Математика

Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. (Идеи и проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее развитие)

Крейн М. Г., Нудельман А. А.

год издания — 1973, кол-во страниц — 552, тираж — 7500, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 520 гр., издательство — Физматлит

цена: 499.00 руб

Сохранность книги — хорошая

Формат 84x108 1/32

В книге рассматривается с современных позиций большой круг вопросов, ведущих своё начало от классических работ П. Л. Чебышева и А. А. Маркова. Показано, как результаты и методы обобщённой проблемы моментов переплетаются с различными вопросами геометрии выпуклых тел, алгебры и теории функций. С этих позиций детально исследуется структура выпуклых и конических оболочек кривых, устанавливаются изопериметрические неравенства для выпуклых оболочек; строится теория ортогональных и квазиортогональных многочленов; обобщаются и решаются задачи Петербургской школы «о предельных величинах интегралов», о наименее уклоняющихся (в различных метриках) функциях; решаются задачи теории приближения, теории интерполирования и экстраполирования в различных классах функций (аналитических, абсолютно монотонных, почти периодических и др.), а также некоторые задачи теории оптимального управления линейными объектами.

Заключительная глава посвящена установлению принципа двойственности между задачами наилучшего приближения в нормированном пространстве и абстрактной L-проблемой моментов и различным его иллюстрациям.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, её содержание доступно уже для студентов 3-го курса механико-математических специальностей университетов и педагогических институтов, и только последняя глава предполагает знание элементов функционального анализа.

Библ. названий 250, рис. 5

Предисловие	10
Введение	15

Г л а в а I. Выпуклые и упорядоченно выпуклые множества	17

§ 1. Основные определения и теорема Минковского	17
§ 2. Масштабная и опорная функции Минковского	21
§ 3. Конусы и конические оболочки	24
1. Выпуклые конические множества (24). 2. Коническая оболочка
(26). 3. Основная теорема о конической оболочке (28). 4. Об
одной задаче А. А. Маркова о сопряжении железнодорожных путей
(32).
§ 4. Упорядоченно выпуклые множества	36
1. Основные определения (36). 2. Свойства открытых упорядоченно
выпуклых множеств (37). 3. Строго упорядоченно выпуклые
множества (40).
§ 5. Выпуклые и одновременно упорядоченно выпуклые множества	42
§ 6. Изотонные функции	44
§ 7. Теорема Хелли о пересечении выпуклых множеств	46
Примечания к главе I	48

Г л а в а II. Системы функций Чебышева	50

§ 1. Основные свойства систем функций Чебышева	50
1. T-системы (50). 2. Свойства многочленов T-системы (53).
§ 2. Примеры	59
§ 3. Аппроксимация аналитическими функциями	63
1. Аппроксимация T-систем (63). 2. Аппроксимация периодических
T-систем (65).
§ 4. Системы Маркова	67
§ 5. Структура М₊-системы	72
§ 6. Специальные T-системы	79
Примечания к главе II	81

Г л а в а III. Канонические представления обобщённых моментов	83

§ 1. Основная теорема о позитивных последовательностях	84
§ 2. Некоторые приложения	87
1. Неотрицательные тригонометрические и алгебраические
многочлены (88). 2. Степенная проблема моментов (90).
3. Тригонометрическая проблема моментов (93). 4. Проблема
Неванлинны-Пика в различных классах функций (95).
§ 3. Максимальная масса моментной последовательности	102
1. Максимальная масса (102). 2. Вычисление р(ξ) для степенных
моментов (104).
§ 4. Канонические представления моментной последовательности для
T-системы	109
1. Канонические представления (109). 2. Об определённости
проблемы моментов (114). 3. Построение канонических
представлений для степенных моментов (115). 4. Выражение Q_ξ(t)
через ортогональные многочлены (117).
§ 5. Существование главных представлений	119
1. Вспомогательные предложения (119). 2. Существование главных
представлений (121). 3. Главные представления степенных моментов
(121). 4. Выражение через ортогональные многочлены (122). 5.
Одноступенчатые продолжения степенной моментной
последовательности (123).
§ 6. Движение масс канонических представлений	125
1. Случай нечётного n (125). 2. Случай чётного n (128).
§ 7. Представления с индексами n+3 и n+4	130
1. Представления индекса n+3 (130). 2. Движение масс
представлений индекса n+3 (132). 3. Представления индекса n+4
(134). 4. Движение масс представления индекса ≤ n+4 (135).
§ 8. Изопериметрические неравенства для выпуклых оболочек	137
1. Вычисление объёма выпуклой оболочки (137). 2.
Изопериметрическое неравенство в R^2ν (141).
3. Изопериметрическое неравенство в R^2ν+1 (141).
Примечания к главе III	148

Г л а в а IV. Проблема Чебышева-Маркова	149

§ 1. Механические квадратуры и решение одной экстремальной задачи	150
1. Механические квадратуры (150). 2. Экстремальные значения
интеграла (151).
§ 2. Некоторые приложения	154
1. Неравенство для выпуклых функций (154). 2. Задачи Стилтьеса и
Поссе (155). 3. Важный частный случай (158). 4. Важное тождество
(160). 5. Новые выражения для Q_ξ(t) (161).
§ 3. Неравенства Чебышева-Маркова	163
1. Постановка задачи (163). 2. Три интерполяционные леммы для
М₊-систем (163). 3. Неравенства Чебышева-Маркова (171).
§ 4. Общие теоремы об экстремальных значениях интегралов	174
§ 5. Обратные теоремы	180
1. Постановка вопросов (180). 2. Ответ на первый вопрос (181).
3. Ответ на второй вопрос (185). 4. Обратная теорема для
неравенств Чебышева-Маркова (186).
§ 6. Геометрический подход	189
1. Геометрический метод (189). 2. Строение ∂K(U) (190).
§ 7. Описание всех решений степенной проблемы моментов в конечном
интервале	195
1. Лунки G(z;s⁽ⁿ⁾) (195). 2. Случай чётного n (198).
3. Случай нечётного n (200).
§ 8. Случай Т-системы периодических функций	201
1. Основные свойства многочленов периодических T-систем (201).
2. Канонические представления (202). 3. Область G, отвечающая
продолженной моментной последовательности (203).
4. Тригонометрическая проблема моментов (209). 5. Проблема
Каратеодори и описание её решений (214). 6. Задача
Каратеодори-Фейера (219). 7. Задача И. Шура (223).
Исторические комментарии и примечания к главе IV	225

Г л а в а V. Проблема моментов на полубесконечном или
бесконечном интервале	234

§ 1. Общие положения	234
1. Обобщённые моменты на полубесконечном интервале (234).
2. Канонические представления (238). 3. Экстремальные значения
интегралов (239). 4. Неравенства Чебышева (242). 5. Проблема
моментов на бесконечном интервале (246).
§ 2. Интерполяция абсолютно монотонных функций	249
§ 3. Интерполяционная задача для функций класса ℰ^-	253
1. Критерий разрешимости (253). 2. Экстремальные решения (255).
3. Нахождение экстремальных решений (256). 4. Связь со степенной
проблемой (258).
§ 4. Описание всех решений проблемы моментов Стилтьеса	260
§ 5. Описание всех решений интерполяционной задачи в классе ℰ^-	262
§ 6. Об определённости проблемы Стилтьеса и трёх интерполяционных
задач при бесконечном числе данных	266
1. Проблемы Гамбургера и Стилтьеса (266). 2. Определённость
интерполяционной задачи для абсолютно монотонных функций (269).
3. Определённость интерполяционной задачи для функций класса ℰ^-
(270). 4. Проблема Неванлинны-Пика в классе ℬ (273).
Примечания к главе V	277

Г л а в а VI. Проблема Чебышева-Маркова с моментами из
параллелепипеда	278

§ 1. Конусы K(U), обладающие марковским свойством	279
1. Теорема о параллелепипеде (279). 2. Примеры (282). 3. Об
одной задаче П. Л. Чебышева (286). 4. Обратная теорема (289).
§ 2. Экстремальные значения интеграла по всему интервалу	293
1. Экстремальные значения интеграла (293). 2. Задача
А. А. Маркова (295). 3. Применение к абсолютно монотонным
функциям (296). 4. Применение к функциям класса ℰ^- (297).
§ 3. Движение масс главных представлений при изменении моментов	298
1. Движение масс главных представлений (298). 2. Теорема
о корнях и вторая часть теоремы об определителях (301). 3.
Случай, когда моментная точка с приближается к ∂K(U) (302).
§ 4. Движение масс канонических представлений при изменении моментов	304
1. ξ-главные поверхности (304). 2. Движение масс канонических
представлений (307). 3. Случай, когда моментная точка с
приближается к ∂K(U) (308).
§ 5. Экстремальные значения интеграла по части интервала	309
1. Вспомогательное предложение (309). 2. Изотонность
экстремальных значений интеграла (310). 3. Случай, когда π
пересекается с ξ-главной поверхностью (312).
Исторические комментарии и примечания к главе VI	314

Г л а в а VII. Проблема Маркова	316

§ 1. (φ, ψ)-проблема	317
1. Постановка задачи (317). 2. Тело ℜ(φ, ψ) (318). 3. Критерий
разрешимости и определённости (320).
§ 2. Степенная (0, L)-проблема и тригонометрическая (—L, L)-проблема	323
1. Критерий разрешимости степенной (0, L)-проблемы (323). 2.
(0, L)-канонические представления (325). 3. Тригонометрическая
(—L, L)-проблема (327).
§ 3. Канонические представления (φ, ψ)-моментной последовательности.
Экстремальные значения интегралов	328
1. Строение ∂ℜ(φ, ψ) (328). 2. Главные представления (331).
3. Канонические представления (334). 4. Построение канонических
представлений для степенной (0, L)-проблемы (337).
5. Канонические представления для тригонометрической
(—L, L)-проблемы моментов (339).
§ 4. Неравенства Маркова	342
§ 5. Об одной минимум-проблеме	345
1. Постановка задачи (345). 2. Геометрическое решение (346).
3. Обобщённая задача Чебышева-Стилтьеса (348). 4. Пример (350).
5. Обобщённая задача Поссе (354).
§ 6. (φ, ψ)-проблема с изменяющимися моментами	358
1. Изменение главных представлений. Теорема о параллелепипеде
(358). 2. Экстремальные значения интеграла по всему интервалу
(362). 3. Экстремальные значения интеграла по части интервала
(363). 4. Одна минимум-проблема (367).
§ 7. Одно обобщение (φ, ψ)-проблемы и задача об оптимальном
управлении	369
1. Обобщение (φ, ψ)-проблемы (369). 2. Оптимальное управление по
быстродействию (372).
Исторические комментарии и примечания в главе VII	376

Г л а в а VIII. Проблема Чебышева-Маркова на несвязном
линейном компакте	380

§ 1. T-системы на компакте	381
1. T-системы и T₊-системы (381). 2. Индекс относительно Е (382).
3. Свойства T₊-систем на Е (386).
§ 2. Основные теоремы о позитивных последовательностях	387
1. Позитивность на E (387). 2. Примеры (388).
§ 3. Максимальная масса. Канонические и главные представления	392
1. Определение и пример (392). 2. Канонические представления.
Признаки максимальности массы (393). 3. Существование главных
представлений (396). 4. Экстремальные значения интегралов (399).
§ 4. Перемежаемость масс канонических представлений	400
§ 5. Минимальная масса	403
1. Определение и признаки минимальности массы (403).
2. Вычисление ρ_min(ξ) с помощью ℭ (407).
§ 6. Канонические представления на E_m	408
1. Канонические представления на E_m (408). 2. Движение масс
(411).
§ 7. Канонические представления на целочисленном компакте	413
1. Канонические представления на N (413). 2. «Смещение» блоков
(415). 3. «Движение» масс (417).
§ 8. Абсолютно мотонные функции на конечном интервале	418
§ 9. Гладкая (φ, ψ)-проблема на E_m	424
1. Постановка задачи и критерий разрешимости (424).
2. Канонические представления (425). 3. Свойства канонических
представлений (427). 4. Неравенства Маркова (428). 5. Проблема
Неванлинны-Пика в классе ℰ(E_m) (429). 6. (φ, ψ)-проблема на
E_m и оптимальные управления (436).
Примечания к главе VIII	437

Г л а в а IX. Абстрактная L-проблема, принцип двойственности и
некоторые приложения	439

§ 1. L-проблема в линейном нормированном пространстве	440
1. Основная теорема (440). 2. Экстремальные и нормальные
элементы (442). 3. Случай строго нормированного пространства
(445). 4. Обобщения основной теоремы (446).
§ 2. L-проблема и наилучшее приближение в пространстве L₁(a,b)	447
1. L-проблема в пространстве L₁(a,b) (447). 2. Наилучшее
приближение многочленами (450). 3. Об одной нерешённой задаче
(456). 4. Об одной задаче Ф. Рисса и проблеме Неванлинны-Пика
в классах H_p (457).
§ 3. Наилучшее приближённое решение несовместной системы линейных
уравнений	460
1. L-проблема в конечномерном пространстве (460). 2. Применение
к несовместным системам линейных уравнений (463). 3. Метод
Шнирельмана. Теорема Ремеза (465). 4. Решение задачи в частных
случаях средствами статики (466).
§ 4. L-проблема и наилучшее приближение в пространстве C(a,b)	471
1. L-проблема в пространстве C(a,b) (471). 2. Наилучшее
приближение многочленами (475). 3. Случай комплексного
пространства (478).
§ 5. L-проблема в пространстве с несимметричной нормой	482
1. Общие предложения (482). 2. (λ, μ)-норма (484).
3. (φ₊, φ_-)-норма (487). 4. Наилучшее приближение многочленами
в (φ₊, φ_-)-норме (490).
§ 6. Теорема об ужах и следствия из неё	492
1. Теорема об ужах (492). 2. Случай, когда коридор образован
ужами (495). 3. Представление неотрицательных многочленов (497).
§ 7. L-проблема в пространстве почти-периодических функций Степанова	501
1. S-функции (501). 2. L-проблема для S-функций (503).
3. Основная теорема (505).
§ 8. L-проблема и теория оптимальных управлений	511
1. Постановка задачи (511). 2. Сведение к L-проблеме (512).
3. Пример (513).
Примечания к главе IX	515

П р и л о ж е н и е. Интегральные представления аналитических
функций некоторых специальных классов	519

1. Функции классов ℭ и ℛ (519). 2. Функции класса ℰ (522). 3. Функции класса ℛ[a,b] (525). 4. Функции класса ℰ[a,b] (527). 5. Функции класса ℰ(E_m) (528).

Примечания к Приложению	530
Цитированная литература	531
Предметный указатель	547

Книги на ту же тему

Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, Варга Р., 1974
Некоторые вопросы теории приближений, Тихомиров В. М., 1976
Экстремальные задачи теории приближения, Корнейчук Н. П., 1976
Математические методы оптимального управления. — 2-е изд., перераб. и доп., Болтянский В. Г., 1968
Элементы теории оптимальных систем, Моисеев Н. Н., 1975
Введение в теорию линейного и выпуклого программирования, Еремин И. И., Астафьев Н. Н., 1976
Прикладной функциональный анализ, Балакришнан А. В., 1980
Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
Функциональный анализ. — 2-е изд., перераб. и доп., Крейн С. Г., ред., 1972
Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
Элементарное введение в абстрактную алгебру, Фрид Э., 1979
Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 2-е изд., исправл., Кострикин А. И., 2001
Алгебра, Ленг С., 1968
Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг Л., 1974
Математика в Петербургской Академии наук в конце XVIII — первой половине XIX в., Ожигова Е. П., 1980
Стохастическая теория переноса частиц высоких энергий, Учайкин В. В., Рыжов В. В., 1988

http://knigoprovod.ru

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему