Структурный метод (метод R-функций) — новый эффективный метод решения краевых задач для уравнений с частными производными. R-функции, введённые В. Л. Рвачевым в 1963 г., не являются специальными функциями наподобие, например, функций Бесселя или Матье, а образуют множество, пересекающееся с множеством обычных элементарных функций и «достаточно хорошо» представленное в нём. Это обстоятельство позволяет при использовании R-функций не выходить за рамки обычно применяемых средств написания формул, легко производить различные вычислительные и аналитические операции, выполнять дифференцирование и т. п.

Характерной особенностью R-функций является то, что каждой из них соответствует определённая функция двузначной логики — булева функция (в общем случае, функция k-значной логики). Это позволяет в классическом непрерывном анализе использовать современные методы алгебры логики и на этой основе добиться новых результатов в ряде вопросов и, прежде всего, в решении задач расчёта физических полей в телах сложной геометрической формы.

В постановке каждой краевой задачи для уравнений с частными производными наряду с информацией аналитического характера о виде уравнений и краевых условий имеем также геометрическую информацию о форме тел, в которых определяется поле, форме площадок их контактного взаимодействия, расположении и форме возбудителей поля и т. д. Геометрическая информация влияет на картину поля, поэтому всякий метод решения краевой задачи должен предусматривать включение этой информации в разрешающий алгоритм.

В таких методах, как методы разделения переменных и интегральных преобразований учёт информации о форме областей осуществляется за счёт удачного выбора систем координат; в методе конформных отображений — при построении отображающих функций; в вариационных методах — при построении координатных («пробных») функций; в методах сеточного типа — при составлении уравнений для узлов, близких к границе и т. д. (Метод конечных элементов, получивших развитие в последние годы, по существу возник в связи со стремлением возможно точно учесть геометрию областей.)

Названные выше методы могут применяться в различных сочетаниях друг с другом (вариационно-разностный метод, метод Л. В. Канторовича и др.), однако каждый из них является по существу независимым методом, предназначенным для решения краевой задачи от начала до конца.

В отличие от этого в методе R-функций предполагается обязательное подключение одного из перечисленных методов (или какого-то их аналога), и он является для него своего рода «усиливающим блоком», позволяющим на аналитическом уровне точно учесть содержащуюся в постановке краевой задачи геометрическую информацию. Точнее, оказывается возможным строить такие формулы, которые при любом выборе неопределённых компонент точно удовлетворяют всем краевым условиям. В то же время обеспечивается условие полноты, состоящее в принципиальной возможности такого выбора неопределённых компонент, который приводил бы к точному решению краевой задачи или, по крайней мере, к достаточно хорошему его приближению. При этом возможен учёт различного рода априорной информации об искомом решении, которую частично можно извлечь из известных точных решений сходных (модельных) задач. Это приводит к повышению «качества» структурных формул. (Главная тенденция в развитии структурного метода как раз и состоит в том, чтобы сводить задачи расчёта полей к отысканию неопределённых функций с более регулярным поведением.)

Значительное место в работе уделено регионально-структурному методу, который в некотором смысле является таким же развитием метода R-функций, как метод конечных элементов — методов сеточного типа. Рассмотрены также некоторые подходы, сочетающие в себе конструктивные возможности структурного и регионально-структурного методов с интегральными преобразованиями и методом Фурье.

Почти все рассмотренные задачи относятся к расчёту температурных полей, однако излагаемые методы применимы и для задач электродинамики, гидродинамики, теории упругости и других научных направлений, где изучаются физические поля. Подавляющее большинство задач доведено до численных результатов. Большое внимание уделено сравнению найденных результатов с точными (для тестовых задач) или приближёнными решениями, полученными иными методами. Кроме того, подбор задач осуществлялся таким образом, чтобы не только проиллюстрировать возможности предлагаемых подходов, но и дать полезные рекомендации для инженерной практики…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Интегральные уравнения. — 2-е изд., испр., Привалов И. И., 1937
2. Метод граничных интегральных уравнений: Вычислительные аспекты и приложения в механике, Круз Т., Риццо Ф., ред., 1978
3. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
4. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, Литвинчук Г. С., 1977
5. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учебное пособие, Дмитриев В. И., Захаров Е. В., 1987
6. Методы граничных элементов в прикладных науках, Бенерджи П. К., Баттерфилд Р., 1984
7. Численные методы решения задач со свободной границей, Вабищевич П. Н., 1987
8. Лекции об уравнениях с частными производными. — 3-е изд., доп., Петровский И. Г., 1961
9. Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
10. Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
11. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
12. Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
13. Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
14. Уравнения в частных производных математической физики. Учебное пособие для мех.-мат. факультетов университетов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., 1970
15. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962
16. Метод сингулярных интегральных уравнений, Джураев А. Д., 1987
17. Уравнения математической физики. — 4-е изд., испр., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1972
18. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
19. Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
20. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
21. Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
22. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
23. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — 2-е изд., доп., Диткин В. А., Прудников А. П., 1974
24. Таблицы интегральных преобразований. Том II. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1970
25. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Митчелл Э., Уэйт Р., 1981
26. Методы нестационарной теплопроводности: Учебное пособие для вузов, Беляев Н. М., Рядно А. А., 1978
27. Методы решения нелинейных задач теплопроводности, Коздоба Л. А., 1975
28. Решение краевых задач методом Монте-Карло, Елепов Б. С., Кронберг А. А., Михайлов Г. А., Сабельфельд К. К., 1980
29. Методы Монте-Карло в краевых задачах, Сабельфельд К. К., 1989