Книга известного немецкого математика X. Шефера представляет собой учебник по общей теории топологических векторных пространств, охватывающий все основные разделы линейной топологии. В ней впервые в учебной литературе последовательно изложены основы крейновской теории упорядоченных пространств, которая перенесена автором на общий случай локально выпуклых пространств; достаточно полно изложена теория топологических тензорных произведений.

Написанная с большим педагогическим мастерством книга Шефера, несомненно, заинтересует математиков различных специальностей. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.

Книга известного немецкого математика Хельмута Шефера, перевод которой предлагается читателю, содержит развёрнутое изложение основных разделов теории линейных топологических пространств. Последние 10—15 лет эта теория интенсивно разрабатывается у нас в стране и за рубежом, причём прогресс во многом стимулируется плодотворными контактами с другими математическими дисциплинами, в первую очередь с теорией обобщённых функций, дифференциальных и интегральных уравнений, а также с теорией аналитических функций. Зачастую теория линейных топологических пространств предоставляет разумный язык и действенные методы в тех задачах анализа, для которых рамки классического гильбертова или банахова функционального анализа оказываются слишком узкими.

К настоящему времени на русском языке уже имеется несколько руководств по линейной топологии. Это книги Н. Бурбаки (1959), А. и В. Робертсонов (1967), А. Пича (1967) и ряд других. Учебник Шефера, основанный на неоднократно читанных им лекциях, значительно дополняет их по богатству конкретного материала. Стоит отметить, например, тщательное изложение теории двойственности, теории упорядоченных структур и её приложений, а также теории топологических тензорных произведений (на русском языке раньше не было подробного и доступного изложения).

Аксиоматику и основные понятия теории топологических векторных пространств автор излагает для случая линейных пространств над произвольным полем — этому посвящена первая глава книги.

Во второй главе обсуждается общая идея локальной выпуклости и связанные с ней основные факты и понятия — функционалы Минковского, различные формы теоремы Хана-Банаха, индуктивные и проективные топологии и т. д.

Три последние главы и дополнение (частично написанные по работам автора книги) содержат наиболее ценную информацию. В третьей главе, посвящённой линейным отображениям, в частности, имеются общие формы теоремы о гомоморфизме (к этому автор возвращается и в четвёртой главе) и принципа равномерной ограниченности. Однако наиболее важно здесь введение топологических тензорных произведений и изложение теории ядерных отображений и ядерных пространств. Теория топологических тензорных произведений, систематически развитая Гротендиком, была им положена в основу теории ядерных пространств. Затем, однако, появилась тенденция избегать этой техники. К настоящему времени топологические тензорные произведения вновь приобрели популярность и в этой связи можно надеяться, что соответствующие разделы книги Шефера окажутся полезными большому кругу начинающих математиков.

Изложение теории ядерных пространств, свободное от техники тензорных произведений, читатель может найти в упомянутой выше книге А. Пича. Кстати, там же прослеживаются различные подходы к понятию ядерности (например, имеется критерий ядерности в терминах аппроксимативной размерности, принадлежащий Б. С. Митягину), что в данной книге сделано менее полно.

Несомненно, центральное место в книге занимает глава 4, посвящённая двойственности. Она написана со вкусом и содержит большую информацию. Здесь имеется ряд теорем о рефлексивности, наиболее общая форма теорем о замкнутом графике и об открытом отображении и многое другое.

Наконец, в пятой главе автор излагает теорию упорядоченных векторных пространств над полем вещественных или комплексных чисел: двойственность выпуклых конусов, связь между порядками и топологией, а также приложения к результатам типа теоремы Стоуна-Вейерштрасса (алгебраический и структурный варианты).

Добавление связано со спектральной теорией и содержит, в частности, обобщения известной теоремы о существовании положительного собственного вектора у положительной матрицы.

В книге имеется большое количество упражнений. Только небольшая часть из них носит чисто учебный характер. Прорешав упражнения или даже лишь ознакомившись с их содержанием, студент сможет получить целый ряд полезных дополнительных сведений (об аналитических и обобщённых функциях, о топологических и банаховых алгебрах и т. д.). Вообще, метод изложения, избранный автором, как мне кажется, способствует сравнительно лёгкому усвоению материала. Думается, что эта книга, рассчитанная на студентов средних курсов, уже знакомых с элементами гильбертова и банахова функционального анализа, будет с интересом встречена русским читателем, тем более, что на русском языке нет перевода известной монографии Келли и Намиока, влияние которой автор неоднократно подчёркивает…

От редактора перевода
Е. А. Горин

Книги на ту же тему

1. Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов, Стинрод Н., Чинн У., 1967
2. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
3. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов, Новиков С. П., Фоменко А. Т., 1987
4. Топологические вариационные задачи, Фоменко А. Т., 1984
5. Дифференциальная геометрия. — 5-е изд., Погорелов А. В., 1969
6. Общая топология, Келли Д. Л., 1968
7. Симметрические пространства, Лоос О., 1985
8. Теория Морса, Милнор Д., 2011
9. Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
10. Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
11. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
12. Дифференциальная топология: Начальный курс, Милнор Д., Уоллес А., 1972
13. Элементарное введение в абстрактную алгебру, Фрид Э., 1979
14. Алгебра, Ленг С., 1968
15. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 2-е изд., исправл., Кострикин А. И., 2001
16. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 3-е изд., Кострикин А. И., 2004
17. Линейно упорядоченные группы, Кокорин А. И., Копытов В. М., 1972
18. Тензорное исчисление, Акивис М. А., Гольдберг В. В., 1969
19. Современная математика, Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М., 1966
20. Равенство, сходство, порядок, Шрейдер Ю. А., 1971
21. Системный анализ процессов химической технологии. Топологический принцип формализации, Кафаров В. В., Дорохов И. Н., 1979
22. Топологические методы в теории гамильтоновых систем (Сборник статей), Болсинов А. В., Фоменко А. Т., Шафаревич А. И., ред., 1998
23. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995
24. Гравитация и относительность, Цзю Х., Гоффман В., ред., 1965
25. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987
26. Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989