| Предисловие редактора | 6 |
| Предисловие | 11 |
| |
| Введение | 15 |
| |
| § 1. Сфероидальные системы координат | 15 |
| § 2. Разделение переменных в уравнениях Гельмгольца и Шрёдингера в сфероидальных координатах | 20 |
| § 3. Разделение переменных в уравнениях Максвелла в сфероидальных координатах | 24 |
| |
| Г л а в а I. Сфероидальные функции | 28 |
| |
| § 1. Элементарные свойства сфероидальных функций | 28 |
1. Общее уравнение для сфероидальных функций, его преобразования и свойства решений (28). 2. Вытянутые угловые сфероидальные функции (в.у.с.ф.) и вытянутые радиальные сфероидальные функции (в.р.с.ф.) (30). 3. Сплюснутые угловые сфероидальные функции (с.у.с.ф.) и сплюснутые радиальные сфероидальные функции (с. р. с. ф.) (39). 4. Некоторые интегралы от сфероидальных функций (45) |
| Библиографические указания | 47 |
| § 2. Интегральные уравнения и соотношения для сфероидальных функций | 47 |
1. Основное интегральное уравнение для в.у.с.ф. и свойства его характеристических чисел (47). 2. Собственные функции преобразования Фурье в конечных пределах. Свойство двойной ортогональности (54). 3. Другие типы интегральных уравнений и соотношений для сфероидальных функций (57). 4. Гиперсфероидальные функции (61) |
| Библиографические указания | 64 |
| § 3. Разложения сфероидальных функций в ряды | 65 |
1. Предварительные сведения из теории цепных дробей (65). 2. Разложения угловых сфероидальных функций по присоединённым полиномам Лежандра (68). 3. Другие типы разложений угловых сфероидальных функций (75). 4. Разложения радиальных сфероидальных функций (79). 5. Сведения о таблицах сфероидальных функций (83) |
| Библиографические указания | 84 |
| § 4. Разложения сфероидальных функций при малых значениях параметра | 85 |
1. Вычисления по теории возмущений (85). 2. Алгебраический подход (87) |
| Библиографические указания | 93 |
| § 5. Асимптотические разложения сфероидальных функций по большому параметру | 93 |
1. Предварительные замечания (93). 2. Асимптотика вытянутых угловых сфероидальных функций (97). 3 Асимптотика вытянутых радиальных сфероидальных функций (110). 4. Асимптотика сплюснутых угловых сфероидальных функций (112). 5. Асимптотика сплюснутых радиальных сфероидальных функций (122) |
| Библиографические указания | 124 |
| § 6. Квазиклассическая асимптотика сфероидальных функций | 124 |
| Библиографические указания | 130 |
| § 7. Разложения функций Грина и плоских волн по сфероидальным функциям | 131 |
1. Разложения функций Грина по сфероидальным функциям (131). 2. Разложения плоских волн по сфероидальным функциям (134). 3. Другой вывод интегральных уравнений и соотношений для сфероидальных функций (136). 4. Интегральные представления функций Грина (138) |
| Библиографические указания | 140 |
| |
| Г л а в а II. Кулоновские сфероидальные функции | 141 |
| |
| § 1. Определение и элементарные свойства | 141 |
1. Уравнение для кулоновских сфероидальных функций и элементарные свойства его решений (141). 2. Угловые кулоновские сфероидальные функции (у.к.с.ф.) (143). 3. Радиальные кулоновские сфероидальные функции (р.к.с.ф.) (148) |
| § 2. Разложение кулоновских сфероидальных функций в ряды | 152 |
1. Предварительные замечания (152). 2. Разложение у.к.с.ф. в ряды (154). 3. Разложение р.к.с.ф. в ряды (159). 4. Полиномы, связанные с у.к.с.ф. и р.к.с.ф. (162) |
| Библиографические указания к §§ 1, 2 | 170 |
| § 3. Задача двух кулоновских центров в квантовой механике | 171 |
1. Основные определения. Представление решений через р.к.с.ф. и у.к.с.ф. (171). 2. Дискретный спектр. Общие свойства решений (173). 3. Правила соответствия термов при R → 0 и R → ∞ (176). 4. Алгоритм вычисления термов и волновых функций (179). 5. Пересечения и квазипересечения термов и другие особенности дискретного спектра (186). 6. Непрерывный спектр (196). 7. Сведения о таблицах (202) |
| § 4. Асимптотические разложения решений задачи двух кулоновских центров при R → ∞ | 203 |
1. Асимптотические разложения Ξmq(p,2рβ;η) и Πmk(р,2ра;ξ) и соответствующих им собственных значений λ при p → ∞ (203). 2. Энергия системы Z1eZ2 при R → ∞ (218) |
| Библиографические указания | 226 |
| § 5. Асимптотические разложения решений задачи Z1eZ2 при R → 0 | 227 |
1. Теория возмущений для оператора энергии (227). 2. Разложения у.к.с.ф. и р.к.с.ф., необходимые для анализа системы Z1eZ2 при R → 0 (229). 3. Основное состояние системы Z1eZ2 при малых R (231) |
| Библиографические указания | 233 |
| § 6. Квазиклассическая асимптотика решений задачи Z1eZ2 | 233 |
| Библиографические указания | 238 |
| § 7. Слабосвязанные состояния в поле конечного диполя | 239 |
1. Постановка задачи (239). 2. Асимптотика р.к.с.ф. Πmk(р,0;ξ) и собственных значений λ(ξ)mk(p,0) при p → 0 (239). 3. Асимптотика у.к.с.ф. Ξmq(p,b;η) и λ(η)mq(p,b) при b → ∞ (246). 4. Энергетический спектр системы вблизи E=0 (250) |
| Библиографические указания | 252 |
| § 8. Связь задачи Z1eZ2 с одноцентровой кулоновской задачей | 252 |
1. Оператор константы разделения (252). 2. Водородолодобный атом в сфероидальных координатах (256). 3. Элементарные решения в задаче Z1eZ2 (261). 4. Кулоновские серии в системе Z1eZ2 (263) |
| |
| Г л а в а III. Обзор физических приложений | 265 |
| |
| § I. Применения сфероидальных функций, связанные с разделением переменных в акустических и электродинамических задачах | 265 |
1. Обзор литературы (265). 2. Поле вертикального электрического диполя, расположенного на оси вытянутого сфероида (266). 3. Собственные колебания типа «прыгающего мячика» внутри сплюснутого сфероида (269) |
| § 2. Применения сфероидальных функций, связанные с интегральными уравнениями | 271 |
1. Принцип неопределённости в оптике и радиотехнике (271). 2. Восстановление структуры объекта по изображению (275). 3. Задача синтеза линейной антенны (278). 4. Собственные колебания конфокального открытого резонатора (283) |
| Библиографические указания | 286 |
| § 3. Рассеяние на потенциалах, допускающих разделение переменных в сфероидальных координатах | 287 |
| Библиографические указания | 293 |
| § 4. Применение решений задачи двух центров в задаче трёх тел, взаимодействующих по закону Кулона | 294 |
| Библиографические указания | 299 |
| |
| Литература | 301 |
