Книга «Уравнения в частных производных математической физики» предназначена в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов университетов и технических вузов. Она является результатом переработки и дополнения двух известных книг: «Дифференциальные уравнения математической физики» (авт. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов) и «Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка» (авт. М. М. Смирнов).

Предназначено для студентов университетов и втузов.

Учебное пособие является вторым изданием книги тех же авторов, вышедшей в 1962 г. и нашедшей широкое применение в практике преподавания математической физики. В пособии рассмотрены классические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и метод интегральных преобразований в конечных и бесконечных пределах.

Для пособия характерно подробное изложение ряда конкретных физических и технических задач, приводящих к уравнениям в частных производных второго порядка, наряду с большим вниманием, уделяемым теории.

Для второго издания ряд глав и параграфов написан заново, в частности гл. III и IX, посвящённые уравнениям первого порядка и общий вопросам теории дифференциальных уравнений гиперболического типа (М. М. Смирнов), а также гл. XXIX, XXXII и XXXIII об уравнениях электромагнитного поля, разложениях по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля и теории интегральных преобразований (Э. Б. Глинер).

Введение	10

Г л а в а I. Вывод основных уравнений математической физики

$ 1. Уравнение колебаний струны	12
§ 2. Уравнение колебаний мембраны	16
§ 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн	18
§ 4. Уравнение распространения тепла а изотропном твёрдом теле	24
§ 5. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа	28

Г л а в а II. Классификация уравнений второго порядка

§ 1. Типы уравнений второго порядка	39
§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами	30
§ 3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка
с двумя независимыми переменными	32

Г л а в а III. Уравнения первого порядка

§ 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми
переменными	40
§ 2 Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми
переменными	44
§ 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми
переменными	51

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Дифференциальные уравнении гиперболического типа

Г л а в а IV. Применение метода характеристик к изучению малых
колебаний струны

§ 1. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера	54
§ 2. Понятие об обобщённых решениях	62

Г л а в а V. Продольные колебания стержня

§ 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного
стержня постоянного сечения. Начальные и граничные условия	64
§ 2. Колебания стержня с одним закреплённым концом	66
§ 3. Продольный удар груза по стержню	70

Г л а в а VI. Уравнения гиперболическою типа с двумя независимыми
переменными

§ 1. Задача Коши	75
§ 2. Задача Гурса	79
§ 3. Метод Римана	80
§ 4. Примеры на приложение метода Римана	83

Г л а в а VII. Применение метода характеристик к изучению
колебаний в электрических линиях

§ 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний	88
§ 2. Телеграфное уравнение	90
§ 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана	90
§ 4. Электрические колебания в бесконечном проводе	93
§ 5. Колебания в линии, свободной от искажения	95
§ 6. Граничные условия для провода конечной длины	97

Г л а в а VIII. Волновое уравнение

§ 1. Формула Пуассона	98
§ 2. Цилиндрические волны	101
§ 3. Непрерывная зависимость решения от начальных данных	103
§ 4. Теорема единственности	103
§ 5. Неоднородное волновое уравнение	105
§ 6. Точечный источник	108

Г л а в а IX. Некоторые общие вопросы теории дифференциальных
уравнений гиперболического типа

§ 1. Задача Коши. Характеристики	109
§ 2. Бихарактеристики	113
§ 3. Слабый разрыв. Фронт волны	114
§ 4. Распространение разрывов по лучам	117

Г л а в а X. Применение метода Фурье к изучению свободных
колебаний струн и стержней

§ 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны	119
§ 2. Колебание защеплённой струны	125
§ 3. Колебания струны под действием удара	126
§ 4. Продольные колебания стержня	126
§ 5. Общая схема метода Фурье	129

Г л а в а XI. Вынужденные колебания струн и стержней

§ 1. Вынужденные колебания струны, закреплённой на концах	136
§ 2. Вынужденные колебания тяжёлого стержня	140
§ 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами	142
§ 4. Единственность решения смешанной задачи	145

Г л а в а XII. Крутильные колебания однородного стержня

§ 1. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического
стержня	147
§ 2. Колебания стержня с одним прикреплённым диском	150

Г л а в а XIII. Функции Бесселя

§ 1. Уравнение Бесселя	150
§ 2. Некоторые частные случаи функций Бесселя	160
§ 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни	162
§ 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя	167

Г л а в а XIV. Малые колебания нити, подвешенной за один конец

§ 1. Свободные колебания подвешенной нити	176
§ 2. Вынужденные колебания подвешенной нити	180

Г л а в а XV. Малые радиальные колебания газа

§ 1. Радиальные колебания газа в сфере	184
§ 2. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической
трубке	191

Г л а в а XVI. Полиномы Лежандра

§ 1. Дифференциальное уравнение Лежандра	195
§ 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма	198
§ 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра	200
§ 4. Интегральные представления полиномов Лежандра	201
§ 5. Производящая функция	203
§ 6. Рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра
и их производными	204
§ 7. Функция Лежандра второго рода	205
§ 8. Малые колебания вращающейся струны	205

Г л а в а XVII. Применение метода Фурье к исследованию малых
колебаний прямоугольной и круглой мембраны

§ 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны	210
§ 2. Свободные колебания круглой мембраны	214
§ 3. Метод Фурье в многомерном случае	219

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Дифференциальные уравнения эллиптического типа

Г л а в а XVIII. Интегральные формулы, применяемые в теории
дифференциальных уравнений эллиптического типа

§ 1. Определения и обозначения	224
§ 2. Формулы Остроградского-Гаусса и Грина	227
§ З*. Преобразование формулы Грина	231
§ 4*. Функции Леви	232
§ 5*. Формула Грина-Стокса	234
§ 6*. Формула Грина-Стокса в случае двух измерений	238
§ 7. Представление некоторых дифференциальных выражений
в ортогональных системах координат	239

Г л а в а XIX. Уравнения Лапласа и Пуассона

§ 1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Примеры задач, приводящих
у равнению Лапласа	248
§ 2. Граничные задачи	254
§ 3. Гармонические функции	257
§ 4. Единственность решений граничных задач	263
§ 5. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Основная формула
теории гармонических функций	268
§ 6. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара	273
§ 7. Функция Грина	277
§ 8. Гармонические функции на плоскости	282

Г л а в а XX. Теория потенциала

§ 1. Ньютоновский потенциал	287
§ 2. Потенциалы разных порядков	289
§ 3. Мультиполи	292
§ 4. Разложение потенциала по мультиполям. Сферические функции	295
§ 5. Потенциалы простого и двойного слоя	299
§ 6*. Поверхности Ляпунова	300
§ 7*. Сходимость и непрерывная зависимость несобственных интегралов
от параметров	303
§ 8*. Поведение потенциала простого слоя и его нормальных
производных при пересечении слоя	305
§ 9*. Тангенциальные производные потенциала простого слоя
и производные по любому направлению	309
§ 10*. Поведение потенциала двойного слоя при пересечении слоя	311
§ 11. Уровенные распределения	312
§ 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса	315
§ 13. Поле тяжести. Теорема Стокса	319
§ 14. Логарифмический потенциал	323

Г л а в а XXI. Сферические функции

§ 1. Построение системы линейно-независимых сферических функций	328
§ 2. Ортогональность сферических функций	332
§ 3. Разложение по сферическим функциям	335
§ 4. Применение сферических функций для решения граничных задач	338
§ 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара	341
§ 6. Функция Грина задачи Неймана для шара	343

Г л а в а XXII. Приложение теории сферических функций к решению
задач математической физики

§ 1. Электростатический потенциал проводящего шара, разделённого
слоем диэлектрика на два полушария	346
§ 2. Задача о стационарном распределении температуры в шаре	348
§ 3. Задача о распределении электричества на индуктивно заряженном
шаре	350
§ 4. Обтекание шара потоком несжимаемой жидкости	355

Г л а в а XXIII. Гравитационные волны на поверхности жидкости*

§ 1. Постановка проблемы	358
§ 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины	361
§ 3. Кольцевые волны	368
§ 4. Метод стационарной фазы	371

Г л а в а XXIV. Уравнение Гельмгольца

§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми уравнениями
гиперболического и параболического типов	375
§ 2. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца
в ограниченной области	378
§ 3. Собственные числа и собственные функции граничной задачи общего
вида. Разложения по собственным функциям	384
§ 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в цилиндрических
и сферических координатах	389
§ 5. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца
в бесконечной области	394
§ 6. Интегральные формулы	401
§ 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца
в бесконечной области	407
§ 8*. Вопросы единственности решений внешних граничных задач
для уравнения Гельмгольца	409

Г л а в а XXV. Излучение и рассеяние звука

§ 1. Основные зависимости для звуковых полей	415
§ 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра	415
§ 3. Звуковое поле пульсирующего шара. Точечный источник	418
§ 4. Излучение из отверстия в плоском экране	420
§ 5. Звуковое поле при произвольном колебании поверхности шара	422
§ 6. Исследование поля шара при произвольном колебании его
поверхности. Акустические или колебательные мультиполи	426
§ 7. Рассеяние звука	432

*Дополнение к части второй. Сведения об уравнениях**
эллиптического типа общего вида

§ 1. Общий вид уравнения эллиптического типа	435
§ 2. Основные граничные задачи	430
§ 3. Сопряжённые граничные задачи	438
§ 4. Фундаментальные решения. Функция Грина	439
§ 5. Теоремы единственности	441
§ 6. Условия разрешимости граничных задач	443

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Уравнения параболического типа

Г л а в а XXVI. Постановка граничных задач. Теоремы
единственности

§ 1. Первая граничная задача. Теорема о максимуме и минимуме	448
§ 2. Задача Коши	450

Г л а в а XXVII. Распространение тепла в бесконечном стержне

§ 1. Распространение тепла в неограниченном стержне	451
§ 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне	459

Г л а в а XXVIII. Применение метода Фурье к решению граничных
задач

§ 1. Распространение тепла в ограниченном стержне	463
§ 2. Неоднородное уравнение теплопроводности	471
§ 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре	473
§ 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров	476
§ 5. Распространение тепла в однородном шаре	478
§ 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке	485

ЧАСТЬ ЧЕТВЁРТАЯ
Дополнительные сведения

Г л а в а XXIX. Уравнения электромагнитного поля

§ 1. Векторные поля	488
§ 2. Уравнения Лоренца-Максвелла	498
§ 3. Уравнения Максвелла	501
§ 4. Уравнения магнитной гидродинамики	508
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля	513
§ 6. Периодические по времени электромагнитные поля	515
§ 7. Условия на бесконечности и граничные условия	520
§ 8. Представление электромагнитного поля с помощью двух скалярных
функций	527
§ 9. Теорема единственности	530

Г л а в а XXX. Направляемые электромагнитные волны

§ 1. Поперечно-электрические, поперечно-магнитные
и поперечно-электромагнитные волны	535
§ 2. Волны между идеально проводящими плоскостями, разделёнными
диэлектриком	536
§ 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн	542
§ 4. TM-волны в волноводе круглого сечения	550
§ 5. TE-волны в волноводе круглого сечения	552
§ 6. Волны в коаксиальном кабеле	553
§ 7. Волны в диэлектрическом стержне	555

Г л а в а XXXI. Электромагнитные рупоры и резонаторы

§ 1. Секториальный рупор и секториальный резонатор	561
§ 2. Сферический резонатор	566

Г л а в а XXXII. Разложение по собственным функциям задачи
Штурма-Лиувилля

§ 1. Введение	568
§ 2. Задача Штурма-Лиувилля	568
§ 3. Функция Грина	571
§ 4. Экстремальные свойства собственных функций	572
§ 5. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
на конечном интервале	577
§ 6. Сингулярная задача Штурма-Лиувилля	582
§ 7. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи
Штурма-Лиувилля на полубесконечном интервале	586
§ 8. Вычисление спектральной функции (полубесконечный интервал)	590
§ 9. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи
Штурма-Лиувилля на интервале, бесконечном в обе стороны	593
§ 10. Разложение по бесселевым функциям	596

Г л а в а XXXIII. Применение интегральных преобразований
для решения задач математической физики

§ 1. Введение	609
§ 2. Условия, обеспечивающие возможность интегрального
преобразования	611
§ 3. Интегральные преобразования в конечных пределах	616
§ 4. Интегральные преобразования с бесконечными пределами (общий
случай)	620
§ 5. Некоторые часто применяемые преобразования с бесконечными
пределами	626

Г л а в а XXXIV. Примеры применения конечных интегральных
преобразований

§ 1. Колебания тяжёлой нити	631
§ 2. Колебания мембраны	634
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне	637
§ 4. Распространение тепла в круглой трубе	641
§ 5. Поток тепла в шаре	643
§ 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде	647

Г л а в а XXXV. Примеры применения интегральных преобразований
с бесконечными пределами

§ 1. Задача о колебаниях бесконечной струны	650
§ 2. Линейный поток тепла в полуограниченном стержне	652
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне, поверхность
которого поддерживается при двух различных температурах	654
§ 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина	658

Г л а в а XXXVI. Излучение электромагнитных колебаний

§ 1. Введение	661
§ 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над идеально
проводящей плоскостью	663
§ 3. Вертикальный излучатель в однородной среде над средой
с конечной электропроводностью	668
§ 4. Магнитная антенна над средой с конечной электропроводностью	670
§ 5. Поле произвольной системы излучателей	677
§ 6. Горизонтальный излучатель над средой с конечной
электропроводностью	680

Г л а в а XXXVII. Движение вязкой жидкости

§ 1. Уравнения движения вязкой жидкости	686
§ 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве над вращающимся
диском бесконечного радиуса	691
§ 3. Движение вязкой жидкости в плоском диффузоре	693

Литература	698
Предметный указатель	701
Некоторые обозначения	708
Николай Сергеевич Кошляков (краткий биографический очерк)	709

Книги на ту же тему

Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
Лекции об уравнениях с частными производными. — 3-е изд., доп., Петровский И. Г., 1961
Уравнения математической физики. — 5-е изд., стереотип., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1977
Уравнения математической физики. — 4-е изд., испр., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1972
Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Лекции по математической физике: Учебное пособие для вузов, Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В., 2004
Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики. Учебное пособие для втузов, Котляр Я. М., 1991
Курс математической физики, Михлин С. Г., 1968
Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
Уравнения с частными производными и математические модели в экономике: Курс лекций. — 4-е изд., Ерофеенко В. Т., Козловская И. С., 2013
Сборник задач по уравнениям математической физики, Владимиров В. С., Михайлов В. П., Вашарин А. А., Каримова Х. Х., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И., 1974
Обобщённые функции в математической физике, Владимиров В. С., 1976
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
Сборник задач по математике для втузов: Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. — 2-е изд., перераб., Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н., Каракулин А. Ф., Лесин В. В., Поспелов А. С., Терещенко А. М., 1990
Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
Задачи для ультрагиперболических уравнений в полупространстве, Костомаров Д. П., 2006
Периодическо-параболические граничные задачи и положительность, Хесс П., 2001
Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учебное пособие, Дмитриев В. И., Захаров Е. В., 1987
Интегральные преобразования и операционное исчисление. — 2-е изд., доп., Диткин В. А., Прудников А. П., 1974
Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Митчелл Э., Уэйт Р., 1981
Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962
Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов, Головизин В. М., Зайцев М. А., Карабасов С. А., Короткин И. А., 2013
Разностные методы решения краевых задач, Рихтмайер Р., Мортон К., 1972
Динамика внутренних гравитационных волн в океане, Миропольский Ю. З., 1981
Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах, Булатов В. В., Владимиров Ю. В., 2005
Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде, Юэн Г., Лэйк Б., 1987

elapsed time 0.023 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему