Сохранность книги — хорошая

LECTURES IN APPLIED MATHEMATICS
Proceedings of the Summer Seminar, Boulder, Colorado, 1957
PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
By
LIPMAN BERS
FRITZ JOHN
MARTIN SCHECHTER
With special Lectures by
Lars Gårding and A. N. Milgram

INTERSCIENCE PUBLISHERS 1964

Пер. с англ. Ю. В. Егорова

Формат 60x90 1/16

В основу книги положен курс лекций по теории уравнений с частными производными, прочитанный на семинаре по прикладной математике, который был организован Американским математическим обществом. Книга освещает современное состояние теории; наряду с известными, ставшими уже классическими результатами и методами, в ней излагаются достижения последних лет, знакомство с которыми необходимо каждому, кто имеет дело с уравнениями математической физики.

Книга рассчитана на математиков, научных работников других специальностей (механиков, физиков, радиотехников и т. д.), а также инженеров.

Эта книга содержит обработанные материалы семинара по прикладной математике, который был организован Американским математическим обществом летом 1957 г. Она состоит из двух основных частей и двух дополнений.

Первая часть, посвящённая гиперболическим и параболическим уравнениям, написана Ф. Джоном. В ней более подробно, чем это делается в учебниках, разбирается задача Коши для волнового уравнения, изучается вопрос о гладкости решений. Рассматриваются также общие линейные гиперболические уравнения и системы; для них устанавливается связь данных Коши на характеристиках, доказывается теорема Хольмгрена. Для гиперболических уравнений и систем с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Фурье получается решение задачи Коши, а также априорные оценки решений. Эти оценки используются затем при доказательстве существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений и систем, главные части которых имеют постоянные коэффициенты. Рассмотрены также симметрические системы.

Среди параболических уравнений подробно рассмотрено лишь уравнение теплопроводности. В последней главе этой части указаны конечно-разностные схемы для построения приближённого решения задачи Коши и краевых задач, указаны критерии их устойчивости, а также приведено полное доказательство сходимости решений конечно-разностной схемы для задачи Коши в случае параболического уравнения второго порядка. Отметим, что хорошим дополнением к первой части книги могут служить отдельные главы книги Р. Куранта «Уравнения с частными производными» (изд-во «Мир», М., 1964), касающиеся гиперболических уравнений.

Во второй части, написанной Л. Берсом и М. Шехтером, дано расширенное изложение содержания лекций по теории уравнений эллиптического типа, прочитанных на семинаре Л. Берсом. Здесь очень компактно описан основной аппарат, который играет важную роль в современных исследованиях по теории дифференциальных уравнений (теоремы вложения, сингулярные операторы, представление функционалов, обобщённые функции, теоремы о неподвижных точках и т. д.).

Центральное место в этой части книги занимают главы 3—5, где в изящной форме изложены функциональные методы исследования эллиптических уравнений высших порядков, основанные на использовании теории гильбертовых пространств, а также методы, связанные с рассмотрением фундаментальных решений и параметрикс. Из методических соображений сначала рассматривается более простая задача о нахождении периодических решений эллиптических уравнений и в связи с этим вводятся гильбертовы пространства периодических функций. Для периодических решений эллиптических уравнений устанавливается неравенство Гординга, с помощью которого вопрос о разрешимости задачи сводится к известной теореме Фредгольма-Рисса-Шаудера об уравнениях с вполне непрерывными операторами в некотором гильбертовом пространстве. Эта же схема исследования применяется в дальнейшем и для задачи Дирихле.

Указаны приёмы получения априорных оценок типа Шаудера и даны применения этих оценок для доказательства существования решений краевых задач.

Глава 6 посвящена применению теории функций комплексного переменного к изучению эллиптических уравнений второго порядка и систем уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В последней главе рассматриваются нелинейные эллиптические уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными и методы доказательства существования решений краевых задач для таких уравнений, основанные на априорных оценках.

Следует отметить, что теория эллиптических уравнений очень интенсивно развивалась в последние десятилетия. О развитии теории эллиптических уравнений до 1953 г. исчерпывающее представление может дать книга К. Миранда «Уравнения с частными производными эллиптического типа» (ИЛ, М., 1957). В настоящей книге основное место занимают важнейшие результаты и методы теории эллиптических уравнений, созданные главным образом в пятидесятых годах. В ней, естественно, не могли быть отражены достижения теории эллиптических уравнений самых последних лет (теория нормальной разрешимости для общих краевых задач, проблема индекса, краевые задачи для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с многими независимыми переменными и др.). Ссылки на более позднюю литературу, связанную с рассматриваемыми в книге вопросами, даны редактором в соответствующих местах книги.

Дополнения не связаны непосредственно с основным содержанием книги. Дополнение 1 (лекция Л. Гординга) посвящено вопросу о разложении по обобщённым собственным функциям. Дополнение 2 (лекция А. Мильграма) содержит краткое описание трёх различных методов решения первой краевой задачи для параболических уравнений второго порядка (функциональный метод, основанный на теории гильбертовых пространств, метод интегральных уравнений и метод Перрона; последние два лишь намечены). Эта лекция не даёт достаточно полного представления о теории параболических уравнений, также интенсивно развивавшейся в последние десятилетия.

Книга написана крупными специалистами в области теории уравнений с частными производными. Её отличают богатое содержание и очень доступное изложение многих важных вопросов современной теории уравнений с частными производными. В русском переводе она, несомненно, принесёт большую пользу широкому кругу читателей — студентам, аспирантам, научным работникам и вообще всем, кто интересуется теорией уравнений с частными производными.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
О. А. Олейник

Предисловие редактора перевода	5
Предисловие	8
Введение	9

Ч а с т ь I. Гиперболические и параболические уравнения, Ф. Джон

Глава 1. Уравнения гиперболического и параболического типов	13

Глава 2. Волновой оператор	16

§ 2.1. Одномерное волновое уравнение	16
§ 2.2. Задача с начальными условиями для волнового уравнения в
трёхмерном пространстве	22
§ 2.3. Анализ решения	24
§ 2.4. Метод спуска	27
§ 2.5. Неоднородное волновое уравнение	28
§ 2.6. Задача Коши с начальными данными на произвольной
поверхности	30
§ 2.7. Интегралы энергии и априорные оценки	35
§ 2.8. Общее линейное уравнение с волновым оператором в главной
части	43
§ 2.9. Смешанные задачи	47

Глава 3. Задача Коши, характеристические поверхности и
распространение разрывов	49

§ 3.1. Обозначения	49
§ 3.2. Соотношения между частными производными на поверхности	51
§ 3.3. Свободные поверхности. Характеристическая матрица	53
§ 3.4. Задача Коши. Теорема единственности Хольмгрена	56
§ 3.5. Распространение разрывов	63

Глава 4. Линейные гиперболические дифференциальные уравнения	72

§ 4.1. Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами
методом преобразования Фурье	74
§ 4.2. Гиперболические системы однородных уравнений с постоянными
коэффициентами	79
§ 4.3. Метод разложения на плоские волны	80
§ 4.4. Априорные оценки	84
§ 4.5. Общее линейное строго гиперболическое уравнение с постоянными
коэффициентами в главной части	87
§ 4.6. Системы первого порядка с постоянными коэффициентами в
главной части	91
§ 4.7. Симметрические гиперболические системы с переменными
коэффициентами	96

Глава 5. Параболические уравнения. Уравнение теплопроводности	104

§ 5.1. Общие параболические уравнения	104
§ 5.2. Уравнение теплопроводности. Принцип максимума	105
§ 5.3. Решение задачи Коши	108
§ 5.4. Гладкость решений	110
§ 5.5. Задача с начальными и граничными условиями в прямоугольнике	114

Глава 6. Приближённое решение дифференциальных уравнений с
частными производными методом конечных разностей	118

§ 6.1. Решение параболических уравнений	119
§ 6.2. Устойчивость разностных схем для других типов уравнений	125
Библиография	132

Ч а с т ь II. Эллиптические уравнения, Л. Берс и М. Шехтер

Глава 1. Эллиптические уравнения и их решения	141

§ 1.1. Введение	141
§ 1.2. Линейные эллиптические уравнения	142
§ 1.3. Гладкость решений	143
§ 1.4. Единственность продолжения	147
§ 1.5. Граничные условия	149
Приложение I. Эллиптичность и сильная эллиптичность	151
Приложение II. Совпадение сильной и слабой производных	152

Глава 2. Принцип максимума	158

§ 2.1. Уравнения второго порядка	158
§ 2.2. Формулировка и доказательство принципа максимума	159
§ 2.3. Приложения к задаче Дирихле	161
§ 2.4. Приложение к обобщённой задаче Неймана	162
§ 2.5. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей	163
§ 2.6. Решение разностного уравнения методом последовательных
приближений	166
§ 2.7. Принцип максимума для градиента	168
§ 2.8. Теорема Карлемана о единственности продолжения	170

Глава 3. Функциональные методы. Периодические решения	172

§ 3.1. Периодические решения	172
§ 3.2. Гильбертовы пространства H_t	173
§ 3.3. Структура пространств H_t	175
§ 3.4. Основные неравенства	178
§ 3.5. Теорема о дифференцируемости	182
§ 3.6. Решение уравнения Lu=f	183
Приложение I. Теорема о проекции	186
Приложение II. Теория Фредгольма-Рисса-Шаудера	191

Глава 4. Функциональные методы. Задача Дирихле	198

§ 4.1. Введение	198
§ 4.2. Регулярность внутри области	198
§ 4.3. Пространства Н^t и Н^t₀	200
§ 4.4. Некоторые леммы относительно Н^t₀	201
§ 4.5. Обобщённая задача Дирихле	204
§ 4.6. Существование слабых решений	206
§ 4.7. Регулярность в точках границы	208
§ 4.8. Неравенства для полукуба	210
Приложение. Аналитичность решений	215

Глава 5. Методы теории потенциала	220

§ 5.1. Фундаментальные решения. Параметрикс	220
§ 5.2. Некоторые функциональные пространства	225
§ 5.3. Основные неравенства	229
§ 5.4. Локальная теорема существования	237
§ 5.5. Внутренние оценки шаудеровского типа	240
§ 5.6. Оценки вплоть до границы	244
§ 5.7. Применения к задаче Дирихле	246
§ 5.8. Гладкость сильных решений	249
Приложение I. Доказательства основных неравенств	251
Приложение II. Доказательства лемм об интерполяции	259

Глава 6. Методы теории функций комплексного переменного	263

§ 6.1. Переход к комплексным переменным	264
§ 6.2. Уравнение Бельтрами	266
§ 6.3. Теорема о представлении	268
§ 6.4. Следствия из теоремы о представлении	270
§ 6.5. Две краевые задачи	272
Приложение. Свойства уравнения Бельтрами. Теорема Привалова	276

Глава 7. Квазилинейные уравнения	291

§ 7.1. Краевые задачи	291
§ 7.2. Методы решения	292
§ 7.3. Примеры	295
Библиография	300

Д о п о л н е н и е I. Разложения по собственным функциям, Л. Гординг	309

Д о п о л н е н и е II. Параболические уравнения, А. Н. Мильграм	333

Предметный указатель	345

Книги на ту же тему

Сборник задач по математике для втузов: Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. — 2-е изд., перераб., Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н., Каракулин А. Ф., Лесин В. В., Поспелов А. С., Терещенко А. М., 1990
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Уравнения математической физики. — 5-е изд., стереотип., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1977
Уравнения математической физики. — 4-е изд., испр., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1972
Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Курс математической физики, Михлин С. Г., 1968
Уравнения в частных производных математической физики. Учебное пособие для мех.-мат. факультетов университетов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., 1970
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962
Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Ладыженская О. А., 1961
Математическая теория распространения электромагнитных волн, Бейтмен Г., 1958
Уравнения в частных производных дробного порядка, Псху А. В., 2005
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973

elapsed time 0.019 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему