Настоящее издание несколько отличается от предшествующих. Прежде всего внесены редакционные изменения во всю книгу под влиянием пожеланий, высказанных рядом читателей. Они касаются не существа её содержания, но имеют целью упростить изложение и уточнить содержание. Таких изменений особенно много в главах 1 и 2. Далее вместо последней главы «Элементы математической статистики» включена глава «Элементы теории массового обслуживания». Математическая статистика заслуживает специального изложения, поэтому несколько параграфов, посвящённых лишь некоторым вопросам этой важной и разветвлённой науки, могут создать не совсем точное представление об её содержании. Одновременно с этим особое направление теории случайных процессов, тесно связанное с запросами практики и получившее в нашей стране наименование теории массового обслуживания, заслуживает хотя бы упоминания в учебнике…

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЁРТОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящий курс разбивается на две части — элементарную (главы 1—6) и специальную (главы 7—11). Последние пять глав могут служить базой для спецкурсов — теории суммирования случайных величин, теории стохастических процессов, элементов математической статистики.

Теория вероятностей рассматривается в книге исключительно как математическая дисциплина, поэтому получение конкретных естественнонаучных или технических результатов в ней не является самоцелью. Все примеры в тексте книги имеют целью только разъяснение общих положений теории и указание на связь этих положений с задачами естествознания. Конечно, одновременно эти примеры дают указания на возможные области приложения общетеоретических результатов, а также развивают умение применить эти результаты в конкретных задачах. Такое направление изучения даёт возможность читателю выработать своеобразную теоретико-вероятностную интуицию, которая позволяет предвидеть в общих чертах выводы раньше, чем применён аналитический аппарат. Заметим далее, что без систематического решения задач изучать теорию вероятностей нельзя, в особенности на первых порах.

Первые четыре параграфа первой главы являются незначительной переработкой неопубликованных рукописей А. Н. Колмогорова.

Я счастлив поблагодарить здесь моих дорогих учителей А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина, много помогавших мне своими советами и беседами, касавшимися узловых вопросов теории вероятностей.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Предисловие к четвёртому изданию	6
Предисловие к третьему изданию	6
Предисловие ко второму изданию	7
Из предисловия к первому изданию	8

Введение	9

Г л а в а 1. Понятие вероятности	14

§ 1. Достоверное, невозможное и случайное события	14
§ 2. Различные подходы к определению вероятности	17
§ 3. Пространство элементарных событий	20
§ 4. Классическое определение вероятности	25
§ 5. Классическое определение вероятности. Примеры	28
§ 6. Геометрические вероятности	35
§ 7. Частота и вероятность	41
§ 8. Аксиоматическое построение теории вероятностей	48
§ 9. Условная вероятность и простейшие основные формулы	54
§ 10. Примеры	62
У п р а ж н е н и я	70

Г л а в а 2. Последовательность независимых испытаний	73

§ 11. Независимые испытания. Формулы Бернулли	73
§ 12. Локальная предельная теорема	78
§ 13. Интегральная предельная теорема	87
§ 14. Применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа	94
§ 15. Теорема Пуассона	98
§ 16. Иллюстрация схемы независимых испытаний	103
У п р а ж н е н и я	103

Г л а в а 3. Цепи Маркова	109

§ 17. Определение цепи Маркова. Матрица перехода	109
§ 18. Классификация возможных состояний	113
§ 19. Теорема о предельных вероятностях	116
§ 20. Обобщение теоремы Муавра-Лапласа на последовательность
испытаний, связанных цепной зависимостью	119
У п р а ж н е н и я	125

Г л а в а 4. Случайные величины и функции распределения	127

§ 21. Основные свойства функций распределения	127
§ 22. Непрерывные и дискретные распределения	134
§ 23. Многомерные функции распределения	138
§ 24. Функции от случайных величин	146
§ 25. Интеграл Стилтьеса	159
У п р а ж н е н и я	163

Г л а в а 5. Числовые характеристики случайных величин	168

§ 26. Математическое ожидание	168
§ 27. Дисперсия	174
§ 28. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии	180
§ 29. Определение математического ожидания в аксиоматике Колмогорова	186
§ 30. Моменты	189
У п р а ж н е н и я	196

Г л а в а 6. Закон больших чисел	199

§ 31. Массовые явления и закон больших чисел	199
§ 32. Закон больших чисел в форме Чебышёва	202
§ 33. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел	210
§ 34. Усиленный закон больших чисел	214
У п р а ж н е н и я	223

Г л а в а 7. Характеристические функции	224

§ 35. Определение и простейшие свойства характеристических функций	224
§ 36. Формула обращения и теорема единственности	229
§ 37. Теоремы Хелли	235
§ 38. Предельные теоремы для характеристических функций	240
§ 39. Положительно определённые функции	244
§ 40. Характеристические функции многомерных случайных величин	248
У п р а ж н е н и я	254

Г л а в а 8. Классическая предельная теорема	257

§ 41. Постановка задачи	257
§ 42. Теорема Ляпунова	260
§ 43. Локальная предельная теорема	265
У п р а ж н е н и я	272

Г л а в а 9. Теория безгранично-делимых законов распределения	273

§ 44. Безгранично-делимые законы и их основные свойства	273
§ 45. Каноническое представление безгранично-делимых законов	276
§ 46. Предельная теорема для безгранично-делимых законов	281
§ 47. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм	284
§ 48. Предельные теоремы для сумм	285
§ 49. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона	289
У п р а ж н е н и я	292

Г л а в а 10. Теория стохастических процессов	293

§ 50. Вводные замечания	293
§ 51. Пуассоновский процесс	297
§ 52. Условные функции распределения и формула Бейеса	304
§ 53. Обобщённое уравнение Маркова	308
§ 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова	309
§ 55. Чисто разрывный случайный процесс. Уравнения
Колмогорова-Феллера	318
§ 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями	325
§ 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина
о коэффициенте корреляции	330
§ 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение
стационарных процессов	338
§ 59. Эргодическая теорема Биркхофа-Хинчина	341

Г л а в а 11. Элементы теории массового обслуживания	346

§ 60. Общая характеристика задач теории	346
§ 61. Процессы гибели и размножения	353
§ 62. Однолинейная система с очередью	362
§ 63. Предельная теорема для потоков	369
§ 64. Элементы теории резервирования	375

Т а б л и ц а значений функции φ(x) = exp(-0.5x²)/(2π)^0.5	384
Т а б л и ц а значений функции Φ(x) = ₀∫^xexp(-0.5z²)dz/(2π)^0.5	385
Т а б л и ц а значений функции P_k(a) = a^ke^—a/k!	386
Т а б л и ц а значений функции Σ a^me^—a/m!	388

Литература	390
Алфавитный указатель	396

Книги на ту же тему

Теория вероятностей, Вентцель Е. С., Овчаров Л. А., 1969
Введение в теорию вероятностей, Пугачёв В. С., 1968
Теория вероятностей. — 2-е изд., перераб. и доп., Вентцель Е. С., 1962
О некоторых вопросах современной математики и кибернетики. Сборник статей в помощь учителю математики, Смолянский М. Л., сост., 1965
Задачник по теории вероятностей, Палий И. А., 2004
Предельные теоремы теории вероятностей: Учебное пособие, Кочетков Е. С., Смерчинская С. О., Осокин А. В., 1999
Анализ временных рядов, Хеннан Э., 1964
Математика и логика: ретроспектива и перспективы, Кац М., Улам С. М., 1971
Инженерные методы теории массового обслуживания. — 2-е изд., перераб. и доп., Таранцев А. А., 2007
Теория ветвящихся случайных процессов, Харрис Т., 1966
Математические методы исследования операций, Саати Т. Л., 1963
Конечные цепи Маркова, Кемени Д. Д., Снелл Д. Л., 1970
Эргодическая теория и информация, Биллингслей П., 1969

elapsed time 0.022 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему