Настоящий выпуск серии «Справочная математическая библиотека» посвящён интегральным преобразованиям и операционному исчислению. В первой части изложены основы теории интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Меллина, Бесселя, Ханкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева и др. Особое внимание уделено преобразованию Лапласа и его применению к математическому анализу.

Операционное исчисление излагается на основе теории Микусинского с некоторым её видоизменением. Указывается, как оно связано с преобразованием, Лапласа, и приводятся примеры реализации конкретных операторов.

Вторую часть составляют таблицы интегральных преобразований (косинус- и синус-преобразования Фурье, преобразования Лапласа, Меллина, Ханкеля, Конторовича-Лебедева и Мелера-Фока). При составлении таблиц были использованы справочные руководства и работы, опубликованные в периодической литературе. Некоторые результаты публикуются впервые.

Книга предназначена для математиков, физиков, инженеров, интересующихся вопросами прикладной математики.

За последние десятилетия в математическом анализе широкое распространение получили методы, связанные с использованием интегральных преобразований. Эти методы были успешно применены к решению дифференциальных и интегральных уравнений, изучению специальных функций, вычислению интегралов. Существенным преимуществом метода интегральных преобразований является возможность подготовки таблиц прямых и обратных преобразований различных функций, часто встречающихся в приложениях.

В настоящем выпуске серии «Справочная математическая библиотека» (СМБ) рассматриваются наиболее распространённые интегральные преобразования. Первая часть посвящена основам теории и состоит из пяти глав. В первой главе излагаются элементы теории преобразований Фурье и некоторые их приложения. Центральной и наиболее обширной является глава вторая, посвящённая преобразованию Лапласа. Здесь же рассматривается преобразование Меллина.

Глава третья посвящена интегральному преобразованию Бесселя. К последнему относится ряд интегральных преобразований, ядром которых являются функции Бесселя. В частности, в этой главе рассматриваются преобразования Ханкеля, Мейера и Конторовича-Лебедева. В главе четвёртой приводятся краткие сведения о некоторых других интегральных преобразованиях. В пятой главе излагаются основы теории операционного исчисления.

Как известно, символическое или операционное исчисление стало систематически разрабатываться в середине прошлого столетия. В конце XIX века Хевисайд успешно применил его к решению некоторых задач, связанных с теорией электромагнитных колебаний. Широкое распространение операционного исчисления Хевисайда привело к появлению многочисленных работ по его обоснованию. При этом первоначальная операторная точка зрения Хевисайда была значительно вытеснена работами Карсона, Деча, Ван дер Поля и др., которые в своих исследованиях опирались на преобразование Лапласа и интеграл Меллина.

Однако такое положение не могло продолжаться долго, так как успешное развитие функционального анализа и, в частности, теория линейных операторов способствовали развитию операторных методов в математическом анализе. В работах [Диткин В. А., УМН, 2, вып. 6 (22), 1947, 72—158], [Плесснер А. И., ДАН 26, №1, 1940] даётся операторное изложение операционного исчисления с использованием преобразования Лапласа.

Полный возврат к первоначальной операторной точке зрения был сделан Микусинским. Он даёт строгое операторное обоснование операционному исчислению Хевисайда без всякой связи с теорией преобразования Лапласа. При изложении этой теории Микусинскому приходится вводить различные обозначения для функции и для её значения в некоторой точке. Микусинский обозначает функцию через {f(t)}, а значение этой функции в точке t — через f(t). Например, 2 есть число, а {2} есть функция, принимающая постоянное значение 2.

В главе V свёртка определяется, в отличие от Микусинского, таким образом, что не приходится различать константы от функций констант. Так как в ряде случаев при применении интеграла Лапласа значительно упрощаются различные преобразования и вычисления, связанные с отысканием операционных формул, то здесь указывается на связь построенного исчисления с преобразованием Лапласа. В этой же главе рассматривается также обобщённое преобразование Лапласа и приводятся его основные свойства. В конце главы даётся краткое изложение операционного исчисления для оператора Бесселя и устанавливается его связь с преобразованием Мейера.

Вторую часть книги составляют таблицы формул интегральных преобразований. Различные формулы интегральных преобразований возникают при решении конкретных задач, однако в дальнейшем они могут быть применены к решению других вопросов. Поэтому таблицы формул интегральных преобразований имеют обширную область приложений, охватывающую собой самые разнообразные отрасли знаний: математику, физику, механику, электротехнику и т. д. Таблицам формул предшествует перечень обозначений специальных функций и некоторых постоянных, приведённых в гл. VI. В остальных главах рассматриваются: косинус- и синус-преобразования Фурье, преобразования Лапласа-Карсона, Меллина, Ханкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева, Мелера-Фока, Гильберта и др. При составлении таблиц были использованы в большинстве случаев существующие работы аналогичного характера. Среди них следует особо отметить: Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G., Tables of integral Transforms, 1954; Oberhettinger F., Tabellen zur Fourier-Transformation, 1957.

При обработке такого большого количества формул возможны недосмотры и ошибки. За всякие указания и поправки авторы будут очень обязаны читателям и заранее выражают им свою благодарность.

В настоящем 2-м издании сохранено общее содержание и распределение материала книги и устранены замеченные неточности. Написан новый параграф, посвящённый одному обобщению операционного исчисления.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В. А. Диткин, А. П. Прудников

Книги на ту же тему

1. Методы приближённого преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга), Крылов В. И., Скобля Н. С., 1974
2. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — 2-е изд., перераб. и доп., Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э., 1968
3. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. С приложением таблиц, составленных Р. Гершелем. — 2-е изд., Дёч Г., 1960
4. Операционное исчисление и его приложения к задачам электротехники, Левинштейн М. Л., 1964
5. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. — 2-е изд., доп., Романовский П. И., 1959
6. Ряды Фурье, Толстов Г. П., 1951
7. Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
8. Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
9. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971
10. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
11. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., доп., Филиппов А. Ф., 1973
12. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Учебное пособие. — 2-е изд., перераб., Киселёв А. И., Краснов М. Л., Макаренко Г. И., 1967
13. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
14. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 3-е изд., стереотип., Понтрягин Л. С., 1970
15. Уравнения в частных производных математической физики. Учебное пособие для мех.-мат. факультетов университетов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., 1970
16. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
17. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
18. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
19. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
20. Элементы наследственной механики твёрдых тел, Работнов Ю. Н., 1977
21. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962