В книге исследуются асимптотические методы решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих большой параметр, в комплексной плоскости. Это — первая в мировой литературе монография, посвящённая специально этим вопросам. Подробно изложен метод, который физики называют методом Цваана. В книге рассматривается в основном одномерное уравнение Шредингера. В дополнении В. Маслова рассматривается многомерный случай. Асимптотические методы применяются к задаче на собственные значения и к задаче о рассеянии.

Книга представляет интерес для математиков, специализирующихся в области дифференциальных уравнений, и для физиков-теоретиков. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов, пединститутов и инженерно-физических вузов.

Многие задачи математики и физики сводятся к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих большой параметр. Основным толчком к построению систематической асимптотической теории таких уравнений послужило развитие квантовой механики.

Книга английского математика Дж. Хединга посвящена некоторым аспектам этой теории. Метод, который излагает Дж. Хединг, носит название метода фазовых интегралов; в русской литературе для него приняты термины «метод ВКБ» или «квазиклассическое приближение».

Хорошо известно, что в разных областях изменения аргумента одно и то же решение дифференциального уравнения может иметь различные асимптотические представления (явление Стокса). Основная трудность заключается не в получении асимптотических формул для различных решений, а в получении асимптотических формул для одного и того же решения, но в разных областях изменения переменной. Для решения этой задачи в случае уравнения второго порядка в настоящей книге построен некоторый алгоритм.

Книга Дж. Хединга является первой в мировой литературе попыткой систематически изложить метод ВКБ и, как всякая первая попытка, не лишена некоторых недостатков. По замыслу автора, книга предназначена в первую очередь для физиков-теоретиков, однако она представляет большой интерес и для математиков, занимающихся дифференциальными уравнениями.

Книга печатается с некоторыми сокращениями, относящимися в основном к гл. I; в нескольких местах опущены подробности элементарных выкладок. В русское издание включены два дополнения. Первое из них, написанное переводчиком, содержит краткий обзор асимптотических методов для дифференциальных уравнений высших порядков. Второе дополнение, написанное редактором перевода, излагает другой подход к асимптотическим оценкам, позволяющий обобщить асимптотические формулы на многомерный случай.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
В. П. Маслов,
М. В. Федорюк
Москва, 1965 г.

Книги на ту же тему

1. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
2. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Вазов В., 1968
3. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
4. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Маслов В. П., Федорюк М. В., 1976
5. Приближённые методы квантовой механики, Мигдал А. Б., Крайнов В. П., 1966
6. Квазиклассическое приближение в квантовой механике, Толмачёв В. В., 1980
7. Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
8. Асимптотические разложения, Копсон Э. Т., 1966
9. Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
10. Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
11. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — 3-е изд., испр. и доп., Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., 1963
12. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
13. Потенциальное рассеяние, де Альфаро В., Редже Т., 1966
14. Лагранжев анализ и квантовая механика: Математическая структура, связанная с асимптотическими разложениями и индексом Маслова, Лере Ж., 1981
15. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах, Нефёдов Е. И., Фиалковский А. Т., 1972