В книге излагаются основы теории числовых рядов и функциональных рядов, в том числе степенных рядов и рядов Фурье. Первая часть курса составлена в точном соответствии с разделом «Ряды» программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Её можно использовать не только как учебное пособие для слушателей курса лекций, но и при самостоятельной работе над предметом. Вторая часть представляет собой цикл очерков, посвящённых более глубоким вопросам теории рядов.

Илл. 36. Табл. 1

Данный курс составлен в точном соответствии с разделом «Ряды» программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Поэтому его можно использовать не только как пособие для слушателей курса лекций, но и при самостоятельной работе над предметом.

Основной опасностью при изучении теории рядор автор считает вульгарное представление о ряде как о «сумме бесконечного числа слагаемых». Поэтому он принял против него все возможные профилактические меры, жертвуя иногда ради строгости наглядностью изложения.

Напротив, в согласии с обычной практикой прохождения курса теории рядов, обоснование интегральной формулы Фурье проводится при помощи нестрогих, правдоподобных («эвристических») рассуждений, а доказательства теоремы о дифференцировании степенных рядов в комплексной области и теоремы Дирихле о разложении в ряд Фурье опущены вовсе. Уравнение свободных малых колебаний струны с закреплёнными концами и его решение методом Фурье, относимые некоторыми вариантами учебных программ к разделу «Ряды», выделены в самостоятельную главу.

Некоторым отклонением от традиции является глава 1, в которой на примере геометрических прогрессий демонстрируются практически все идеи курса (вплоть до рядов Фурье). Эта глава является вспомогательной и преследует чисто методические цели.

Приводимые в книге примеры носят иллюстративный характер и не являются упражнениями для читателя. Поэтому параллельно с изучением материала данной книги необходимо пользоваться тем или иным сборником задач…

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Н. Н. Воробьев

Предисловие к первому изданию	8
Предисловие к третьему изданию	10

ЧАСТЬ I

Г л а в а 1. Прогрессии	11

§ 1. Введение	11
§ 2. Геометрические прогрессии	13
§ 3. Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость	14
§ 4. Элементарные преобразования прогрессий	16
§ 5. Функциональные прогрессии: область сходимости; равномерная
сходимость	18
§ 6. Почленное интегрирование прогрессий	20
§ 7. Почленное дифференцирование прогрессий	21
§ 8. Прогрессии с комплексными членами	23

Г л а в а 2. Числовые ряды. Основные понятия. Основные
теоремы о сходимости	28

§ 1. Сложение и его свойства	28
§ 2. Определение числового ряда и его сходимости	29
§ 3. Остаток ряда	32
§ 4. Принцип сходимости Коши	33
§ 5. Критерий Коши сходимости рядов	36
§ 6. Необходимый признак сходимости ряда	37
§ 7. Желательность систематической теории	38
§ 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм	38
§ 9. Дальнейшие свойства рядов	46

Г л а в а 3. Ряды с положительными членами	49

§ 1. Признаки сходимости рядов	49
§ 2. Признаки сравнения	50
§ 3. Интегральный признак сходимости Маклорена-Коши	56
§ 4. Применения интегрального признака сходимости	58
§ 5. Сравнительная оценка различных признаков сходимости	62
§ 6. Признак сходимости Даламбера	65
§ 7. Признак сходимости Коши	67
§ 8. Чувствительность признаков сходимости Даламбера и Коши	69

Г л а в а 4. Знакопеременные ряды	71

§ 1. Абсолютная сходимость и условная сходимость	71
§ 2. Абсолютная сходимость и расходимость	72
§ 3. Возможность переставлять члены в абсолютно сходящихся рядах	75
§ 4. Условно сходящиеся знакопеременные ряды	76
§ 5. Умножение абсолютно сходящихся рядов	78
§ 6. Признак сходимости Лейбница	80
§ 7. Существенность условий признака сходимости Лейбница	83

Г л а в а 5. Функциональные ряды	85

§ 1. Определение функционального ряда	85
§ 2. Область сходимости функционального ряда	86
§ 3. Сходимость последовательности функций. Основные определения	88
§ 4. Предел последовательности непрерывных функций	94
§ 5. Переход к пределу под знаком интеграла	95
§ 6. Переход к пределу под знаком производной	97
§ 7. Определение равномерной сходимости функционального ряда и
признак Вейерштрасса	98
§ 8. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными
членами	101
§ 9. Почленное интегрирование функциональных рядов	101
§ 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов	103

Г л а в а 6. Степенные ряды. Общие вопросы	106

§ 1. Определение степенного ряда	106
§ 2. Теорема Абеля	107
§ 3. Круг сходимости ряда	109
§ 4. Вещественный степенной ряд и его интервал сходимости	111
§ 5. Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости	111
§ 6. Вещественные ряды	11З
§ 7. Комплексные ряды	115
§ 8. Разложение функций в степенные ряды	115
§ 9. Формула Тейлора	116
§ 10. Ряды Тейлора и Маклорена	118

Г л а в а 7. Степенные ряды. Примеры и приложения	123

§ 1. Разложение функции e^x в ряд Маклорена	123
§ 2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических функций chx и shx	124
§ 3. Разложения в ряды Маклорена тригонометрических функций
cos x и sin x	124
§ 4. Показательная функция с комплексным значением показателя	125
§ 5. Формулы Эйлера	129
§ 6. Тригонометрические функции от комплексного значения аргумента	130
§ 7. Гиперболические функции от комплексного значения аргумента	130
§ 8. Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена	131
§ 9. Биномиальный ряд	135
§ 10. Приложения биномиального ряда	138
§ 11. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции	139
§ 12. Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи
степенных рядов	140
§ 13. Приближённое интегрирование дифференциальных уравнений при
помощи степенных рядов	142

Г л а в а 8. Ортогональные и ортонормальные системы функций	145

§ 1. Проекции и разложения векторов	145
§ 2. Векторы и функции	153
§ 3. Нормированные и ортогональные функции	154
§ 4. Ортогональные и нормированные системы функций	155
§ 5. Нормировка систем функций	157
§ 6. Разложение по системам функций	158

Г л а в а 9. Ряды Фурье	159

§ 1. Ряды и коэффициенты Фурье	159
§ 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье	162
§ 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье	163
§ 4. Физическое истолкование разложения функции в тригонометрический
ряд Фурье	165
§ 5. Разложение функции f(x) = x	166
§ 6. Сдвиг, сегмента разложения	168
§ 7. Изменение длины сегмента разложения	171
§ 8. Чётные и нечётные функции	173
§ 9. Разложение чётной функции в ряд Фурье	174
§ 10. Разложение нечётной функции в ряд Фурье	175
§ 11. Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, π]	176
§ 12. Комплексная форма записи ряда Фурье	178
§ 13. Разложение в комплексный ряд Фурье	180
§ 14. Характер сходимости рядов Фурье	181

Г л а в а 10. Уравнение свободных малых колебаний струны
с закреплёнными концами	185

§ 1. Уравнение свободных малых колебаний струны	185
§ 2. Начальные и граничные условия	187
§ 3. Метод разделения переменных	188
§ 4. Использование граничных условий. Собственные функции и
собственные значения	189
§ 5. Использование начальных условий	191

Г л а в а 11. Интеграл Фурье	194

§ 1. Представление функций интегралом Фурье	194
§ 2. Простейшие достаточные условия представимости функции
интегралом Фурье	195
§ 3. Интеграл Фурье для чётных функций	200
§ 4. Интеграл Фурье для нечётных функций	202
§ 5. Комплексная форма интеграла Фурье	203
§ 6. Понятие о преобразовании Фурье	206
§ 7. Косинус-преобразование Фурье	207
§ 8. Синус-преобразование Фурье	208
§ 9. Спектральная функция	209

ЧАСТЬ II

Г л а в а 12. Дальнейшие признаки сходимости рядов с постоянными
членами	210

§ 1. Признак сходимости Куммера	210
§ 2. Признак сходимости Раабе	213
§ 3. Признак сходимости Бертрана	217
§ 4. Признак сходимости Гаусса	219
§ 5. Сходимость знакопеременных рядов	224
§ 6. Признак сходимости Дирихле	226

Г л а в а 13. Двойные ряды	229

§ 1. Определение двойного ряда	229
§ 2. Сходимость двойных рядов	230
§ 3. Критерии сходимости двойных рядов	233
§ 4. Свойства двойных рядов и признаки сходимости	236
§ 5. Абсолютная сходимость двойных рядов	240
§ 6. Двойные функциональные ряды	242
§ 7. Двойные степенные ряды	244
§ 8. Разложение функций двух переменных в двойные ряды Тейлора
и Маклорена	247
§ 9. Ортогональные и ортонормальные системы функций от двух
переменных	252
§ 10. Двойные ряды Фурье	254

Г л а в а 14. Суммирование сходящихся рядов	256

§ 1. Постановка вопроса	256
§ 2. Линейные преобразования рядов	259
§ 3. Теорема Абеля и почленное дифференцирование и интегрирование
рядов	263
§ 4. Последовательности разностей	266
§ 5. Преобразование рядов по Эйлеру	268
§ 6. Преобразование рядов по Куммеру	275

Г л а в а 15. Суммирование расходящихся рядов	278

§ 1. Расходящиеся геометрические прогрессии	278
§ 2. Суммирующие функции	281
§ 3. Суммирование по Пуассону-Абелю	282
§ 4. Линейность и регулярность суммирования по Пуассону-Абелю	285
§ 5. Умножение рядов, суммируемых по Пуассону-Абелю	286
§ 6. Теорема Таубера	290
§ 7. Суммирование по Чезаро	295
§ 8. Соотношение между сходимостью по Чезаро и по Пуассону-Абелю	297

Г л а в а 16. Теоремы Дирихле и Фурье	301

§ 1. «Вторая» теорема о среднем	301
§ 2. Исследование двух интегралов	305
§ 3. Исследование одного класса интегралов	308
§ 4. Доказательство теоремы Дирихле	314
§ 5. Теорема Фурье	316

Г л а в а 17. Применение рядов Фурье в теории изгиба балок	320

§ 1. Общая схема решения задач	320
§ 2. Изгиб балки	321
§ 3. Свободно опёртая балка	326
§ 4. Первая возможность ограничиться двукратным дифференцированием	329
§ 5. Случай сосредоточенной нагрузки	330
§ 6. Прогиб балки от распределённой нагрузки	335
§ 7. Прогиб от сосредоточённого момента	337
§ 8. Статически неопределимая балка	338
§ 9. Сложный изгиб балки	341
§ 10. Балка на упругом основании	345
§ 11. Вторая возможность ограничиться двукратным дифференцированием.
Потенциальная энергия изгиба балки	347
§ 12. Потенциальная энергия изгиба балки в случае нескольких
нагрузок	349
§ 13. Функции прогиба с ортогональными вторыми производными	351
§ 14. Свободно опёртая нагруженная балка	353
§ 15. Работа продольных сил при сложном изгибе балки	355
§ 16. Общий случай изгиба балки	357
§ 17. Общий случай изгиба свободно опертой балки	359
§ 18. Изгиб симметрично нагруженной балки, жёстко заделанной по
концам	361
§ 19. Функция прогиба симметрично загруженной балки с жёстко
заделанными концами	364
§ 20. Сходимость рядов, описывающих состояние нагруженной балки	365

Книги на ту же тему

Теория рядов. — 4-е изд., перераб. и доп., Воробьев Н. Н., 1979
Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. — 2-е изд., доп., Романовский П. И., 1959
Ряды Фурье, Толстов Г. П., 1951
Аналитическое продолжение, Бибербах Л., 1967
Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971
Задачи на собственные значения (с техническими приложениями), Коллатц Л., 1968
Распределение собственных значений (самосопряжённые обыкновенные дифференциальные операторы), Костюченко А. Г., Саргсян И. С., 1979
Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов (комплект из 2 книг), Кудрявцев Л. Д., 1981
Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч. — 3-е изд. (комплект из 2 книг), Пойа Д., Сеге Г., 1978
Введение в комплексный анализ, Шабат Б. В., 1969
Теория функций комплексного переменного (комплект из 2 книг), Стоилов С., 1962
Сборник задач по теории функций комплексного переменного. — 3-е изд., стереотип., Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г., 1975
Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
Сборник задач по уравнениям математической физики, Владимиров В. С., Михайлов В. П., Вашарин А. А., Каримова X. X., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И., 1974
Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
Сопротивление материалов. — 15-е изд., перераб., Беляев Н. М., 1976
Сопротивление материалов, Феодосьев В. И., 1979
Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания, Андреев А. Н., Немировский Ю. В., 2001

elapsed time 0.020 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему