КнигоПровод.Ru22.11.2024

/Наука и Техника/Математика

Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) — Коллатц Л.
 Задачи на собственные значения (с техническими приложениями)
Коллатц Л.
год издания — 1968, кол-во страниц — 504, тираж — 18400, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 700 гр., издательство — Физматлит
серия — Физико-математическая библиотека инженера
цена: 1000.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — хорошая

EIGENWERTAUFGABEN
MIT TECHNISCHEN
ANWENDUNGEN
von Dr. Dr. h. c. LOTHAR COLLATZ

MIT 137 ABBILDUNGEN UND 15 TAFELN
2. DURCHGESEHENE AUFLAGE

Leipzig 1963
AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT
GEEST & PORTIG K.-G.

Пер. с нем. Д. И. Корниенко, В. Г. Феоктистова, В. П. Орлова, ред. пер. В. В. Никольский

Формат 60x90 1/16. Бумага машинно-мелованная
ключевые слова — собственн, устойчивост, колебан, вычислительн, интегральн, вариацион, численн, матриц, разностн, самосопряжён, дифференциальн, краев, частным, крылова-боголюбов, ритц, галёркин, характеристическ, итерационн, данкерл, саусвелл

Автор книги Лотар Коллатц является известным специалистом в области прикладной математики, относящейся главным образом к задачам технической механики. В данной книге рассматриваются задачи на собственные значения, связанные с проблемой потери устойчивости, упругими колебаниями и др. При этом акцент делается не на физическое, а на математическое содержание задач; особое внимание уделяется вычислительным методам.

Рассмотрение общей теории (функции Грина, интегральные уравнения, теорема разложения, вариационные принципы) проведено в простой форме и содержит ряд оригинальных черт.

Значительное внимание уделяется развитому автором методу последовательных приближений, численной реализации вариационных принципов, задачам для матриц. Излагаются конечно-разностные и другие методы, представляющие интерес для лиц, занимающихся задачами на собственные значения.

Таблиц 15, иллюстраций 137, библ. 72 названия.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Перечень таблиц9
Предисловие редактора перевода11
Из предисловий автора к первому и второму изданиям13
Введение и краткий обзор15
 
Г Л А В А   П Е Р В А Я
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
 
§ 1. Проблема устойчивости18
1.1. Продольный изгиб стержня, защемлённого на одном конце (18). 1.2. Продольный изгиб стержня, защемлённого на одном конце и шарнирно опёртого на другом (20). 1.3. Продольный изгиб стержня с учётом собственного веса (21). 1.4. Сжатый стержень на упругом основании (22). 1.5. Опрокидывание консольной балки при изгибе (23). 1.6. Кручение и опрокидывание двутавровой балки (25). 1.7. Сжатие и кручение вала (26). 1.8. Выпучивание круговой арки (28).
§ 2. Задачи о колебаниях30
2.1. Колебания свободно подвешенного каната (30). 2.2. Крутильные колебания стержней (33). 2.3. Изгибные колебания стержня (34). 2.4. Пример физической задачи с отрицательными собственными значениями (36). 2.5. Колебания стержня с учётом влияния собственного веса (38). 2.6. Критическое число оборотов вала с гироскопическим эффектом (39). 2.7. Крутильные колебания диска (41).
§ 3. Дополнения43
3.1. Задачи на собственные значения и проблема ветвления (43). 3.2. Системы дифференциальных уравнений (44). 3.3. Другие краевые условия, соотношение между значениями на обоих концах (45). 3.4. Задачи на собственные значения для уравнений с частными производными (45). 3.5. Упражнения (47).
 
Г Л А В А   В Т О Р А Я
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА
 
§ 4. Основные сведения о задачах на собственные значения54
4.1. Различные случаи распределения собственных значений (54). 4.2. Обозначения (59). 4.3. Самосопряжённость (61). 4.4. Обобщённая ортогональность (64). 4.5. Вещественность собственных значений (66). 4.6. Формула Дирихле (68). 4.7. Одночленный класс (69). 4.8. Пример самосопряжённой задачи с невещественными собственными значениями (70). 4.9. Определённость задачи на собственные значения (71).
§ 5. Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений75
5.1. Определение функции Грина (75). 5.2. Вывод формулы решения для краевой задачи (77). 5.3. Построение функции Грина из фундаментальной системы (78). 5.4. Симметрия функции Грина G (х, ξ)=G (ξ, х) для самосопряжённой краевой задачи (82). 5.5. Простые примеры функции Грина (85). 5.6. Резольвента Грина для несобственных значений (86). 5.7. Условия существования собственных значений (87). 5.8. Поведение резольвенты Грина в точках собственных значений λ (90). 5.9. Кратные собственные значения (92). 5.10. Полуопределённые задачи на собственные значения (95).
§ 6. Функция Грина для уравнений с частными производными95
6.1. Основные понятия (96). 6.2. Частный класс задач (97). 6.3. Функция Грина, предварительные замечания (100). 6.4. Решение краевой задачи при помощи функции Грина (102). 6.5. Другие типы уравнений с частными производными (104).
§ 7. Связь с интегральными уравнениями105
7.1. Одночленный класс и интегральные уравнения (105). 7.2. Выводы из теории интегральных уравнений (108). 7.3. Применение к одночленному классу (111). 7.4. Интегральные уравнения и дифференциальные уравнения с частными производными (11З). 7.5. Одночленный класс и интегральное уравнение Вольтерра (116). 7.6. Пример (120). 7.7. Асимптотическое распределение собственных значений (121). 7.8. Упражнения (125).
 
Г Л А В А   Т Р Е Т Ь Я
КРАТКИЙ ОЧЕРК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
 
§ 8. Минимальные свойства собственных значений131
8.1. Минимальное свойство наименьшего собственного значения (131). 8.2. Проведение доказательства (132). 8.3. Минимальные свойства высших собственных значений (135). 8.4. Минимаксимальный принцип Куранта (138). 8.5. Теорема сравнения (140).
§ 9. Теорема включения142
9.1. Формулировка теоремы (142). 9.2. Пример к теореме включения (143). 9.3. Доказательство теоремы включения (145). 9.4. Сравнение с задачами, разрешимыми в замкнутом виде (146).
§ 10 Теорема о разложении147
10.1. Предварительное замечания (147). 10.2. Коэффициенты Фурье (148). 10.3. Формула Парсеваля (149). 10.4. Вспомогательная теорема о некоторых рядах по собственным функциям (152). 10.5. Сходимость ряда Фурье (10.5) (155). 10.6. Теорема о разложении. Доказательство в случае n=0 (156). 10.7. Замечание (157). 10.8. Теорема о разложении. Завершение доказательства для n ≥ 0 (159).
§ 11. Дополнения160
11.1. Элементарное обоснование минимальных свойств в случае уравнений второго порядка (160). 11.2. Минимальные свойства собственных значений в случае уравнений с частными производными (166). 11.3. Двупараметрические задачи на собственные значения, кривые собственных значений (170). 11.4. Упражнения (171).
 
Г Л А В А   Ч Е Т В Ё Р Т А Я
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
 
§ 12. Постоянные Шварца176
12.1. Метод последовательных приближений в общем случае (176). 12.2. Введение постоянных Шварца ak и отношений μk (177). 12.3. μk образуют монотонную невозрастающую последовательность (180). 12.4. Нижняя граница для первого собственного значения (181). 12.5. Практическое проведение метода (185). 12.6. Примеры применения метода последовательных приближений (187).
§ 13. Графическое интегрирование189
13.1. Графическое однократное интегрирование (189). 13.2. Переменное полюсное расстояние (192). 13.3. Графическое двукратное интегрирование (194). 13.4. Особый случай обыкновенного верёвочного многоугольника (197). 13.5. Учёт краевыч условий (197). 13.6. Графическое проведение метода последовательны приближений (199). 13.7. Графическое определение μ1 (201).
§ 14. Дополнения204
14.1. Метод последовательныi приближений для дифференциальных уравнений с частными производными (204). 14.2. Теорема включения Крылова-Боголюбова для одночленного класса (206). 14.3. Доказательство основной формулы (12.19) при помощи теоремы о разложении (209). 14.4. Сходимость итерационного процесса для краевых задач (212). 14.5. Метод Коха для высших собственных значений (214). 14.6. Упражнения (215).
 
Г Л А В А   П Я Т А Я
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МИНИМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ
 
§ 15. Основы метода Ритца221
15.1. Три минимальных принципа (221). 15.2. Общий метод Ритца (224). 15.3. Уравнения Галёркина (225) 15.4. Сведение к вековому уравнению (227). 15.5. Линейное представление в случае минимального принципа Камке (231). 15.6. Уравнения Граммеля (232). 15.7. Численные примеры (234). 15.8. Приближения Ритца для высших собственных значений (238).
§ 16. Дальнейшее развитие метода Ритца240
16.1. Вариационные уравнения Эйлера (240). 16.2. Пример. Задача на собственные значения (244). 16.3. Обратная постановка задачи и метод Ритца (245). 16.4. Энергетический метод для задач о колебаниях (246). 16.5. Изгибные колебания (248). 16.6. Пример. Крутильные колебания (250). 16.7. Энергетический метод для дифференциальных уравнений с частными производными (253). 16.8. Проблема потери устойчивости (255). 16.9. Графическое проведение метода Ритца (255). 16.10. Графическое получение уравнений Граммеля (256). 16.11. Упражнения (260).
 
Г Л А В А   Ш Е С Т А Я
ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ МАТРИЦ
 
§ 17. Основные сведения о задачах на собственные значения для матриц267
17.1. Обозначения (267). 17.2. Матрицы с особыми свойствами (268). 17.3. Квадратичные и эрмитовы формы (269). 17.4. Вещественность характеристических чисел (275). 17.5. Обобщённая унитарность собственных векторов (277). 17.6. Примеры промежуточных задач на собственные значения из механики (278). 17.7. Примеры общих задач на собственные значения из механики (234). 17.8. Эрмитова самосопряжённость в случае интегро-дифференциальных уравнений (291).
§ 18. Экстремальные свойства характеристических чисел.295
18.1. Определение характеристических чисел при помощи задач на максимум (296). 18.2. Приведение к главным осям (298). 18.3. Выводы и оценки (301) 18.4. Одновременное приведение к главным осям двух эрмитовых форм (304). 18.5. Пример. Геометрическая интерпретация собственных векторов двух квадратичных форм (308). 18.6. Минимаксимальный принцип Куранта (309). 18.7. Теорема включения (311). 18.8. Численное применение теоремы включения (313).
§ 19. Итерационный метод и главные векторы315
19.1. Итерационный метод в общем случае (315). 19.2. Нижняя и верхняя границы для характеристических чисел (321). 19.3. Понижение порядка (323). 19.4. Численный пример (325). 19.5. Введение главных векторов (328). 19.6. Доказательство теоремы о разложении (330) 19.7. Сходимость итерационного метода для частных задач на собственные значения (332). 19.8 О степенях матрицы (333). 19.9. Системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (334). 19.10. Постоянные коэффициенты и главные векторы (337).
§ 20. Дополнения339
20.1. Матричные полиномы и уравнение Кэли (339). 20.2. Функции матриц и степенные ряды матриц (342). 20.3. Приближённые решения систем линейных уравнений (345). 20.4. Оценки характеристических чисел матриц (348). 20.5. Особые методы получения характеристического уравнения (352) 20.6. Упражнения (354).
 
Г Л А В А   С Е Д Ь М А Я
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
 
§ 21. Метод конечных разностей первого приближения для обыкновенных дифференциальных уравнений359
21.1. Описание метода конечных разностей (359). 21.2. Пример для дифференциального уравнения второго порядка (361). 21.3. Пример для дифференциального уравнения четвёртого порядка (363). 21.4. Прямые методы для разностных уравнений (365). 21.5. Минимальное свойство наименьшего собственного значения в методе конечных разностей (367).
§ 22. Улучшение метода конечных разностей368
22.1. Конечные выражения (369). 22.2. Метод конечных разностей повышенной точности (371). 22.3. Пример для разностного метода повышенной точности (372). 22.4. Вспомогательные формулы для многоточечного метода (372). 22.5. Пример (375). 22.6. Метод в общем случае (376).
§ 23. Метод конечных разностей для уравнений с частными производными378
23.1. Обыкновенный метод конечных разностей или метод первого приближения (378). 23.2. Пример. Собственные колебания эллиптической мембраны (380). 23.3. Метод конечных разностей повышенной точности (381). 23.4. Многоточечный метод (383). 23.5. Примеры. Колебания мембраны (386). 23.6. Упражнения (393).
 
Г Л А В А   В О С Ь М А Я
РАЗЛИЧНЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ
 
§ 24. Метод возмущений401
24.1. Описание метода (401). 24.2. Кратные собственные значения (405). 24.3. Связь с принципом Рэлея (407). 24.4. Пример к методу возмущений. Продольный изгиб тяжёлых стержней (409).
§ 25. Другие методы411
25.1. Формула Данкерлея для сложных систем (411). 25.2. Формула Саусвелла (412). 25.3. Минимум среднеквадратичной ошибки (413). 25.4. Метод коллокаций (414). 25.5. Разложение в непрерывную дробь. Дифференциальное уравнение Матье (417). 25.6. Представление в виде ряда (420). 25.7. Упражнения (421).
Рекомендации по выбору методов приближённого вычисления собственных значений427
Приложение. Перечень рассмотренных примеров. Таблицы429
Дополнительная литература501

Книги на ту же тему

  1. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек, Якушев В. Л., 2004
  2. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания, Андреев А. Н., Немировский Ю. В., 2001
  3. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
  4. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
  5. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
  6. Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
  7. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
  8. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
  9. Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
  10. Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
  11. Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
  12. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
  13. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
  14. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
  15. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
  16. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
  17. Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
  18. Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
  19. Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
  20. Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
  21. Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
  22. Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Вабищевич П. Н., 1991
  23. Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
  24. Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
  25. Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
  26. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг Л., 1974
  27. Теория матриц. — 3-е изд., Гантмахер Ф. Р., 1967
  28. Матричный анализ, Хорн Р., Джонсон Ч., 1989
  29. Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
  30. Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
  31. Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru