В справочнике излагаются методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений и их систем с действительными или комплексными коэффициентами, решения обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисления интегралов и табулирования функций (одной или двух переменных), а также вопросы математической обработки экспериментальных данных и основные сведения по номографии.

Более подробно рассматриваются рекуррентные формулы для выполнения действий над степенными рядами (умножение, деление, возведение в произвольную степень и обращение рядов с действительными или комплексными коэффициентами), численные методы конформных отображений, которые позволяют осуществить отображение заданных односвязных или двухсвязных областей с любой наперёд заданной степенью точности, методы определения констант интеграла Кристоффеля-Шварца, а также применение степенных рядов к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений и к задачам по определению собственных значений.

Изложение всего материала иллюстрируется большим количеством примеров, доведённых до числа.

Справочник рассчитан на широкий круг научных работников, инженеров, аспирантов и студентов.

Численные и графические методы прикладной математики охватывают настолько широкий круг вопросов, что изложить их в одной работе невозможно. Поэтому при выборе материала, включённого в данный справочник, автор основное внимание уделил тем вопросам, с которыми очень часто приходится встречаться при решении самых различных технических задач, но которые, к сожалению, ещё почти не разработаны в литературе. Общие вопросы, без которых невозможно цельное изложение численных методов, приведены в сжатой форме, после чего даны ссылки на литературу, охватывающую наиболее важные разделы прикладной математики.

Более подробно рассматриваются рекуррентные формулы для выполнения действий над степенными рядами (умножение, деление, возведение в произвольную степень и обращение рядов с действительными или комплексными коэффициентами), численные методы конформных отображений, которые позволяют осуществить отображение заданных односвязных или двухсвязных областей с любой наперёд заданной степенью точности, методы определения констант интеграла Кристоффеля-Шварца, а также методы решения нелинейных систем алгебраических и трансцендентных уравнений. Учитывая ту роль, которую играют дифференциальные уравнения в самых различных теоретических и прикладных вопросах, в шестой главе достаточно подробно освещено применение степенных рядов к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений и к задачам по определению собственных значений.

Справочник рассчитан на широкий круг читателей и для того, чтобы им пользоваться, не требуется специальная математическая подготовка, а вполне достаточно знаний математики в объёме первых двух курсов технических вузов. Изложение всего материала иллюстрируется большим количеством примеров, доведённых до числа, что даёт возможность читателю продублировать все интересующие его примеры. Без такого активного усвоения материала невозможно получить знания и навыки, необходимые для дальнейшей работы, так как, по меткому выражению Бернарда Шоу, «кто умеет, тот сам делает, кто не умеет делать сам, тот учит других, кто не умеет ни того ни другого, учит, как надо учить».

В заключение автор искренне благодарит академика АН УССР Ю. А. Митропольского и члена-корреспондента АН УССР Ю. Д. Соколова за ряд ценных созетов и замечаний, позволивших улучшить изложение многих глав данной книги…

ПРЕДИСЛОВИЕ
Автор
Апрель 1968 г.

Предисловие	3

Г л а в а 1. Основные понятия

§ 1. Вводные замечания	5
§ 2. Приближённые числа	8
§ 3. Абсолютная и относительная погрешности	12
§ 4. Сложение и вычитание приближённых чисел	14
§ 5. Умножение, деление и извлечение корня	18
§ 6. Некоторые рациональные способы вычислений	23
§ 7. Оформление вычислений и их контроль	32

Г л а в а 2. Табулирование и интерполяция

§ 8. Составление таблиц по заданной формуле	35
§ 9. Рекуррентные формулы	39
§ 10. Конечные разности	42
§ 11. Интерполяция. Формулы Грегори-Ньютона	51
§ 12. Центральные разности. Интерполяционные формулы Бесселя и
Эверетта	61
§ 13. Непосредственное интерполирование по узловым точкам.
Субтабулирование	68
§ 14. Интерполяционная формула Лагранжа. Экстраполяция и обратное
интерполирование	84
§ 15. Таблица с двумя входами. Проверка таблиц	92
Упражнения к главе 2	96

Г л а в а 3. Приближённые методы решения уравнений
и их систем

§ 16. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом
исключения	98
§ 17. Численное решение уравнений с одним неизвестным. Графический
метод отделения корней	105
§ 18. Метод Ньютона, или метод касательных	113
§ 19. Метод линейной интерполяции, или метод хорд	120
§ 20. Метод итераций	123
§ 21. Метод полиномиальной аппроксимации	127
§ 22. Решение систем нелинейных уравнений. Метод линейной
аппроксимации	147
§ 23. Метод вариации параметров	154
§ 24. Решение нелинейных уравнений и их систем в комплексной области	182
Упражнения к главе 3	194

Г л а в а 4. Действия над степенными рядами

§ 25. Вводные замечания	196
§ 26. Функциональные ряды. Равномерная сходимость	201
§ 27. Степенные ряды. Радиус сходимости	205
§ 28. Действия над степенными рядами. Рекуррентные формулы	210
§ 29. Метод неопределённых коэффициентов; m-я степень ряда	217
§ 30. Обращение степенного ряда	221
Упражнения к главе 4	231

Г л а в а 5. Приближённые методы дифференцирования и интегрирования

§ 31. Численное дифференцирование	232
§ 32. Графическое дифференцирование	236
§ 33. Численное интегрирование	239
§ 34. Интегрирование при помощи степенных рядов	248
§ 35. Графическое интегрирование	255
§ 36. Полярный планиметр	258
Упражнения к главе 5	262

Г л а в а 6. Интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений

§ 37. Постановка задачи	265
§ 38. Метод Адамса-Крылова	267
§ 39. О точности метода Адамса-Крылова	274
§ 40. Уравнения высшего порядка	278
§ 41. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных
рядов. Задача Коши	283
§ 42. Выделение из решений особенностей	296
§ 43. Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение
Риккати	307
§ 44. Системы уравнений	329
§ 45. Краевые задачи	344
§ 46. Определение собственных значений. Задача Штурма-Лиувилля	356
§ 47. Определение собственных значений для нелинейных
дифференциальных уравнений	373
§ 48. Уравнения, не разрешённые относительно старшей производной	387
§ 49. Исследование решений в окрестности полюса и существенно особой
точки. Степенные ряды в комплексной области	400
§ 50. Улучшение сходимости рядов для эллиптических функций Якоби	120
§ 51. Применение обобщённых степенных рядов. Уравнение Муаньо.
Уравнение Томаса-Ферми	430
§ 52. Заключительные замечания	454
Упражнения к главе 6	457

Г л а в а 7. Конформные отображения

§ 53. Метод тригонометрической интерполяции. Отображение внутренних
областей	459
§ 54. Отображение внешних областей	478
§ 55. Отображение двухсвязных областей при помощи метода
тригонометрической интерполяции	492
§ 56. Альтернативный метод конформного отображения двухсвязных
областей	503
§ 57. Определение констант интеграла Кристоффеля-Шварца при помощи
обобщённых степенных рядов	509
§ 58. Методика вычислений. Примеры	517
§ 59. Определение констант интеграла Кристоффеля-Шварца при помощи
аналитического продолжения	532
§ 60. Определение констант интеграла Кристоффеля-Шварца при помощи
моделирования на электропроводной бумаге	545
§ 61. Краткий обзор работ по электромоделированию	557
Упражнения к главе 7	563

Г л а в а 8. Графоаналитический метод решения некоторых задач
фильтрации

§ 62. Постановка задачи. Графическое решение для одношпунтового
флютбета при Т = ∞	564
§ 63. Определение основных фильтрационных характеристик	568
§ 64. Графоаналитический расчет многошпунтовых незаглублённых
флютбетов	573
§ 65. Графоаналитический расчёт многошпунтовых заглублённых
флютбетов	577
§ 66. Графоаналитический расчёт флютбетов практического профиля	582
§ 67. Графическое осуществление отображения Е(s)	592
§ 68. Графоаналитический расчёт флютбетов при конечной глубине
водопроницаемого грунта	596
§ 69. Фильтрационный расчёт плоского дренированного флютбета при Т = ∞	604
§ 70. Графоаналитический расчёт дренированных флютбетов
практического профиля при Т ≤ ∞	613
§ 71. Фильтрационный расчёт флютбетов в двухслойной среде	628
§ 72. Гидродинамический эффект шпунта	637
§ 73. О дренировании флютбетов и о полостях на линии контакта
гидротехнического сооружения с грунтом	646
§ 74. О построении подземного контура с наперёд заданным режимом
фильтрации	649
§ 75. О точности графоаналитического метода расчёта флютбетов.
Заключительные замечания	657
Упражнения к главе 8	661

Г л а в а 9. Метод наименьших квадратов. Интерполирование
экспериментальных данных

§ 76. Основные формулы	662
§ 77. Методика вычислений	665
§ 78. Эмпирические формулы	671
§ 79. Интерполирование функций двух независимых переменных при
помощи моделирования на электропроводной бумаге	679
Упражнения к главе 9	684

Г л а в а 10. Элементы номографии

§ 80. Номограммы и их предназначение	688
§ 81. Функциональная шкала	690
§ 82. Номограммы из сдвоенных шкал	698
§ 83. Сетчатые номограммы	702
§ 84. Номограммы из выравненных точек	714
§ 85. Составные номограммы. Номограммы с бинарными полями	729
Упражнения к главе 10	736

Приложение

Таблица I. Биномиальные коэффициенты	741
Таблица II. Коэффициенты для интерполяционной формулы
Грегори-Ньютона	741
Таблица III. Коэффициенты интерполяционной формулы Эверетта	742
Таблица IV. Коэффициенты для непосредственного интерполирования по
узловым точкам	744
Таблица V. Коэффициенты для осуществления конформного отображения
двухсвязных областей по методу тригонометрической интерполяции	748
Номограмма 1. Приведённый полный фильтрационный расход (на вкладке в
конце книги).
Номограмма 2. Приведённый напор при Т ≤ ∞
Номограмма 3. Приведённый напор при Т = ∞
Номограмма 4. Приведённая функция тока при Т = ∞
Summary	764
Литература	765

Книги на ту же тему

Номография и её возможности, Хованский Г. С., 1977
Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
Основы номографии, Хованский Г. С., 1976
Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Лекции по методам вычислений, Гавурин М. К., 1971
Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Нахушева В. А., 2006
Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах, Сербина Л. И., 2007
Методы анализа нелинейных математических моделей, Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М., 1991
Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
Гидрология: Учебник для вузов, Михайлов В. Н., Добровольский А. Д., Добролюбов С. А., 2005
Мелиоративная гидрогеология, Кац Д. М., Шестаков В. М., 1981
Гидрогеологические прогнозы в системе мониторинга подземных вод, Семенов С. М., 2005
Основы гидрогеологии. Общая гидрогеология, Пиннекер Е. В., Писарский Б. И., Шварцев С. Л., Богданов Г. Я., Борисов В. Н., Караванов К. П., 1980
Инфильтрация воды в почву: Краткий справочник, Кулик В. Я., 1978

elapsed time 0.023 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему