Авторы ставят своей целью помочь читателям приблизиться к современным проблемам теории чисел и теории сложности арифметических алгоритмов. По их мнению, оптимальный способ достижения этой цели — самостоятельное решение задач как олимпиадных, так и классических, из которых сформировались многие новые направления математики. Используется опыт преподавания в математических школах и на механико-математическом факультете МГУ. Подбор задач отличается оригинальностью и новизной.

Для учеников старших классов, студентов, аспирантов, научных работников.

Основу арифметики составляет изучение свойств целых чисел, связанных с делимостью. Она является первым математическим предметом, с которого начинается обучение в школе. Этот процесс обучения по существу в дальнейшем не останавливается, так как идеи, рассуждения и утверждения арифметического характера пронизывают всю математику. Поэтому арифметика представляет интерес для всех, кто занимается математикой, от школьников до специалистов.

Книга состоит из 17 разделов, тесно связанных той целью, поставленную авторами — обучить читателя материалу, который скорейшим путём приводит к современным проблемам теории чисел и теории сложности арифметических алгоритмов. В каждом разделе задачи сгруппированы по единству идей и содержания, а иногда их объединяют связанные между собой сходные методы решения или просто схожесть формулировки. Часто группы задач заканчиваются красивой и очень трудной задачей. Но если вы прорешаете их все подряд, то задача не покажется вам трудной. Вслед за каждым разделом идут указания и решения. Думается, что такое их расположение представляет большое удобство, сокращая время на поиск пояснений, если они необходимы.

Этот задачник отличается от многочисленных и широко издающихся пособий для поступающих в вузы и различных дидактических материалов по школьной математике тем, что в нём нет задач тренировочного и экзаменационного характера, нужных лишь для усвоения и закрепления некоторых стандартных приёмов и навыков. Авторы предполагают, что такие навыки у вас имеются, а если и не вполне, то недостающие вы приобретёте, работая с этой книгой. Можно надеяться, что благодаря ей у вас появится привычка самостоятельно размышлять над решением нетривиальных задач. Нетривиальных — это не значит обязательно чрезмерно трудных, В книге имеется достаточное количество несложных задач.

Отметим также, что этот задачник отличается и от многочисленных изданий по занимательной математике. Думается, что истинная занимательность заключается скорее в самом содержании задач, чем во внешнем оформлении их условий.

По настоящему интересные задачи часто неизбежно оказываются довольно трудными, а иногда и чрезвычайно трудными. Это в полной мере относится и к задачам данной книги. Многие из них предлагались на различных математических олимпиадах. Но пугаться этих задач не следует — в отличие от участников олимпиады у вас будет достаточно времени для их решения, к тому же можно заглянуть в указания. Но не торопитесь это делать, не потратив несколько часов на попытку самостоятельно решить задачу — даже в случае неудачи вам тогда будет легче понять указание и увидеть содержащееся в нём соображение.

В отличие от сборников олимпиадных задач эта книга содержит сравнительно мало слишком искусственных задач, хотя бы и носящих арифметический характер, но не имеющих арифметического содержания. Зато в ней довольно много классических теорем и задач, взятых из разных областей теории чисел, которые мало известны школьникам (и не только школьникам), но безусловно заслуживают более широкой популярности.

Надеюсь, что книга послужит вам долго и с её помощью вы научитесь решать трудные задачи. Если же вы изберёте профессию, связанную с математикой, она пригодится вам и в студенческие годы, и позже, ведь последние разделы задачника представляют интерес не только для студентов, но и для специалистов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
член-корр. РАН В. А. Садовничий

Книги на ту же тему

1. Информатика, Луенбергер Д. Д., 2008
2. Сборник упражнений по теории чисел, Грибанов В. У., Титов П. И., 1964
3. Геометрия чисел, Грубер П. М., Леккеркеркер К. Г., 2008
4. Основы теории чисел. — 7-е изд., исправл., Виноградов И. М., 1965
5. Живые числа. Пять экскурсий, Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю., Крафт Х., Янцен Е., 1985
6. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями), Ноден П., Китте К., 1999
7. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры, Кокс Д., Литтл Д., О'Ши Д., 2000
8. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, Лавров И. А., Максимова Л. Л., 1975
9. Введение в теоретическое программирование (беседы о методе), Ершов А. П., 1977
10. Введение в алгебраическую теорию информации, Гоппа В. Д., 1995
11. Коды и математика (рассказы о кодировании), Аршинов М. Н., Садовский Л. Е., 1983
12. Криптографические методы защиты информации в компьютерных системах и сетях, Иванов М. А., 2001
13. Криптография, Смарт Н., 2006
14. Элементы криптографии (Основы теории зашиты информации): Учебное пособие для университетов и пед. вузов, Нечаев В. И., 1999
15. Нелинейно-динамическая криптология. Радиофизические и оптические системы, Владимиров С. Н., Измайлов И. В., Пойзнер Б. Н., 2009
16. Алгоритмы и вычислительные автоматы, Трахтенброт Б. А., 1974
17. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения, Успенский В. А., Семёнов А. Л., 1987
18. Анализ алгоритмов. Вводный курс, Макконнелл Д., 2002