Сохранность книги — хорошая

EIGENWERTAUFGABEN
MIT TECHNISCHEN
ANWENDUNGEN
von Dr. Dr. h. c. LOTHAR COLLATZ

MIT 137 ABBILDUNGEN UND 15 TAFELN
2. DURCHGESEHENE AUFLAGE

Leipzig 1963
AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT
GEEST & PORTIG K.-G.

Пер. с нем. Д. И. Корниенко, В. Г. Феоктистова, В. П. Орлова, ред. пер. В. В. Никольский

Формат 60x90 1/16. Бумага машинно-мелованная

Автор книги Лотар Коллатц является известным специалистом в области прикладной математики, относящейся главным образом к задачам технической механики. В данной книге рассматриваются задачи на собственные значения, связанные с проблемой потери устойчивости, упругими колебаниями и др. При этом акцент делается не на физическое, а на математическое содержание задач; особое внимание уделяется вычислительным методам.

Рассмотрение общей теории (функции Грина, интегральные уравнения, теорема разложения, вариационные принципы) проведено в простой форме и содержит ряд оригинальных черт.

Значительное внимание уделяется развитому автором методу последовательных приближений, численной реализации вариационных принципов, задачам для матриц. Излагаются конечно-разностные и другие методы, представляющие интерес для лиц, занимающихся задачами на собственные значения.

Таблиц 15, иллюстраций 137, библ. 72 названия.

Перечень таблиц	9
Предисловие редактора перевода	11
Из предисловий автора к первому и второму изданиям	13
Введение и краткий обзор	15

Г Л А В А П Е Р В А Я
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Проблема устойчивости	18
1.1. Продольный изгиб стержня, защемлённого на одном конце (18). 1.2. Продольный изгиб стержня, защемлённого на одном конце и шарнирно опёртого на другом (20). 1.3. Продольный изгиб стержня с учётом собственного веса (21). 1.4. Сжатый стержень на упругом основании (22). 1.5. Опрокидывание консольной балки при изгибе (23). 1.6. Кручение и опрокидывание двутавровой балки (25). 1.7. Сжатие и кручение вала (26). 1.8. Выпучивание круговой арки (28).
§ 2. Задачи о колебаниях	30
2.1. Колебания свободно подвешенного каната (30). 2.2. Крутильные колебания стержней (33). 2.3. Изгибные колебания стержня (34). 2.4. Пример физической задачи с отрицательными собственными значениями (36). 2.5. Колебания стержня с учётом влияния собственного веса (38). 2.6. Критическое число оборотов вала с гироскопическим эффектом (39). 2.7. Крутильные колебания диска (41).
§ 3. Дополнения	43
3.1. Задачи на собственные значения и проблема ветвления (43). 3.2. Системы дифференциальных уравнений (44). 3.3. Другие краевые условия, соотношение между значениями на обоих концах (45). 3.4. Задачи на собственные значения для уравнений с частными производными (45). 3.5. Упражнения (47).

Г Л А В А В Т О Р А Я
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА

§ 4. Основные сведения о задачах на собственные значения	54
4.1. Различные случаи распределения собственных значений (54). 4.2. Обозначения (59). 4.3. Самосопряжённость (61). 4.4. Обобщённая ортогональность (64). 4.5. Вещественность собственных значений (66). 4.6. Формула Дирихле (68). 4.7. Одночленный класс (69). 4.8. Пример самосопряжённой задачи с невещественными собственными значениями (70). 4.9. Определённость задачи на собственные значения (71).
§ 5. Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений	75
5.1. Определение функции Грина (75). 5.2. Вывод формулы решения для краевой задачи (77). 5.3. Построение функции Грина из фундаментальной системы (78). 5.4. Симметрия функции Грина G (х, ξ)=G (ξ, х) для самосопряжённой краевой задачи (82). 5.5. Простые примеры функции Грина (85). 5.6. Резольвента Грина для несобственных значений (86). 5.7. Условия существования собственных значений (87). 5.8. Поведение резольвенты Грина в точках собственных значений λ (90). 5.9. Кратные собственные значения (92). 5.10. Полуопределённые задачи на собственные значения (95).
§ 6. Функция Грина для уравнений с частными производными	95
6.1. Основные понятия (96). 6.2. Частный класс задач (97). 6.3. Функция Грина, предварительные замечания (100). 6.4. Решение краевой задачи при помощи функции Грина (102). 6.5. Другие типы уравнений с частными производными (104).
§ 7. Связь с интегральными уравнениями	105
7.1. Одночленный класс и интегральные уравнения (105). 7.2. Выводы из теории интегральных уравнений (108). 7.3. Применение к одночленному классу (111). 7.4. Интегральные уравнения и дифференциальные уравнения с частными производными (11З). 7.5. Одночленный класс и интегральное уравнение Вольтерра (116). 7.6. Пример (120). 7.7. Асимптотическое распределение собственных значений (121). 7.8. Упражнения (125).

Г Л А В А Т Р Е Т Ь Я
КРАТКИЙ ОЧЕРК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

§ 8. Минимальные свойства собственных значений	131
8.1. Минимальное свойство наименьшего собственного значения (131). 8.2. Проведение доказательства (132). 8.3. Минимальные свойства высших собственных значений (135). 8.4. Минимаксимальный принцип Куранта (138). 8.5. Теорема сравнения (140).
§ 9. Теорема включения	142
9.1. Формулировка теоремы (142). 9.2. Пример к теореме включения (143). 9.3. Доказательство теоремы включения (145). 9.4. Сравнение с задачами, разрешимыми в замкнутом виде (146).
§ 10 Теорема о разложении	147
10.1. Предварительное замечания (147). 10.2. Коэффициенты Фурье (148). 10.3. Формула Парсеваля (149). 10.4. Вспомогательная теорема о некоторых рядах по собственным функциям (152). 10.5. Сходимость ряда Фурье (10.5) (155). 10.6. Теорема о разложении. Доказательство в случае n=0 (156). 10.7. Замечание (157). 10.8. Теорема о разложении. Завершение доказательства для n ≥ 0 (159).
§ 11. Дополнения	160
11.1. Элементарное обоснование минимальных свойств в случае уравнений второго порядка (160). 11.2. Минимальные свойства собственных значений в случае уравнений с частными производными (166). 11.3. Двупараметрические задачи на собственные значения, кривые собственных значений (170). 11.4. Упражнения (171).

Г Л А В А Ч Е Т В Ё Р Т А Я
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

§ 12. Постоянные Шварца	176
12.1. Метод последовательных приближений в общем случае (176). 12.2. Введение постоянных Шварца a_k и отношений μ_k (177). 12.3. μ_k образуют монотонную невозрастающую последовательность (180). 12.4. Нижняя граница для первого собственного значения (181). 12.5. Практическое проведение метода (185). 12.6. Примеры применения метода последовательных приближений (187).
§ 13. Графическое интегрирование	189
13.1. Графическое однократное интегрирование (189). 13.2. Переменное полюсное расстояние (192). 13.3. Графическое двукратное интегрирование (194). 13.4. Особый случай обыкновенного верёвочного многоугольника (197). 13.5. Учёт краевыч условий (197). 13.6. Графическое проведение метода последовательны приближений (199). 13.7. Графическое определение μ₁ (201).
§ 14. Дополнения	204
14.1. Метод последовательныi приближений для дифференциальных уравнений с частными производными (204). 14.2. Теорема включения Крылова-Боголюбова для одночленного класса (206). 14.3. Доказательство основной формулы (12.19) при помощи теоремы о разложении (209). 14.4. Сходимость итерационного процесса для краевых задач (212). 14.5. Метод Коха для высших собственных значений (214). 14.6. Упражнения (215).

Г Л А В А П Я Т А Я
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МИНИМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ

§ 15. Основы метода Ритца	221
15.1. Три минимальных принципа (221). 15.2. Общий метод Ритца (224). 15.3. Уравнения Галёркина (225) 15.4. Сведение к вековому уравнению (227). 15.5. Линейное представление в случае минимального принципа Камке (231). 15.6. Уравнения Граммеля (232). 15.7. Численные примеры (234). 15.8. Приближения Ритца для высших собственных значений (238).
§ 16. Дальнейшее развитие метода Ритца	240
16.1. Вариационные уравнения Эйлера (240). 16.2. Пример. Задача на собственные значения (244). 16.3. Обратная постановка задачи и метод Ритца (245). 16.4. Энергетический метод для задач о колебаниях (246). 16.5. Изгибные колебания (248). 16.6. Пример. Крутильные колебания (250). 16.7. Энергетический метод для дифференциальных уравнений с частными производными (253). 16.8. Проблема потери устойчивости (255). 16.9. Графическое проведение метода Ритца (255). 16.10. Графическое получение уравнений Граммеля (256). 16.11. Упражнения (260).

Г Л А В А Ш Е С Т А Я
ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ МАТРИЦ

§ 17. Основные сведения о задачах на собственные значения для матриц	267
17.1. Обозначения (267). 17.2. Матрицы с особыми свойствами (268). 17.3. Квадратичные и эрмитовы формы (269). 17.4. Вещественность характеристических чисел (275). 17.5. Обобщённая унитарность собственных векторов (277). 17.6. Примеры промежуточных задач на собственные значения из механики (278). 17.7. Примеры общих задач на собственные значения из механики (234). 17.8. Эрмитова самосопряжённость в случае интегро-дифференциальных уравнений (291).
§ 18. Экстремальные свойства характеристических чисел.	295
18.1. Определение характеристических чисел при помощи задач на максимум (296). 18.2. Приведение к главным осям (298). 18.3. Выводы и оценки (301) 18.4. Одновременное приведение к главным осям двух эрмитовых форм (304). 18.5. Пример. Геометрическая интерпретация собственных векторов двух квадратичных форм (308). 18.6. Минимаксимальный принцип Куранта (309). 18.7. Теорема включения (311). 18.8. Численное применение теоремы включения (313).
§ 19. Итерационный метод и главные векторы	315
19.1. Итерационный метод в общем случае (315). 19.2. Нижняя и верхняя границы для характеристических чисел (321). 19.3. Понижение порядка (323). 19.4. Численный пример (325). 19.5. Введение главных векторов (328). 19.6. Доказательство теоремы о разложении (330) 19.7. Сходимость итерационного метода для частных задач на собственные значения (332). 19.8 О степенях матрицы (333). 19.9. Системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (334). 19.10. Постоянные коэффициенты и главные векторы (337).
§ 20. Дополнения	339
20.1. Матричные полиномы и уравнение Кэли (339). 20.2. Функции матриц и степенные ряды матриц (342). 20.3. Приближённые решения систем линейных уравнений (345). 20.4. Оценки характеристических чисел матриц (348). 20.5. Особые методы получения характеристического уравнения (352) 20.6. Упражнения (354).

Г Л А В А С Е Д Ь М А Я
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

§ 21. Метод конечных разностей первого приближения для обыкновенных дифференциальных уравнений	359
21.1. Описание метода конечных разностей (359). 21.2. Пример для дифференциального уравнения второго порядка (361). 21.3. Пример для дифференциального уравнения четвёртого порядка (363). 21.4. Прямые методы для разностных уравнений (365). 21.5. Минимальное свойство наименьшего собственного значения в методе конечных разностей (367).
§ 22. Улучшение метода конечных разностей	368
22.1. Конечные выражения (369). 22.2. Метод конечных разностей повышенной точности (371). 22.3. Пример для разностного метода повышенной точности (372). 22.4. Вспомогательные формулы для многоточечного метода (372). 22.5. Пример (375). 22.6. Метод в общем случае (376).
§ 23. Метод конечных разностей для уравнений с частными производными	378
23.1. Обыкновенный метод конечных разностей или метод первого приближения (378). 23.2. Пример. Собственные колебания эллиптической мембраны (380). 23.3. Метод конечных разностей повышенной точности (381). 23.4. Многоточечный метод (383). 23.5. Примеры. Колебания мембраны (386). 23.6. Упражнения (393).

Г Л А В А В О С Ь М А Я
РАЗЛИЧНЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ

§ 24. Метод возмущений	401
24.1. Описание метода (401). 24.2. Кратные собственные значения (405). 24.3. Связь с принципом Рэлея (407). 24.4. Пример к методу возмущений. Продольный изгиб тяжёлых стержней (409).
§ 25. Другие методы	411
25.1. Формула Данкерлея для сложных систем (411). 25.2. Формула Саусвелла (412). 25.3. Минимум среднеквадратичной ошибки (413). 25.4. Метод коллокаций (414). 25.5. Разложение в непрерывную дробь. Дифференциальное уравнение Матье (417). 25.6. Представление в виде ряда (420). 25.7. Упражнения (421).
Рекомендации по выбору методов приближённого вычисления собственных значений	427
Приложение. Перечень рассмотренных примеров. Таблицы	429
Дополнительная литература	501

Книги на ту же тему

Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек, Якушев В. Л., 2004
Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания, Андреев А. Н., Немировский Ю. В., 2001
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Вабищевич П. Н., 1991
Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг Л., 1974
Теория матриц. — 3-е изд., Гантмахер Ф. Р., 1967
Матричный анализ, Хорн Р., Джонсон Ч., 1989
Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987

elapsed time 0.169 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему