Математика

Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб.

Мусхелишвили Н. И.

год издания — 1962, кол-во страниц — 600, тираж — 8500, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б суперобл., масса книги — 870 гр., издательство — Физматлит

цена: 2000.00 руб

Сохранность книги — хорошая

Формат 60x90 1/16

Монография академика Н. И. Мусхелишвили систематически знакомит читателя с математическим аппаратом интегралов типа Коши и сингулярных интегральных уравнений, в разработке которого автор и его ученики принимали активное участие. Значительная часть книги посвящена приложениям этого аппарата к решению многочисленных задач теории потенциала, теории упругости и других разделов математической физики.

Второе издание полностью переработано как в направлении коренной переделки изложения, так и в направлении внесения того нового, что появилось со времени выхода в свет первого издания.

Рассчитана книга на аспирантов и студентов старших курсов физико-математических факультетов, а также на инженеров-исследователей.

В настоящем издании текст первого издания (1946 г.) подвергся весьма существенной переработке, однако общий характер книги остался прежним. Большая часть книги фактически написана заново.

Результаты, изложенные в § 26 главы I, почти непосредственно вытекающие из результатов §§ 22—25, имевшихся в главной своей части и в первом издании, позволили придать содержанию глав IV и V значительно большую общность и цельность, без заметного усложнения изложения. Таким же обобщениям, имеющим целью придать содержанию книги большую цельность, подверглись многие другие результаты.

Существенной переработке подверглась глава VI, в которой совершенно изменён метод решения граничной задачи сопряжения для систем функций: в первом издании был в основном применен метод И. Племеля, опирающийся на теорию интегральных уравнений Фредгольма, здесь же применяется метод, опирающийся на теорию сингулярных интегральных уравнений, гораздо проще приводящий к цели.

Из настоящего издания изъяты некоторые приложения к плоской теории упругости (отдел IV главы IV первого издания), которые я счёл целесообразным перенести в третье издание (1949 г.) другой моей книги «Некоторые основные задачи математической теории упругости» (четвёртое издание вышло в 1954 г.). Однако взамен приведены (в отделе IV главы V) некоторые другие приложения к теории упругости менее элементарного характера.

Со времени выхода первого издания настоящей книги и английского её перевода, выполненного И. Р. М. Радоком (Гронинген, 1953 г.), появилось большое число работ, тесно связанных с изложенными в этой книге результатами. Несмотря на то, что многие из этих работ представляют значительный интерес, они, за редкими исключениями, не повлияли на содержание настоящего издания, так как изложение соответствующих результатов вывело бы нас далеко за намеченные рамки книги и нарушило бы относительно элементарный её характер.

Однако я постарался привести краткие указания относительно всех более или менее важных новых результатов, полученных другими авторами. Неоценимую для меня помощь в этом направлении оказали мне мои коллеги Н. П. Векуа, Г. Ф. Манджавидзе и Б. В. Хведелидзе, особенно последний, который, кроме того, прочёл всю рукопись и сделал ряд ценных замечаний. Приношу названным лицам самую глубокую благодарность.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Н. Мусхелишвили
Тбилиси, апрель 1960 г.

Эта книга рассчитана на довольно широкий круг читателей, в частности на интересующихся приложениями к теории упругости, гидромеханике и к другим разделам математической физики. Книга доступна для лиц, знакомых с основами теории функций комплексного переменного и теории интегральных уравнений Фредгольма. Для облегчения чтения книги я выделял формулировки предложений, ход доказательства которых не представляет существенного самостоятельного интереса, так, чтобы доказательства можно было опускать без ущерба для понимания сущности дела. Кроме того, там, где это было возможно, главы и их отделы, посвящённые различным приложениям, сделаны независимыми друг от друга. Изложенные в этой книге методы могут быть, как я надеюсь, эффективно использованы для решения многих задач прикладного характера. Некоторые простейшие приложения к теории потенциала, теории упругости и гидромеханике даны в самой книге.

Толчком к написанию книги послужили мои доклады на семинаре в Тбилисском математическом институте в 1940—1942 гг. Под влиянием ряда результатов, полученных участниками семинара, и главным образом благодаря прекрасным работам И. Н. Векуа, круг вопросов, которыми я предполагал заняться, существенно изменился, и я могу с большим и вполне понятным удовлетворением отметить, что большую часть содержания этой книги следует рассматривать как результат коллективной работы молодых сотрудников Тбилисского математического института Академии наук Грузинской ССР, вместе с И. Н. Векуа и со мной.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Н. Мусхелишвили
Тбилиси, осень 1944 г.

Предисловие ко второму изданию	9
Из предисловия к первому изданию	10
Введение	11

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ

I. Некоторые определения и вспомогательные предложения

§ 1. Гладкие и кусочно-гладкие линии	14
§ 2. Некоторые свойства гладких линий	18
§ 3. Условие H (условие Гельдера)	20
§ 4. Функции класса H на гладкой линии	22
§ 5. Простейшие признаки принадлежности классу H функций, заданных
на гладких линиях	23
§ 6. Продолжение	28
§ 7. Продолжение	31
§ 8. Функции классов H, H₀, H_ε, H, заданные на кусочно-гладких линиях	36
§ 9. О граничных значениях непрерывных функций	38
§ 10. Кусочно-голоморфные функции	42

II. Интегралы типа Коши

§ 11. Определение интеграла типа Коши	45
§ 12. Связь с логарифмическим потенциалом	47
§ 13. Значение интеграла типа Коши на линии интегрирования	50
§ 14. Касательная производная потенциала простого слоя	56
§ 15. Граничные значения интеграла типа Коши	59
§ 16. Формулы Сохоцкого-Племеля	66
§ 17. Обобщение формулы для разности граничных значений	67
§ 18. Характер непрерывности граничных значений	69
§ 19. Об интегралах типа Коши по бесконечной прямой	76
§ 20. О поведении производной интеграла типа Коши вблизи линии
интегрирования	83
§ 21. О поведении интеграла типа Коши вблизи линии интегрирования	85
§ 22. О поведении интеграла типа Коши вблизи концов линии
интегрирования	89
§ 23. Продолжение. Некоторые вспомогательные оценки	95
§ 24. Продолжение. Доказательство предложения II	98
§ 25. Продолжение. Доказательство предложений IV и VI	99
§ 26. О поведении интеграла типа Коши вблизи узлов кусочно-гладкой
линии интегрирования	107
§ 27. Краткие сведения относительно некоторых обобщений	119

III. Некоторые непосредственные приложения

§ 28. Формула перестановки Пуанкаре-Бертрана	122
§ 29. Условие аналитической распространимости функции, заданной на
совокупности замкнутых контуров	129
§ 30. Обобщённая теорема Гарнака	134
§ 31. Определение кусочно-голоморфной функции по заданному скачку	135
§ 32. Обращение интеграла типа Коши в случае замкнутых контуров	138
§ 33. Формулы обращения Гильберта	141

ГЛАВА ВТОРАЯ
ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ ГЛАДКИХ ЗАМКНУТЫХ КОНТУРОВ И
НЕПРЕРЫВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

I. Задача сопряжения в случае гладких замкнутых контуров
и непрерывного коэффициента

§ 34. Однородная задача сопряжения	146
§ 35. Решение однородной задачи сопряжения	148
§ 36. Союзные однородные задачи сопряжения	160
§ 37. Неоднородная задача сопряжения	160
§ 38. Задачи сопряжения для случая, когда граничная линия — прямая	163

II. Задача Римана-Гильберта

§ 39. О распространении на всю плоскость аналитических функций,
заданных на круге или на полуплоскости	168
§ 40. Задача Римана-Гильберта	174
§ 41. Решение задачи Римана-Гильберта для круга	175
§ 42. Задача Римана-Гильберта для полуплоскости	183
§ 43. Приведение общего случая к случаю круговой области	187

III. Сингулярные интегральные уравнения в случае гладких
замкнутых контуров и непрерывных коэффициентов

§ 44. Сингулярные операторы и сингулярные уравнения	189
§ 45. Основные свойства сингулярных операторов	194
§ 46. Союзные операторы и союзные уравнения	199
§ 47. Решение характеристического уравнения	200
§ 48. Решение уравнения, союзного с характеристическим	205
§ 49. Некоторые замечания общего характера	207
§ 50. О регуляризации сингулярного интегрального уравнения	211
§ 51. О характере непрерывности решений уравнения Фредгольма	212
§ 52. О резольвенте уравнения Фредгольма	216
§ 53. Основные теоремы	219
§ 54. Случай действительного уравнения	226
§ 55. Теорема эквивалентности И. Н. Векуа и новое доказательство
основных теорем	229
§ 56. Сопоставление сингулярного уравнения с фредгольмовым.
Квазифредгольмово сингулярное уравнение. Приведение к
каноническому виду	232
§ 57. Метод регуляризации Т. Карлемана — И. Н. Векуа	236
§ 58. Введение параметра λ	239
§ 59. Краткие указания относительно некоторых других результатов	241

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕКОТОРЫМ ГРАНИЧНЫМ ЗАДАЧАМ

I. Задача Дирихле

§ 60. Постановка задачи Дирихле и видоизмененной задачи Дирихле.
Теоремы единственности	245
§ 61. Решение видоизменённой задачи Дирихле при помощи потенциала
двойного слоя	249
§ 62. Некоторые следствия	254
§ 63. Решение задачи Дирихле	255
§ 64. Решение видоизменённой задачи Дирихле видоизменённым
потенциалом простого слоя	258
§ 65. Решение задачи Дирихле потенциалом простого слоя. Основная
задача электростатики	262

II. Различные представления голоморфных функций
интегралами типа Коши и аналогичными

§ 66. Общие замечания	269
§ 67. Представление интегралом типа Коши с действительной или чисто
мнимой плотностью	271
§ 68. Представление интегралом типа Коши с плотностью вида (a + ib)μ	273
§ 69. Интегральное представление И. Н. Векуа	274

III. Решения обобщённой задачи Римана-Гильберта-Пуанкаре

§ 70. Предварительные замечания	285
§ 71. Обобщённая задача Римана-Гильберта-Пуанкаре (задача V).
Приведение к интегральному уравнению	285
§ 72. Исследование вопроса разрешимости задачи V	290
§ 73. Признаки разрешимости задачи V	295
§ 74. Задача Пуанкаре (задача Р)	298
§ 75. Примеры	302
§ 76. Некоторые обобщения и приложения	306

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ
ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

I. Задача сопряжения в общем случае

§ 77. Термины и обозначения	310
§ 78. Однородная задача сопряжения в общем случае	311
§ 79. Союзные однородные задачи сопряжения. Союзные классы	318
§ 80. Неоднородная задача сопряжения в общем случае	319
§ 81. О некоторых работах, связанных с задачей сопряжения	322
§ 82. Понятие класса h функции, заданной на L. Некоторые
обобщения	326
§ 83. Важнейшие частные случаи. Случай бесконечной прямолинейной
границы	327
§ 84. Один приём, облегчающий построение канонических функций	336

II. Задача обращения интегралов типа Коши в общем случае

§ 85. Решение задачи Φ⁺ + Φ^- = g в случае прерывистой гладкой
граничной линии	338
§ 86. Обращение интеграла типа Коши в случае гладкой прерывистой
линии интегрирования	341
§ 87. Некоторые видоизменения задачи обращения в случае гладкой
прерывистой линии интегрирования	344
§ 88. Продолжение	349
§ 89. Решение задачи Φ⁺ + Φ^- = g в общем случае	352
§ 90. Обращение интеграла типа Коши в общем случае	357

III. Эффективное решение основных граничных задач теории
гармонических функций для некоторых областей

§ 91. Задача Дирихле и аналогичные для плоскости со щелями,
расположенными вдоль прямой	360
§ 92. Задача Дирихле и аналогичные для плоскости со щелями,
расположенными вдоль окружности	371
§ 93. Задача Римана-Гильберта при разрывных коэффициентах	371
§ 94. Частный случай: смешанная задача теории голоморфных функций	378
§ 95. Смешанная задача для полуплоскости. Формула М. В. Келдыша
и Л. И. Седова	382

ГЛАВА ПЯТАЯ
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

I. Сингулярные интегральные уравнения в общем случае

§ 96. Определения, обозначения и термины	387
§ 97. Решение характеристического уравнения	391
§ 98. Решение уравнения, союзного с характеристическим	395
§ 99. Регуляризация сингулярного уравнения Kφ=f	399
§ 100. Регуляризация сингулярного уравнения K'ψ=g	401
§ 101. Исследование уравнений, полученных в результате регуляризации	402
§ 102. Решение уравнений Kφ=f и K'ψ=g. Основные теоремы	411
§ 103. Важнейшие частные случаи	418
§ 104. Приложение к характеристическому уравнению первого рода	422
§ 105. Регуляризация и решение уравнения первого рода	423
§ 106. О другом способе исследования сингулярных уравнений	425

II. Приложение к задаче Дирихле и аналогичным задачам

§ 107. Задача Дирихле и аналогичные для плоскости, разрезанной вдоль
дуги произвольной формы	427
§ 108. Приведение к уравнению Фредгольма. Примеры	434
§ 109. Задача Дирихле для плоскости, разрезанной вдоль конечного
числа дуг произвольной формы	438

III. Сингулярные интегральные уравнения, содержащие
комплексно сопряжённые неизвестные

§ 110. О системе уравнений Фредгольма	441
§ 111. Об одном интегральном уравнении типа Фредгольма	448
§ 112. Сингулярное интегральное уравнение, содержащее вместе с
неизвестной функцией и её сопряжённую вне характеристической
части	459

IV. Приложение к некоторым смешанным задачам
теории упругости

§ 113. Решение основной смешанной задачи плоской теории упругости	467
§ 114. Решение одной основной смешанной задачи изгиба пластинки	478
§ 115. Некоторые оценки	488

V. Краткие сведения относительно некоторых других результатов

§ 116. О расширении классов допустимых функций	494
§ 117. О некоторых сингулярных интегро-дифференциальных уравнениях	498

ГЛАВА ШЕСТАЯ
СИСТЕМЫ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ
ФУНКЦИЙ

I. Системы сингулярных интегральных уравнений

§ 118. Некоторые обозначения и термины	503
§ 119. Основные определения и вспомогательные предложения	505
§ 120. Регуляризация системы сингулярных уравнений. Основные
теоремы	509

II. Задача сопряжения для нескольких неизвестных функций

§ 121. Вспомогательные предложения	511
§ 122. Однородная задача сопряжения	512
§ 123. Приведение к системе сингулярных уравнений	514
§ 124. Некоторые свойства решений однородной задачи сопряжения	516
§ 125. Фундаментальная система решений	518
§ 126. Нормальная и каноническая системы решений	520
§ 127. Индексы однородной задачи сопряжения	526
§ 128. Общее решение однородной задачи сопряжения	528
§ 129. Некоторые дополнительные замечания относительно решения
однородной задачи сопряжения	530
§ 130. Связь между каноническими системами. Инвариантность частных
индексов	533
§ 131. Союзные однородные задачи сопряжения	535
§ 132. Неоднородная задача сопряжения	539
§ 133. О решении задачи сопряжения методом последовательных
приближений	542

III. Приложение к исследованию систем
сингулярных интегральных уравнений

§ 134. Приложение к исследованию характеристической системы
сингулярных интегральных уравнении	548
§ 135. Исследование системы, союзной с характеристической	552
§ 136. О применении решения задачи сопряжения к регуляризации
систем сингулярных уравнений	554
§ 137. Краткие указания относительно некоторых обобщений и
приложений	555

Д о б а в л е н и е I. О гладких и кусочно-гладких линиях	559
Д о б а в л е н и е II. О поведении интеграла типа Коши вблизи угловых
точек	562
Д о б а в л е н и е III. Одно элементарное предложение относительно
биортогональных систем функций	567
Д о б а в л е н и е IV. О граничных задачах сопряжения со смещением	571
Д о б а в л е н и е V. Некоторые дополнительные указания на литературу	581

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

A. Русский алфавит	583
B. Латинский алфавит	595

Книги на ту же тему

Интегральные уравнения. — 2-е изд., испр., Привалов И. И., 1937
Метод граничных интегральных уравнений: Вычислительные аспекты и приложения в механике, Круз Т., Риццо Ф., ред., 1978
Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, Литвинчук Г. С., 1977
Метод сингулярных интегральных уравнений, Джураев А. Д., 1987
Интегральные уравнения, Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я., 1968
Интегральные уравнения (Введение в теорию), Краснов М. Л., 1975
Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учебное пособие, Дмитриев В. И., Захаров Е. В., 1987
Методы граничных элементов в прикладных науках, Бенерджи П. К., Баттерфилд Р., 1984
Математические методы двумерной упругости, Каландия А. И., 1973
Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб. — 5-е изд., испр. и доп., Мусхелишвили Н. И., 1966
Элементы наследственной механики твёрдых тел, Работнов Ю. Н., 1977
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Обобщённые функции в математической физике, Владимиров В. С., 1976
Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Уравнения в частных производных математической физики. Учебное пособие для мех.-мат. факультетов университетов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., 1970
Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962
Сборник задач по математике для втузов: Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. — 2-е изд., перераб., Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н., Каракулин А. Ф., Лесин В. В., Поспелов А. С., Терещенко А. М., 1990
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учебное пособие для вузов, Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В., 2005
Уравнения в частных производных дробного порядка, Псху А. В., 2005
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971

http://knigoprovod.ru

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему