движения математического маятника (224). 5. Пример маятника, возвращающая сила которого разрывна (225). 6. Система с вращающимся звеном (226). 7. Маятник с переменной возвращающей силой (227). 8. Теория возмущений (229). 9. Уравнение Ван дер-поля (230). 10. Особенности резонансных явлений в системах с вращающимися звеньями (232). 11. Метод В. М. Волосова в теории вращательных движений (238). 12. Заключение (241).
§ 8. Приложения к задачам динамики орбитальных аппаратов	241
1. Предварительные замечания (241). 2. Возмущения кеплеровских орбит (242). 3. Задача о трансверсальной тяге (249). 4. Задача о движении спутника на последних оборотах (253). 5. Задача о движении спутника в конце последнего оборота (259). 6. Резонансные задачи в динамике искусственных спутников (267).
§ 9. Асимптотические методы усреднения в задачах теории оптимального управления	273
1. Частичное усреднение (273). 2. О возможных постановках задач оптимального управления для уравнений в стандартной форме (274). 3. Пример (277).

Г л а в а IV. Асимптотические методы в теории линейных уравнений, содержащих большой параметр	279

§ 1. Одно уравнение второго порядка	281
1. WBKJ-решения (281). 2. Связь с методом усреднения (283). 3. Асимптотический характер приближённых формул (284). 4. Другой метод построения приближённых решений (288).
§ 2. Однородные системы второго порядка. Случай простых корней	290
1. Асимптотические решения для одного уравнения второго порядка (290). 2. Уравнение произвольного ранга (293). 3. Система второго порядка (295). 4. Некоторые, частные случаи (298). 5. Система произвольного ранга (299). 6. Возможные модификации алгоритма построения асимптотических рядов (301).
§ 3. Однородные системы второго порядка. Случай кратных корней	303
1. Предварительные замечания (303). 2. Случай простых элементарных делителей (307). 3. Один пример механической системы с двумя степенями свободы (309). 4. Системы произвольного ранга (314). 5. Пример колебательной системы, элементарные делители которой непростые (315).
§ 4. Неоднородные уравнения	317
1. Одно уравнение второго порядка (317). 2. Система произвольного ранга (318). 3. Основная теорема (318). 4. Случай, когда внешние силы осциллируют (321).
§ 5. Общий случай линейной системы произвольного порядка	324
1. Общее решение однородной системы в том случае, когда корни простые (324). 2. Случай кратных корней (327). 3. Частные решения неоднородных систем (328).
§ 6. Задача о движении гироскопа под действием момента, изменяющегося во времени	329
1. Вывод уравнений (329). 2. Линеаризация (332). 3. Случай постоянных параметров. Элементарная теория гироскопа (334). 4. Гироскоп в поле переменной напряжённости (335). 5. Уравнения баллистики (337). 6. Исследование системы (6.33) (341).
§ 7. Особые случаи (асимптотика и окрестности точек возврата)	343
1. Предварительные замечания (343). 2. Эталонное уравнение, формальное построение асимптотических рядов (345). 3. Асимптотика решений в окрестности точек возврата, в которых корни характеристического уравнения обращаются в нуль (348). 4. Асимптотические разложения в окрестности точки возврата, где элементарные делители перестают быть простыми (350).
§ 8. О некоторых способах построения асимптотических представлений в случае кратных элементарных делителей характеристической матрицы	351
1. Система с одним элементарным делителем произвольной кратности (352). 2. Пример 1 (358). 3. Пример 2 (359). 4. Случай, когда a_m1= 0, но a_ms!= 0 (361). 5. Случай, когда a_m1= a_m2= 0, но a_ms!= 0 при s > 2 (363).
§ 9. Асимптотические методы большого параметра и теория оптимальной коррекции	365
1. Постановка задачи. Примеры (365). 2. Некоторые свойства управления консервативными системами (373). 3. Асимптотическое представление решений одной частной задачи коррекции (374).

Предметный указатель	378

Книги на ту же тему

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — 3-е изд., испр. и доп., Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., 1963
Некорректные задачи теории возмущений (асимптотические методы механики), Панченков А. Н., ред., 1984
Математические методы классической механики, Арнольд В. И., 1974
Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений, Богаевский В. Н., Повзнер А. Я., 1987
Солитоны и нелинейные волновые уравнения, Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис Х., 1988
Известия высших учебных заведений. Радиофизика: Нелинейные волны, 1976
Нелинейные волны, Лейбович С., Сибасс А., ред., 1977
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
Теория ветвления решений нелинейных уравнений, Вайнберг М. М., Треногин В. А., 1969
Математические задачи системного анализа, Моисеев Н. Н., 1981
Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем: Учебное пособие для втузов, Гуляев В. И., Баженов В. А., Попов С. Л., 1989
Нелинейные стохастические задачи механических колебаний, Диментберг М. Ф., 1980
Нелинейные колебания в механических и электрических системах, Стокер Д., 1952
Нелинейные колебания механических систем, Тондл А., 1973
Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса, Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., 1988
Парадоксы мира нестационарных структур, Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., 1985
Теория волн, Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П., 1979
Динамика внутренних гравитационных волн в океане, Миропольский Ю. З., 1981
Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк М. В., 1980
Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ), Хединг Д., 1965
Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Вазов В., 1968
Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
Асимптотические разложения, Копсон Э. Т., 1966
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971

elapsed time 0.022 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему