Математика

Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов — Голоскоков Д. П.

Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов
Учебное издание

год издания — 2004, кол-во страниц — 539, ISBN — 5-94723-670-2, тираж — 4500, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7БЦ, масса книги — 600 гр., издательство — Питер

серия — Учебник для вузов

цена: 700.00 руб

Р е ц е н з е н т ы:
Колгатин С. Н. — д-р техн. наук, проф. кафедры экспериментальной физики СПбГПУ
Кафедра прикладной математики Академии гражданской авиации, Береславский Э. Н. — д-р ф.-м. наук, проф., зав. каф.

Формат 70x100 1/16

В книге рассмотрены классические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, метод интегральных преобразований в конечных и бесконечных пределах, а также элементы вариационного исчисления и теории интегральных уравнений. Особенностью учебного курса является широкое использование системы аналитических вычислений Maple при решении учебных задач математической физики. В конце глав приводится большое количество задач для самостоятельного решения и примеры решения задач в Maple с текстами программ, что делает этот учебник удобным пособием для практических и лабораторных занятий по математической физике.

Учебник может быть также рекомендован студентам и аспирантам технических университетов и высших технических учебных заведений физико-математических и инженерно-физических специальностей.

Предисловие	9
От издательства	12

1. Введение	13
Предмет и задачи математической физики	13
Основные дифференциальные операторы математической физики	14
Основные интегральные тождества	18
Криволинейные координаты	21

2. Уравнения математической физики	26
Уравнение колебаний	26
Уравнение малых поперечных колебаний струны	27
Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня	28
Уравнение малых поперечных колебаний мембраны	32
Телеграфное уравнение	35
Уравнение диффузии	38
Уравнение теплопроводности	38
Уравнение диффузии	40
Стационарное уравнение	41
Вывод уравнения электростатики	41
Вывод уравнения гидродинамики	42
Основные уравнения математической физики	43
Классификация уравнений второго порядка	46
Классификация уравнений в точке	46
Классификация уравнений с двумя независимыми переменными	50
Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных	51
Уравнение гиперболического типа	53
Уравнение параболического типа	54
Уравнение эллиптического типа	55
Классификация задач математической физики	55
Задача Коши	57
Краевая задача для уравнений эллиптического типа	57
Смешанная задача	59
Понятие о корректно поставленной задаче математической физики	59
Замечание о классе функций, среди которых ищется решение задачи	60
О единственности решения задач математической физики	61
Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных	66
Примеры	67
Применение общего интеграла к решению некоторых задач
математической физики	69
Вопросы к главе 2	71
Задачи с примерами решений	73
Примеры решения типовых задач	76

3. Метод Фурье	92
Уравнения с разделяющимися переменными	92
Задача об охлаждении пластины	97
Задача Дирихле для круга	101
Преобразование решения задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуассона	103
Задача Штурма-Лиувилля	106
Некоторые свойства собственных значений регулярной задачи Штурма-Лиувилля	109
Фундаментальная система решений Штурма-Лиувилля	111
Асимптотическое поведение фундаментальных решений Штурма-Лиувилля
при λ + ¥	113
Определение собственных значений и собственных функций регулярной задачи
Штурма-Лиувилля	116
Разложение в ряд по собственным функциям регулярной задачи Штурма-Лиувилля	119
Регулярная задача Штурма-Лиувилля с граничными условиями четвёртого рода	123
Сингулярная задача Штурма-Лиувилля	127
Общее изложение метода Фурье для случая двух независимых переменных	129
Задача об охлаждении пластины, излучающей тепло	132
Вопросы к главе 3	135
Задачи с примерами решения	137
Примеры решения типовых задач	142

4. Специальные функции математической физики	170
Эйлеровы интегралы	171
Эйлеров интеграл первого рода	171
Эйлеров интеграл второго рода	173
Интеграл вероятности	176
Функция Бесселя	179
Функция Вебера	182
Представление функции Вебера в виде ряда	185
Рекуррентные формулы для функций Бесселя	188
Интегральные представления для цилиндрических функций	189
Примеры использования интегрального представления Пуассона	191
Асимптотические представления цилиндрических функций
для больших значений аргумента	193
Модифицированные цилиндрические функции	195
Задача Штурма-Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями	199
Разложение функции в ряды Фурье-Бесселя и Дини	202
Приложения цилиндрических функций в математической физике	205
Задача о колебаниях круглой мембраны	205
Решение задачи Дирихле для цилиндра	208
Сферические функции. Полиномы Лежандра	211
Производящая функция для полиномов Лежандра	214
Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра	217
Задача Штурма-Лиувилля, связанная с полиномами Лежандра	219
Вычисление нормы для полиномов Лежандра	220
Приложение полиномов Лежандра в математической физике	222
Вопросы к главе 4	224
Задачи с примерами решения	226
Примеры решения типовых задач	228

5. Неоднородные задачи математической физики	243
Метод приведения к однородной задаче	243
Задача о распределении температуры в бесконечной пластине	244
Задача о нагревании бесконечного цилиндра	245
Задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны	246
Задача Дирихле для прямоугольника	247
Метод Гринберга	248
Краткая схема решения задачи методом Гринберга	251
Связь метода Гринберга с методом Фурье	251
Замечания о сходимости рядов, полученных методом Гринберга	252
Способы улучшения сходимости	253
Примеры задач математической физики, разрешимых с помощью метода Гринберга	254
Задача Дирихле для прямоугольника	254
Задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны	256
Задачи с непрерывным спектром	259
Некоторые интегральные разложения, связанные с сингулярной задачей
Штурма-Лиувилля	260
Примеры задач с непрерывным спектром	264
Задача об охлаждении полубесконечного тела	265
Задача Дирихле для полуплоскости	267
Задача Дирихле для полупространства	270
Задача о радиальных колебаниях газа	272
Метод интегральных преобразований	275
Интегральные преобразования	275
Неоднородные задачи с непрерывным спектром	279
Примеры решения неоднородных задач с непрерывным спектром	281
Задача Дирихле для полуполосы	281
Задача об изгибе плиты	283
Вопросы к главе 5	285
Задачи с примерами решения	286
Примеры решения типовых задач	291

6. Преобразование Лапласа	322
Определение преобразования Лапласа	322
Поведение преобразования Лапласа при больших
по модулю значениях параметра (\|р\| ¥)	326
Свойства преобразования Лапласа	328
Обращение преобразования Лапласа	333
Леммы Жордана	336
Методы вычисления интеграла Римана-Меллина	340
Специальные методы обращения	344
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений	346
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений
с переменными коэффициентами	350
Интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных	353
Построение метода преобразования Лапласа на случай большего числа
независимых переменных	355
Приложение преобразования Лапласа к задачам математической физики	356
Задача о движении заряженной частицы в магнитном поле	356
Задача о нагреве полубесконечного тела	358
Задача о нагреве пластины конечной толщины.	362
Задача о продольных колебаниях полубесконечного стержня	366
Задача о продольных колебаниях конечного стержня	367
Вопросы к главе 6	369
Задачи с примерами решения	370
Примеры решения типовых задач	372

7. Интегральные уравнения в математической физике	389
Основные классы интегральных уравнений	389
Некоторые классы уравнений, допускающие явное решение
при помощи специальных приёмов	394
Уравнения Вольтерры второго рода с ядром, зависящим от разности	394
Уравнения Вольтерры первого рода с ядром, зависящим от разности.
Уравнения Абеля	397
Уравнения Фредгольма с ядром, зависящим от разности и пределами от -¥ до +¥	399
Уравнения Фредгольма с ядрами, зависящими от суммы и произведения	401
Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром	403
Примеры	407
Общее решение уравнения Вольтерры разложением в ряд по степеням параметра λ	410
Общее решение уравнения Фредгольма разложением в ряд по степеням параметра λ	414
Примеры	415
Замечание о решении уравнения Фредгольма при произвольном значении
параметра λ	417
Общее понятие резольвенты для уравнений Фредгольма	418
Однородные уравнения Фредгольма	419
Определение собственных значений и собственных функций
для некоторых интегральных уравнений	420
Альтернатива Фредгольма	424
Интегральные уравнения Фредгольма с симметричным ядром	425
Краткий обзор теории уравнений с симметричным ядром	426
Приближённые методы решения интегральных уравнений	427
Сведение интегрального уравнения к уравнению с вырожденным ядром	427
Сведение интегрального уравнения к системе линейных
алгебраических уравнений	429
Приложения интегральных уравнений в математической физике	430
Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению	430
Сведение плоской задачи гидродинамики к интегральному уравнению Фредгольма	433
Вопросы к главе 7	437
Задачи с примерами решения	438
Примеры решения типовых задач	442

8. Элементы вариационного исчисления	465
Примеры вариационных задач	465
Задача Дидоны	466
Задача о брахистохроне	467
Задача о геодезических линиях	469
Задача о распространении света в неоднородной среде	470
Задача об изгибе стержня	471
Понятие функционала	471
Основные леммы вариационного исчисления	473
Простейшая вариационная задача. Метод Эйлера	475
Методы интегрирования уравнения Эйлера	479
Примеры решения вариационных задач	481
Задача о брахистохроне	481
Задача о распространении света в неоднородной среде	482
Задача со свободной вариацией на границе	483
Вариационная задача для функционалов, содержащих производные высших порядков	488
Пример. Решение задачи об изгибе балки	489
Вариационная задача для функционалов, зависящих от нескольких функциональных
аргументов	490
Пример. Вывод уравнений Лагранжа	491
Изопериметрическая задача	492
Пример. Задача о провисании каната	494
Решение вариационной задачи, функционал которой представляется
кратным интегралом	496
Пример. Связь задачи Дирихле с вариационной задачей	498
Вторая вариация	499
Прямые методы решения вариационных задач	501
Метод Ритца	502
Приложения вариационного исчисления в математической физике	504
Задача о стационарном распределении температуры
в брусе прямоугольного сечения	504
Вывод уравнения колебаний струны	507
Задача об установившихся колебаниях мембраны	508
Вопросы к главе 8	509
Задачи с примерами решения	511
Примеры решения типовых задач	514

Приложение	531

Литература	533

Алфавитный указатель	535

Книги на ту же тему

Maple 6: Решение математических, статистических и инженерно-физических задач, Аладьев В. З., Богдявичюс М. А., 2001
Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Курс математической физики, Михлин С. Г., 1968
Уравнения математической физики. — 4-е изд., испр., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1972
Уравнения математической физики. — 5-е изд., стереотип., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1977
Обобщённые функции в математической физике, Владимиров В. С., 1976
Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
Уравнения математической физики, Араманович И. Г., Левин В. И., 1964
Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
Уравнения в частных производных математической физики. Учебное пособие для мех.-мат. факультетов университетов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., 1970
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
Математическая теория распространения электромагнитных волн, Бейтмен Г., 1958
Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Ладыженская О. А., 1961
Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учебное пособие для вузов, Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В., 2005
Сборник задач по математике для втузов: Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. — 2-е изд., перераб., Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н., Каракулин А. Ф., Лесин В. В., Поспелов А. С., Терещенко А. М., 1990

http://knigoprovod.ru

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему