Книга представляет собой современный курс математического анализа, написанный известным американским учёным. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д.

В конце каждой главы приводятся удачно подобранные упражнения (общим числом около 200). Среди них есть как простые примеры, иллюстрирующие теорию, так и трудные задачи, существенно дополняющие основной текст книги.

Книга У. Рудина может служить учебным пособием для студентов математических и физических факультетов университетов, педагогических институтов и некоторых втузов. Она будет полезна аспирантам и преподавателям этих учебных заведений, а также инженерам, желающим расширить свои знания по математическому анализу.

Книга известного американского математика У. Рудина обладает рядом достоинств, выделяющих её среди руководств по математическому анализу. Её отличает прежде всего систематическое использование общих точек зрения и абстрактных идей уже при изложении основ дифференциального и интегрального исчисления. Так, например, простейшим понятиям теории пределов автор предпосылает определение метрического пространства. И хотя запас конкретных используемых в книге метрических пространств невелик — он состоит лишь из подпространств евклидовых пространств R⁹, из упоминаемого вскользь пространства функций, непрерывных на компакте, и из пространства ℒ², появляющегося в самом конце книги, — такая общность представляется очень уместной и лишний раз доказывает, что достоинство аксиоматической теории заключается не только в количестве и разнообразии тех конкретных моделей, к которым она применима, но и в той ясности, с которой выступает в каждом конкретном её применении существо дела, не затемнённое случайными деталями.

Особенно интересной и удачной нам представляется глава 9, посвящённая интегральному и дифференциальному исчислению функций многих переменных. Здесь автору удалось решить ряд методических проблем, с которыми приходится сталкиваться каждому, кто преподаёт анализ на математических факультетах университетов.

Часто в курсах анализа с большой тщательностью доказываются теоремы, относящиеся к началам теории пределов и к свойствам непрерывных функций, а когда дело доходит до более высоких и более сложных по существу разделов, таких, скажем, как теория кратных интегралов и в особенности теория дифференциальных форм, то уровень изложения, как правило, резко снижается. Так, теорема Коши об обращении непрерывной функции в нуль, имеющая совсем простой наглядный смысл, всегда доказывается с максимальной скрупулёзностью, а, скажем, теорема о замене переменных в кратных интегралах редко доказывается вполне аккуратно. И беда здесь вовсе не в потере пресловутой «строгости», а в том, что принятая манера изложения этих вопросов смазывает реальные трудности. Так, например, студент, изучивший в таком изложении три формулы — Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского (мы применяем здесь терминологию известного курса Г. М. Фихтенгольца), вряд ли сумеет даже чисто формально составить соответствующее соотношение между интегралом формы по многообразию и интегралом по краю этого многообразия для иных размерностей.

В главе 9 книги Рудина приводится очень короткое и изящное доказательство теоремы о локальной обратимости гладких отображений евклидовых пространств, доказательство теоремы о неявной функции, которая сопровождается интересными геометрическими приложениями. Затем приводится остроумное доказательство теоремы о замене переменных в кратном интеграле. Оно основано на локальном представлении гладкого отображения с ненулевым якобианом в виде суперпозиции нескольких отображений, оставляющих неизменными все координаты, кроме одной. В этой же главе изложено исчисление дифференциальных форм и формула Стокса (в её современном виде).

Стиль книги вполне соответствует её названию: главное внимание уделяется именно основам, а не деталям. Некоторые важные сведения (такие, скажем, как теорема Фубини, теория несобственных интегралов и интегралов, зависящих от параметра) либо вовсе не сообщаются, либо составляют содержание упражнений.

Книга написана очень сжато. Утверждения, именуемые в традиционных курсах теоремами и снабжаемые не очень короткими доказательствами, упоминаются здесь порой вскользь, как нечто само собой разумеющееся, или даже не упоминаются вовсе (но неявно используются). В доказательствах, всегда аккуратных и безупречных по существу, порой встречаются вольности речи.

Всё это должно служить известным предостережением для студента, впервые приступающего к изучению анализа. В то же время специалист, искушённый в анализе, будет справедливо рассматривать особенности книги, перечисленные в предыдущем абзаце, как её достоинства: сжатость изложения избавит его от повторения стандартных рассуждений, которыми он давно овладел, а некоторые вольности речи приятно разнообразят стиль.

Книга У. Рудина будет служить полезным пособием для всех, кто изучает математический анализ или преподаёт эту науку.

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
В. Хавин

Книги на ту же тему

1. Математический анализ. В 2-х томах (комплект из 2 книг) , Берс Л., 1975
2. Алгебра и анализ. Задачи, Лефор Г., 1973
3. Основы математического анализа. — 2-е изд., стереотип., Ильин В. А., Позняк Э. Г., 1967
4. Дополнительные главы математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, Макаров И. П., 1968
5. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов (комплект из 2 книг), Кудрявцев Л. Д., 1981
6. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для вузов, Демидович Б. П., Кудрявцев В. А., 2004
7. Дифференциальное и интегральное исчисление. — 2-е изд., испр. и доп., Банах С., 1966
8. Сборник задач по курсу математического анализа. — 12-е изд., стереотип., Берман Г. Н., 1963
9. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд., Натансон И. П., 1974
10. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. — 2-е изд., доп., Романовский П. И., 1959
11. Математический аппарат инженера, Сигорский В. П., 1975
12. Теория функций комплексного переменного (комплект из 2 книг), Стоилов С., 1962
13. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
14. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание, Пойа Д., 1970
15. Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
16. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, Лавров И. А., Максимова Л. Л., 1975
17. Квадратурные формулы. — 2-е изд., Никольский С. М., 1974
18. Задачи студенческих олимпиад по математике, Садовничий В. А., Подколзин А. С., 1978
19. Определители и матрицы. — 2-е изд., Боревич З. И., 1970
20. Гиперкомплексные числа, Кантор И. Л., Солодовников А. С., 1973
21. Математика в Петербургской Академии наук в конце XVIII — первой половине XIX в., Ожигова Е. П., 1980
22. Ряды Фурье, Толстов Г. П., 1951