Книга предназначена для первоначального ознакомления с теорией случайных процессов. Подчёркивается связь этой теории с фактами функционального анализа; книга рассчитана на студентов-математиков, аспирантов, а также других читателей, интересующихся теорией случайных процессов, знакомых с элементами теории меры и функционального анализа и изучавших теорию вероятностей.

Основное внимание уделяется не выкладкам и не доказательству теорем в наиболее окончательной форме, а объяснению сути применяемых методов на простом, по возможности, материале. В ходе изложения даётся около 250 задач различной трудности и характера (упражнения, примеры, самостоятельное получение более простых результатов, части доказательств, обобщения и т. п.); примерно для двух третей из них приведены решения.

В главах 1—3, 5—7, 12 предмет рассмотрения составляют в основном общие методы теории; в главе 4 рассматриваются стационарные процессы, в главах 8—11, 13 — марковские (в том числе применение теории полугрупп операторов, диффузионные процессы и их связь с дифференциальными уравнениями).

Книга написана на основе лекций по теории случайных процессов, прочитанных автором в 1969 году студентам III—IV курсов механико-математического факультета МГУ. Эти лекции были изданы ротапринтно (А. Д. Вентцель, Случайные процессы (Лекции для студентов III курса), М., 1969; Случайные процессы (Лекции для студентов IV курса), М., 1970), но затем значительно переработаны.

Интерес к изучению теории случайных процессов очень широк, и, по-видимому, нет необходимости указывать здесь, какая это важная часть теории вероятностей и как много она имеет приложений.

Автор видел свою цель не в том, чтобы формулировать и доказывать теоремы в наиболее окончательной форме, а в том, чтобы ознакомить читателей с сущностью применяемых методов на простом, по возможности, материале. В связи с этим книга содержит не очень много больших теорем и довольно большое число микротеорем (часть из них в виде задач). Хотя между микротеоремами и теоремами нет совершенно резкой грани, автор считает понятие микротеоремы принципиально важным. Тот, кто овладевает каким-либо разделом математики, должен придумывать такие микротеоремы в большом числе; из них 60% должны легко доказываться, 30% — оказываться неверными и легко опровергаться, а в остальных 10% разобраться труднее — из них могут получиться даже настоящие хорошие теоремы.

Часть материала дана в виде задач. Решения задач составляют отдельную часть книги, чтобы больше была вероятность того, что читатель будет решать их сам. Решения даются не для всех задач и не очень подробно; предполагается, что читатель напишет их решения с нужной степенью подробности сам для себя (а также восстановит опущенные части доказательств в основном тексте и сделает недостающие чертежи). Задачи, данные обычным шрифтом, нужно решать сразу же; с задачами, набранными петитом, можно подождать до конца параграфа или главы. Задачи, при номерах которых стоит звёздочка, — не обязательные, на них ничто не опирается. Конечно, за пределами книги неизбежно должны были остаться целые разделы теории. Хорошо будет, если читатель постарается пополнить свои знания по теории случайных процессов и возьмётся за изучение какой-нибудь книги, более богатой материалом, например книги Дуба, 1956. Дело не только в новом материале, но и в общем подходе, методах, новых точках зрения.

Вопросы принадлежности приводимых результатов тем или иным авторам, истории и литературы по предмету затрагивались лишь эпизодически; литературные ссылки даются в основном тогда, когда приводятся без доказательства какие-либо вспомогательные сведения.

Отбор материала обусловлен в основном педагогическими соображениями. Что касается общего подхода к материалу, — систематически подчёркивается связь теории с фактами функционального анализа. Когда был выбор: провести какое-либо рассуждение, касающееся случайных процессов, независимым образом или сослаться на тот или иной аналитический результат (например, изоморфность всех бесконечномерных гильбертовых пространств), предпочтение отдавалось последнему…

Предисловие

Книги на ту же тему

1. Прикладные методы теории случайных функций. — 2-е изд., перераб. и доп., Свешников А. А., 1968
2. По воле случая, Растригин Л. А., 1986
3. Вероятность, Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Д., 1969
4. Вероятность, Ламперти Д., 1973
5. Введение в теорию вероятностей, Пугачёв В. С., 1968
6. Измерение и анализ случайных процессов, Бендат Д., Пирсол А., 1971
7. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику, Арлей Н., Бух К. Р., 1951
8. Курс теории вероятностей, Чистяков В. П., 1978
9. Задачник по теории вероятностей, Палий И. А., 2004
10. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. — 2-е изд., доп., Володин Б. Г., Ганин М. П., Динер И. Я., Комаров Л. Б., Свешников А. А., Старобин К. Б., 1970
11. Статистический анализ случайных процессов в приложении к агрофизике и агрометеорологии, Жуковский Е. Е., Киселёва Т. Л., Мандельштам С. М., 1976
12. Анализ данных на компьютере: учебное пособие. — 4-е изд., перераб., Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., 2008
13. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. — 5-е изд., перераб. и доп., Гмурман В. Е., 1977
14. Основы прикладной статистики, Мелник М., 1983
15. Методика и техника статистической обработки первичной социологической информации, Осипов Г. В., ред., 1968
16. Элементы теории вероятностей. — 4-е изд., перераб., Румшиский Л. 3., 1970
17. Анализ временных рядов, Хеннан Э., 1964
18. Марковские процессы и потенциалы, Хант А. Д., 1962
19. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
20. Стохастическая финансовая математика (Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 237), Ширяев А. Н., ред., 2002
21. Справочник по математическим методам в геологии, Родионов Д. А., Коган Р. И., Голубева В. А., Смирнов Б. И., Сиротинская С. В., 1987
22. Введение в стохастическую теорию управления, Острем К., 1973
23. Кооперативные эффекты в стохастических моделях, Цициашвили Г. Ш., Осипова М. А., 2005
24. Динамико-стохастическое моделирование формирования талого стока, Гельфан А. Н., 2007
25. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения, Оксендаль Б., 2003
26. Этот случайный, случайный, случайный мир. — 2-е изд., Растригин Л. А., 1974
27. Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными, Розанов Ю. А., 1995
28. Стохастическое дифференциальное моделирование сложных технических систем, Медведев А. А., Меньшиков В. А., Силантьев А. Ю., 1999
29. Теория ветвящихся случайных процессов, Харрис Т., 1966
30. Стохастическое оптимальное управление: случай дискретного времени, Бертсекас Д., Шрив С., 1985
31. Теория вероятностей, Солодовников А. С., 1999
32. Динамика и прогноз крупномасштабных аномалий температуры поверхности океана (статистический подход), Питербарг Л. И., 1989