Книга предназначена для первоначального ознакомления с теорией случайных процессов. Подчёркивается связь этой теории с фактами функционального анализа; книга рассчитана на студентов-математиков, аспирантов, а также других читателей, интересующихся теорией случайных процессов, знакомых с элементами теории меры и функционального анализа и изучавших теорию вероятностей.

Основное внимание уделяется не выкладкам и не доказательству теорем в наиболее окончательной форме, а объяснению сути применяемых методов на простом, по возможности, материале. В ходе изложения даётся около 250 задач различной трудности и характера (упражнения, примеры, самостоятельное получение более простых результатов, части доказательств, обобщения и т. п.); примерно для двух третей из них приведены решения.

В главах 1—3, 5—7, 12 предмет рассмотрения составляют в основном общие методы теории; в главе 4 рассматриваются стационарные процессы, в главах 8—11, 13 — марковские (в том числе применение теории полугрупп операторов, диффузионные процессы и их связь с дифференциальными уравнениями).

Книга написана на основе лекций по теории случайных процессов, прочитанных автором в 1969 году студентам III—IV курсов механико-математического факультета МГУ. Эти лекции были изданы ротапринтно (А. Д. Вентцель, Случайные процессы (Лекции для студентов III курса), М., 1969; Случайные процессы (Лекции для студентов IV курса), М., 1970), но затем значительно переработаны.

Интерес к изучению теории случайных процессов очень широк, и, по-видимому, нет необходимости указывать здесь, какая это важная часть теории вероятностей и как много она имеет приложений.

Автор видел свою цель не в том, чтобы формулировать и доказывать теоремы в наиболее окончательной форме, а в том, чтобы ознакомить читателей с сущностью применяемых методов на простом, по возможности, материале. В связи с этим книга содержит не очень много больших теорем и довольно большое число микротеорем (часть из них в виде задач). Хотя между микротеоремами и теоремами нет совершенно резкой грани, автор считает понятие микротеоремы принципиально важным. Тот, кто овладевает каким-либо разделом математики, должен придумывать такие микротеоремы в большом числе; из них 60% должны легко доказываться, 30% — оказываться неверными и легко опровергаться, а в остальных 10% разобраться труднее — из них могут получиться даже настоящие хорошие теоремы.

Часть материала дана в виде задач. Решения задач составляют отдельную часть книги, чтобы больше была вероятность того, что читатель будет решать их сам. Решения даются не для всех задач и не очень подробно; предполагается, что читатель напишет их решения с нужной степенью подробности сам для себя (а также восстановит опущенные части доказательств в основном тексте и сделает недостающие чертежи). Задачи, данные обычным шрифтом, нужно решать сразу же; с задачами, набранными петитом, можно подождать до конца параграфа или главы. Задачи, при номерах которых стоит звёздочка, — не обязательные, на них ничто не опирается. Конечно, за пределами книги неизбежно должны были остаться целые разделы теории. Хорошо будет, если читатель постарается пополнить свои знания по теории случайных процессов и возьмётся за изучение какой-нибудь книги, более богатой материалом, например книги Дуба, 1956. Дело не только в новом материале, но и в общем подходе, методах, новых точках зрения.

Вопросы принадлежности приводимых результатов тем или иным авторам, истории и литературы по предмету затрагивались лишь эпизодически; литературные ссылки даются в основном тогда, когда приводятся без доказательства какие-либо вспомогательные сведения.

Отбор материала обусловлен в основном педагогическими соображениями. Что касается общего подхода к материалу, — систематически подчёркивается связь теории с фактами функционального анализа. Когда был выбор: провести какое-либо рассуждение, касающееся случайных процессов, независимым образом или сослаться на тот или иной аналитический результат (например, изоморфность всех бесконечномерных гильбертовых пространств), предпочтение отдавалось последнему…

Предисловие

Предисловие	5
Введение	7

Г л а в а 1. Основные понятия	13

§ 1.1. Что такое случайный процесс?	13
§ 1.2. Примеры случайных процессов. Винеровский процесс	14
§ 1.3. Обзор методов теории случайных процессов	22
§ 1.4. Важнейшие классы случайных процессов	29

Г л а в а 2. «Элементы случайного анализа»	33

§ 2.1. Сходимости, непрерывности, производные, интегралы	33
§ 2.2. Стохастические интегралы от неслучайных функций	43

Г л а в а 3. Некоторые понятия общей и корреляционной теории
случайных процессов	48

§ 3.1. Связанные со случайной функцией σ-алгебры и пространства
случайных величин	48
§ 3.2. Операторы сдвига	53
§ 3.3. Задачи наилучшей оценки	57

Г л а в а 4. Корреляционная теория стационарных (в широком смысле)
случайных процессов	66

§ 4.1. Корреляционные функции	66
§ 4.2. Спектральные представления	71
§ 4.3. Решение задачи линейного прогнозирования	77

Г л а в а 5. Бесконечномерные распределения. Свойства с вероятностью 1	86

§ 5.1. Распределения случайных функций. Теорема Колмогорова о
конечномерных распределениях	86
§ 5.2. Свойства с вероятностью 1	93
§ 5.3. Абсолютная непрерывность бесконечномерных распределений и
плотности	102

Г л а в а 6. Марковские моменты, прогрессивно измеримые случайные
функции	109

Г л а в а 7. Мартингалы	116

§ 7.1. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы	116
§ 7.2. Неравенства и равенства, связанные с мартингалами	121
§ 7.3. Теорема о сходимости супермартингалов	126

Г л а в а 8. Марковские процессы. Основные понятия	132

§ 8.1. Марковские процессы и марковские семейства	132
§ 8.2. Различные формы марковского свойства	140
§ 8.3. Конечномерные распределения марковских процессов	146
§ 8.4. Семейства операторов, связанные с марковскими процессами	153
§ 8.5. Однородные марковские семейства	162
§ 8.6. Строго марковские процессы	167
§ 8.7. Стационарные марковские процессы	176

Г л а в а 9. Марковские процессы с непрерывным временем. Свойства
траекторий. Строго марковское свойство	178

§ 9.1. Свойства траекторий	178
§ 9.2. Строго марковское свойство для феллеровских марковских
семейств с непрерывными справа траекториями	182

Г л а в а 10. Инфинитезимальные операторы	186

§ 10.1. Инфинитезимальный оператор полугруппы	186
§ 10.2. Резольвента. Теорема Хилле-Йосида	192
§ 10.3. Инфинитезимальные операторы и марковские процессы	197

Г л а в а 11. Диффузионные процессы	207

§ 11.1. Что такое диффузионный процесс?	207
§ 11.2. Результаты Колмогорова. Обратное и прямое уравнения	209

Г л а в а 12. Стохастические уравнения	219

§ 12.1. Стохастические интегралы от случайных функций	219
§ 12.2. Стохастические дифференциалы. Формула Ито	230
§ 12.3. Решение стохастических уравнений методом последовательных
приближений	239
§ 12.4. Диффузионные процессы, задаваемые стохастическими уравнениями	246

Г л а в а 13. Связь диффузионных процессов с уравнениями в частных
производных	253

§ 13.1. Уравнения, связанные с дискретными цепями Маркова	253
§ 13.2. Случай решений, допускающих гладкое продолжение	255
§ 13.3. Регулярные и сингулярные точки границы	265

Р е ш е н и я з а д а ч	272
Список обозначений	315
Литература	317
Предметный указатель	318

Книги на ту же тему

Прикладные методы теории случайных функций. — 2-е изд., перераб. и доп., Свешников А. А., 1968
По воле случая, Растригин Л. А., 1986
Вероятность, Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Д., 1969
Вероятность, Ламперти Д., 1973
Введение в теорию вероятностей, Пугачёв В. С., 1968
Измерение и анализ случайных процессов, Бендат Д., Пирсол А., 1971
Введение в теорию вероятностей и математическую статистику, Арлей Н., Бух К. Р., 1951
Курс теории вероятностей, Чистяков В. П., 1978
Задачник по теории вероятностей, Палий И. А., 2004
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. — 2-е изд., доп., Володин Б. Г., Ганин М. П., Динер И. Я., Комаров Л. Б., Свешников А. А., Старобин К. Б., 1970
Статистический анализ случайных процессов в приложении к агрофизике и агрометеорологии, Жуковский Е. Е., Киселёва Т. Л., Мандельштам С. М., 1976
Анализ данных на компьютере: учебное пособие. — 4-е изд., перераб., Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., 2008
Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. — 5-е изд., перераб. и доп., Гмурман В. Е., 1977
Основы прикладной статистики, Мелник М., 1983
Методика и техника статистической обработки первичной социологической информации, Осипов Г. В., ред., 1968
Элементы теории вероятностей. — 4-е изд., перераб., Румшиский Л. 3., 1970
Анализ временных рядов, Хеннан Э., 1964
Марковские процессы и потенциалы, Хант А. Д., 1962
Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
Стохастическая финансовая математика (Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 237), Ширяев А. Н., ред., 2002
Справочник по математическим методам в геологии, Родионов Д. А., Коган Р. И., Голубева В. А., Смирнов Б. И., Сиротинская С. В., 1987
Введение в стохастическую теорию управления, Острем К., 1973
Кооперативные эффекты в стохастических моделях, Цициашвили Г. Ш., Осипова М. А., 2005
Динамико-стохастическое моделирование формирования талого стока, Гельфан А. Н., 2007
Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения, Оксендаль Б., 2003
Этот случайный, случайный, случайный мир. — 2-е изд., Растригин Л. А., 1974
Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными, Розанов Ю. А., 1995
Стохастическое дифференциальное моделирование сложных технических систем, Медведев А. А., Меньшиков В. А., Силантьев А. Ю., 1999
Теория ветвящихся случайных процессов, Харрис Т., 1966
Стохастическое оптимальное управление: случай дискретного времени, Бертсекас Д., Шрив С., 1985
Теория вероятностей, Солодовников А. С., 1999
Динамика и прогноз крупномасштабных аномалий температуры поверхности океана (статистический подход), Питербарг Л. И., 1989

elapsed time 0.017 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему