Книга создана на основе монографии под тем же названием, вышедшей в 1973 г. и получившей высокую оценку специалистов. Настоящее издание является более универсальным по подбору методов и написано так, чтобы служить учебным пособием по курсу «Численные методы» для студентов 4—5 курсов, обучающихся по специальности «Прикладная математика».

Автор стремится акцентировать внимание на сложных задачах математической физики, которые в процессе решения сводятся, как правило, к более простым, допускающим реализацию алгоритмов на ЭВМ. В книге изложены многие современные подходы к численные методам.

Книга может представлять интерес не только для студентов, но и для аспирантов, а также для специалистов, работающих в области прикладной математики.

2 табл., 20 рис., библ.

Предлагаемая книга является результатом обработки курса лекций по вычислительной математике, который в течение ряда лет читался автором для студентов математического факультета Новосибирского государственного университета. Автор стремился акцентировать внимание на сложных задачах математической физики, которые в процессе решения, как правило, редуцируются к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию алгоритмов на современных вычислительных машинах. Именно с такими сложными задачами зачастую сталкивается молодой исследователь в своей практической работе после окончания высшего учебного заведения. Поэтому данная книга прежде всего рассчитана на тех, кто впервые встречается с необходимостью решения больших задач математической физики и хочет получить рекомендации о рациональных подходах к решению.

Автором избрана такая форма изложения, которая, по его мнению, способствует привлечению внимания к проблемам вычислительной математики более или менее широкого круга исследователей. Эта форма потребовала известных уступок в изложении, позволив сосредоточить внимание лишь на основных идеях и подходах к решению задач. Что касается деталей, иногда существенных, и возможных обобщений, например таких, как минимальные требования к гладкости функций, ограничения на входные данные задач и т. п., то для специалистов они в большинстве случаев очевидны, а для начинающего исследователя предоставляют хорошие возможности для полезных упражнений.

Девятая глава основана на материалах доклада автора на Международном математическом конгрессе в Ницце (1970 г.). Эта глава даёт некоторое представление не только о методах и проблемах вычислительной математики, рассмотренных в курсе, но и о тех направлениях, которые не вошли в книгу, но имеют существенное значение как в теоретическом плане, так и для приложений.

Часть материала книги была изложена в монографии под тем же названием, вышедшей в 197З году. Настоящее учебное пособие существенно отличается от неё. Включён ряд новых идей и алгоритмов, которые представляют методический и практический интерес, В частности, в книгу включены новые алгоритмы оптимизации на основе вариационных методов, вопросы автоматизации вычислительного процесса на основе так называемого метода «фиктивных» областей, рассмотрен итерационный алгоритм расщепления задачи в случае некоммутирующих операторов, метод неполной факторизации и др. Расширен раздел книги, посвящённый интерполяции функций с помощью сплайнов. В настоящем издании он выделен в самостоятельную главу. Также в отдельную главу выделен круг идей, связанных с экстраполяцией по Ричардсону, для решения задач с повышенной точностью. Ряд новых идей, таких, как представление непрерывных функций с помощью кусочно-разрывных базисов, построение базисов, учитывающих особенности решения задачи, и др., внесён в разделы книги, посвящённые вариационно-разностным методам. Глава, посвящённая решению обратных задач, дополнена новыми результатами по теории возмущений для решения нелинейных задач математической физики и анализу чувствительности математических моделей по отношению ко входным данным. Сделаны и другие дополнения.

Нам представляется, что этот новый материал позволит лучше представить себе средства вычислительной математики для решения сложных задач прикладной математики…

ПРЕДИСЛОВИЕ
Г. И. Марчук

Предисловие	7
Введение	9

Г Л А В А 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1.1. Основные и сопряжённые операторы	17
1.1.1. Оценки норм некоторых матриц (21). 1.1.2. Вычисление границ спектра положительной матрицы (22). 1.1.3. Собственные числа и функции оператора Лапласа (31). 1.1.4. Собственные числа и векторы конечно-разностного аналога оператора Лапласа (33).
1.2. Аппроксимация	36
1.3. Счётная устойчивость	44
1.4. Теорема сходимости	52

Г Л А В А 2
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Метод построения разностных уравнений для задач с разрывными коэффициентами на основе интегрального тождества	56
2.2. Вариационные методы в математической физике	63
2.2.1. Метод Ритца (69). 2.2.2. Метод Галёркина (72). 2.2.3. Метод наименьших квадратов (75).
2.3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами, основанные на вариационных принципах	77
2.3.1. Построение простейших разностных уравнений диффузии с помощью метода Ритца (77). 2.3.2. Построение простейших разностных схем на основе метода Галёркина (конечных элементов) (81).
2.4. Некоторые принципы конструирования подпространств для решения одномерных задач вариационными методами	83
2.4.1. Общий подход к построению вариационно-разностных схем высокого порядка точности (84). 2.4.2. Построение базиса на основе тригонометрических функций и его использование в вариационных методах (88). 2.4.3. Вариационная форма интегрального тождества (92).
2.5. Вариационно-разностные схемы для двумерного уравнения эллиптического типа	98
2.5.1. Метод Ритца (98). 2.5.2. Метод Галёркина (104). 2.5.3. Способы построения подпространств (108).
2.6. Вариационные методы для многомерных задач	111
2.6.1. Способы построения подпространств (111). 2.6.2. Покоординатные методы построения вариационно-разностных схем (113).
2.7. Метод фиктивных областей	115
2.8. Экстремальные задачи с ограничениями и вариационные неравенства	121
2.8.1. Элементы общей теории (122). 2.8.2. Примеры экстремальных задач (124). 2.8.3. Численные методы для экстремальных задач (131).

Г Л А В А 3
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

3.1. Интерполяция функций одного переменного	138
3.1.1. Интерполяция функций одного переменного с помощью кубических сплайнов (138). 3.1.2. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием (142). 3.1.3. Гладкие восполнения (144).
3.2. Интерполяция функций двух и многих переменных	146
3.3. r-гладкое приближение функций многих переменных	148
3.4. Элементы общей теории сплайнов	155

Г Л А В А 4
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

4.1. Общие понятия теории итерационных методов	162
4.2. Некоторые итерационные методы и их оптимизация	165
4.2.1. Простейший итерационный метод (165). 4.2.2. Сходимость и оптимизация стационарных итерационных методов (167). 4.2.3. Метод последовательной верхней релаксации (171). 4.2.4. Чебышёвский итерационный метод (176). 4.2.5. Сравнение скорости сходимости итерационных методов для систем разностных уравнений (185).
4.3. Нестационарные итерационные методы	188
4.3.1. Теоремы сходимости (188). 4.3.2. Метод минимальных невязок (191). 4.3.3. Метод сопряжённых градиентов (192).
4.4. Метод расщепления	198
4.4.1. Коммутативный случай (201). 4.4.2. Некоммутативный случай (206). 4.4.3. Вариационная и чебышёвская оптимизация методов расщепления (210).
4.5. Итерационные методы для систем с вырожденными матрицами	212
4.5.1. Случай совместной системы (213). 4.5.2. Случай несовместной системы (215). 4.5.3. Матричный аналог метода фиктивных областей (217).
4.6. Итерационные методы при неточных входных данных	221
4.7. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений	223
4.7.1. Быстрое преобразование Фурье (223). 4 7.2 Метод циклической редукции (228). 4.7.3. Факторизация разностных уравнений (231).

Г Л А В А 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

5.1. Разностные схемы второго порядка аппроксимации с операторами, зависящими от времени	243
5.2. Неоднородные уравнения эволюционного типа	246
5.3. Методы расщепления нестационарных задач	247
5.3.1. Метод стабилизации (248). 5.3.2. Метод предиктор-корректор (252). 5.3.3. Метод покомпонентного расщепления (256). 5.3.4. Некоторые общие замечания (261).
5.4. Многокомпонентное расщепление задач	262
5.4.1. Метод стабилизации (263). 5.4.2. Метод предиктор-корректор (264). 5.4.3. Метод покомпонентного расщепления на основе элементарных схем (266). 5.4.4. Расщепление квазилинейных задач (272).
5.5. Общий подход к покомпонентному расщеплению	273
5.6. Методы решения уравнений гиперболического типа	278
5.6.1. Метод стабилизации (278). 5.6.2. Сведение уравнения колебаний к эволюционной задаче (282).

Г Л А В А 6
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ РЕШЕНИЙ ПО РИЧАРДСОНУ

6.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка	288
6.2. Одномерное уравнение диффузии	294
6.2.1. Метод Галёркина (294). 6.2.2. Разностный метод (300).
6.3. Метод расщепления для эволюционной задачи	307
6.4. Экстраполяция Ричардсона для многомерных задач	311

Г Л А В А 7
ПОСТАНОВКА И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

7.1. Основные определения и примеры	317
7.2. Решение обратных эволюционных задач методом рядов Фурье	322
7.3. Обратная эволюционная задача с оператором, зависящим от времени	325
7.4. Постановка обратных задач на основе методов теории возмущений	331
7.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерений (332). 7.4.2. Сопряжённые функции и понятие ценности (333). 7.4.3. Теория возмущений для линейных функционалов (336). 7.4.4. Численные методы решения обратных задач и планирование эксперимента (338).
7.5 Формулировка теории возмущений для сложных нелинейных моделей	344
7.5.1 Основные и сопряжённые уравнения (345). 7.5.2. Сопряжённые уравнения и теория возмущений (347). 7.5.3. Теория возмущений для нестационарных проблем (349). 7.5.4. Спектральный метод и теория возмущений (350).

Г Л А В А 8
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

8.1. Уравнение Пуассона	352
8.1.1. Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона (352). 8.1.2. Одномерная задача Неймана (354). 8.1.3. Двумерное уравнение Пуассона (357). 8.1.4. Проблема граничных условий (365).
8.2. Уравнение теплопроводности	367
8.2.1. Одномерная задача теплопроводности (367). 8.2.2. Двумерная задача теплопроводности (372).
8.3. Уравнение колебаний	373
8.4. Уравнение движения	377
8.4.1. Одномерное уравнение движения (377). 8.4.2. Двумерное уравнение движения с переменными коэффициентами (384). 8.4.3. Многомерное уравнение движения (390).
8.5. Нестационарное уравнение переноса	395

Г Л А В А 9
ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

9.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем	410
9.2. Методы численного решения задач математической физики	413
9.3. Условно корректные задачи	419
9.4. Вычислительные методы в линейной алгебре	420
9.5. Вопросы оптимизации численных методов	424
9.6. Некоторые тенденции в развитии вычислительной математики	426

Литература	429
Предметный указатель	453
Указатель обозначений	455

Книги на ту же тему

Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах (комплект из 2 книг), Андерсон Д., Таннехилл Д., Плетчер Р., 1990
Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
Применение метода расщепления в задачах аэродинамики, Ковеня В. М., Тарнавский Г. А., Чёрный С. Г., 1990
Вычислительная математика в примерах и задачах, Копчёнова Н. В., Марон И. А., 1972
Методы вычислительной математики: Учебное пособие. — 3-е изд., перераб. и доп., Марчук Г. И., 1989
Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2-х томах (комплект из 2 книг), Бахвалов Н. С., Воеводин В. В., Дымников В. П., ред., 2005
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
Разностные схемы газовой динамики, Самарский А. А., Попов Ю. П., 1975
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
Вычислительные методы в физике, Поттер Д., 1975
Лекции по математической физике: Учебное пособие для вузов, Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В., 2004
Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики. Учебное пособие для втузов, Котляр Я. М., 1991
Вычислительные методы в математической физике, Самарский А. А., ред., 1986
Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
Численное решение задач гидромеханики, Рихтмайер Р., ред., 1977
Аддитивные схемы для задач математической физики, Самарский А. А., Вабищевич П. Н., 2001
Математическое моделирование плазмы. — 2-е изд., перераб. и доп., Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П., 1993
Сборник задач по уравнениям математической физики, Владимиров В. С., Михайлов В. П., Вашарин А. А., Каримова Х. Х., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И., 1974
Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
Математические методы в теории пограничного слоя, Олейник О. А., Самохин В. Н., 1997
Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
Методы анализа нелинейных математических моделей, Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М., 1991
Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг Л., 1974
Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
Прямые методы для разреженных матриц, Эстербю О., Златев З., 1987
Математические модели циркуляции в океане, Марчук Г. И., Кочергин В. П., Саркисян А. С., Бубнов М. А., Залесный В. Б., Климок В. И., Кордзадзе А. А., Кузин В. И., Протасов А. В., Сухоруков В. А., Цветова Е. А., Щербаков А. В., 1980

elapsed time 0.020 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему