| Из предисловия к первому изданию | 7 |
| Предисловие ко второму изданию | 8 |
| |
| Г л а в а I. Бесконечные множества | 9 |
| |
| § 1. Операции над множествами | 9 |
| § 2. Взаимооднозначное соответствие | 13 |
| § 3. Счётные множества | 16 |
| § 4. Мощность континуума | 20 |
| § 5. Сравнение мощностей | 25 |
| |
| Г л а в а II. Точечные множества | 34 |
| |
| § 1. Предельная точка | 34 |
| § 2. Замкнутые множества | 37 |
| § 3. Внутренние точки и открытые множества | 41 |
| § 4. Расстояния и отделимость | 44 |
| § 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств | 47 |
| § 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества | 51 |
| |
| Г л а в а III. Измеримые множества | 56 |
| |
| § 1. Мера ограниченного открытого множества | 56 |
| § 2. Мера ограниченного замкнутого множества | 61 |
| § 3. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества | 65 |
| § 4. Измеримые множества | 68 |
| § 5. Измеримость и мера как инварианты движения | 72 |
| § 6. Класс измеримых множеств | 76 |
| § 7. Общие замечания о проблеме меры | 80 |
| § 8. Теорема Витали | 82 |
| |
| Г л а в а IV. Измеримые функции | 86 |
| |
| § 1. Определение и простейшие свойства измеримой функции | 86 |
| § 2. Дальнейшие свойства измеримых функций | 90 |
| § 3. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере | 92 |
| § 4. Структура измеримых функций | 98 |
| § 5. Теорема Вейерштрасса | 103 |
| |
| Г л а в а V. Интеграл Лебега от ограниченной функции | 109 |
| |
| § 1. Определение интеграла Лебега | 109 |
| § 2. Основные свойства интеграла | 114 |
| § 3. Предельный переход под знаком интеграла | 119 |
| § 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега | 121 |
| § 5. Восстановление первообразной функции | 126 |
| |
| Г л а в а VI. Суммируемые функции | 129 |
| |
| § 1. Интеграл неотрицательной измеримой функции | 129 |
| § 2. Суммируемые функции любого знака | 136 |
| § 3. Предельный переход под знаком интеграла | 142 |
| |
| Г л а в а VII. Функции, суммируемые с квадратом | 154 |
| |
| § 1. Основные определения. Неравенства. Норма | 154 |
| § 2. Сходимость в среднем | 157 |
| § 3. Ортогональные системы | 163 |
| § 4. Пространство ℓ2 | 172 |
| § 5. Линейно независимые системы | 179 |
| § 6. Пространства Lр и ℓр | 183 |
| |
| Г л а в а VIII. Функции с конечным изменением. Интеграл Стилтьеса | 191 |
| |
| § 1. Монотонные функции | 191 |
| § 2. Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции | 193 |
| § 3. Функции с конечным изменением | 202 |
| § 4. Принцип выбора Хелли | 207 |
| § 5. Непрерывные функции с конечным изменением | 210 |
| § 6. Интеграл Стилтьеса | 213 |
| § 7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса | 218 |
| § 8. Линейные функционалы | 222 |
| |
| Г л а в а IX. Абсолютно непрерывные функции. Неопределённый |
 интеграл Лебега | 226 |
| |
| § 1. Абсолютно непрерывные функции | 226 |
| § 2. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций | 229 |
| § 3. Непрерывные отображения | 230 |
| § 4. Неопределённый интеграл Лебега | 234 |
| § 5. Замена переменной в интеграле Лебега | 242 |
| § 6. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность | 245 |
| § 7. Добавления к теории функций с конечным изменением и интегралов |
| Стилтьеса | 248 |
| § 8. Восстановление первообразной функции | 251 |
| |
| Г л а в а X. Сингулярные интегралы. Тригонометрические ряды. |
| Выпуклые функции | 257 |
| |
| § 1. Понятие сингулярного интеграла | 257 |
| § 2, Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке | 261 |
| § 3. Приложения в теории рядов Фурье | 266 |
| § 4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов и рядов Фурье | 273 |
| § 5. Производные Шварца и выпуклые функции | 279 |
| § 6. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд | 289 |
| |
| Г л а в а XI. Точечные множества в двумерном пространстве | 300 |
| |
| § 1. Замкнутые множества | 300 |
| § 2. Открытые множества | 302 |
| § 3. Теория измерения плоских множеств | 305 |
| § 4. Измеримость и мера как инварианты движения | 312 |
| § 5. Связь меры плоского множества с мерами его сечений | 318 |
| |
| Г л а в а XII. Измеримые функции нескольких переменных и их |
| интегрирование | 322 |
| |
| § 1. Измеримые функции. Распространение непрерывных функций | 322 |
| § 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл | 326 |
| § 3. Теорема Фубини | 328 |
| § 4. Перемена порядка интегрирований | 333 |
| |
| Г л а в а XIII. Функции множества и их применения в теории |
| интегрирования | 337 |
| |
| § 1. Абсолютно непрерывные функции множества | 337 |
| § 2. Неопределённый интеграл и его дифференцирование | 342 |
| § 3. Обобщение полученных результатов | 344 |
| |
| Г л а в а XIV. Трансфинитные числа | 348 |
| |
| § 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы | 348 |
| § 2. Вполне упорядоченные множества | 352 |
| § 3. Порядковые числа | 355 |
| § 4. Трансфинитная индукция | 358 |
| § 5. Второй числовой класс | 359 |
| § 6. Алефы | 361 |
| § 7. Аксиома и теорема Цермело | 363 |
| |
| Г л а в а XV. Классификация Бэра | 367 |
| |
| § 1. Классы Бэра | 367 |
| § 2. Непустота классов Бэра | 372 |
| § 3. Функции 1-го класса | 377 |
| § 4. Полунепрерывные функции | 385 |
| |
| Г л а в а XVI. Некоторые обобщения интеграла Лебега | 392 |
| |
| § 1. Введение | 392 |
| § 2. Определение интеграла Перрона | 393 |
| § 3. Основные свойства интеграла Перрона | 395 |
| § 4. Неопределённый интеграл Перрона | 397 |
| § 5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега | 399 |
| § 6. Абстрактно заданный интеграл и его обобщение | 403 |
| § 7. Узкий интеграл Данжуа | 408 |
| § 8. Теорема Г. Хаке | 411 |
| $ 9. Теорема П. С. Александрова — Г. Ломана | 418 |
| § 10. Понятие о широком интеграле Данжуа | 422 |
| |
| Г л а в а XVII. Функции с неограниченными областями задания | 425 |
| |
| § 1. Мера неограниченного множества | 425 |
| § 2. Измеримые функции | 427 |
| § 3. Интегралы по неограниченным множествам | 427 |
| § 4. Функции, суммируемые с квадратом | 429 |
| § 5. Функции с конечным изменением. Интегралы Стилтьеса | 430 |
| § 6. Неопределённые интегралы и абсолютно непрерывные функции |
| множества | 433 |
| |
| Г л а в а XVIII. Некоторые сведения из функционального анализа | 436 |
| |
| § 1. Метрические и, в частности, линейные нормированные пространства | 436 |
| § 2. Компактность | 442 |
| § 3. Условия компактности в некоторых пространствах | 447 |
| § 4. Банаховский «принцип неподвижной точки» и некоторые его приложения | 462 |
| |
| Д о б а в л е н и я | 471 |
| |
| I. Длина дуги кривой | 471 |
| II. Пример Штейнгауза | 474 |
| III. Некоторые дополнительные сведения о выпуклых функциях | 476 |
