В книге излагаются вопросы асимптотического распределения собственных значений самосопряжённых сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов. Книга состоит из 10 глав. В главе I даются общие определения и основные понятия теории линейных дифференциальных операторов. В главе II изучается оператор Штурма-Лиувилля как на конечном интервале, так и на бесконечном. Глава III посвящена изложению общих понятий спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве. Основное содержание составляют главы IV—IX. В них излагаются вопросы асимптотического распределения собственных значений оператора Штурма-Лиувилля, одномерного оператора Дирака, а также дифференциальных операторов произвольного порядка как в полуограниченном, так и в неполуограниченном случаях. Основными методами исследования являются классический метод Карлемана и его развитие, принадлежащее авторам, а также вариационный метод, применяемый в книге для системы Дирака в главе VII. Книга завершается главой X, в которой излагаются необходимые тауберовы теоремы типа М. В. Келдыша.

Библ. — 565

Спектральная теория операторов находит многочисленные применения в различных областях математики и её приложений. Дифференциальные уравнения и многие разделы теории функций стимулировали развитие спектральной теории. Громадное влияние на спектральную теорию всегда оказывали такие науки, как квантовая механика и механика сплошных сред.

В свою очередь спектральная теория внесла также много нового в развитие этих наук.

Важным разделом спектральной теории дифференциальных операторов является распределение их собственных значений. Этот классический вопрос был изучен для оператора второго порядка на конечном интервале ещё в начале прошлого столетия Лиувиллем и Штурмом. Впоследствии Г. Биркгоф изучил распределение собственных значений для обыкновенного дифференциального оператора произвольного порядка на конечном интервале с регулярными краевыми условиями.

Для квантовой механики особенно интересно распределение собственных значений операторов, заданных во всём пространстве и имеющих дискретный спектр. Ч. Титчмарш был первым, кто строго установил формулу распределения числа собственных значений для одномерного оператора Штурма-Лиувилля на всей оси с потенциалом, растущим на бесконечности. Он же первый строго установил формулу распределения и для оператора Шредингера. Б. М. Левитану принадлежит большая заслуга в усовершенствовании метода Ч. Титчмарша.

Наметилось два основных метода исследования асимптотики числа собственных значений. Первый метод — вариационный и восходит к Р. Куранту. В последние годы он был существенно развит М. Ш. Бирманом и его учениками. Второй метод принадлежит Т. Карлеману и связан с изучением резольвенты рассматриваемого оператора или другой функции от него с последующим неизбежным использованием тауберовых теорем. При этом следует отметить, что тауберовы условия накладывали некоторые ограничения на потенциалы оператора. Попытки расширить эти условия привели к существенному развитию самих тауберовых теорем.

Метод Т. Карлемана всё время «конкурирует» с вариационным. Каждый из них имеет свои преимущества. Главным преимуществом вариационного метода в настоящее время является то, что он «нечувствителен» к наличию непрерывного спектра. Именно поэтому он и применяется в книге в главе VII. Одним из преимуществ карлемановского метода является то, что он может с успехом действовать в неполуограниченном случае при наличии индексов дефекта, что недоступно вариационному методу.

Из других методов исследования асимптотики распределения собственных значений в сингулярном случае отметим метод М. В. Федорюка, который успешно применяется в случае, когда коэффициенты оператора являются аналитическими функциями.

К настоящему времени по обсуждаемой теме имеются обзоры К. Кларка и М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка, посвящённые в основном распределению собственных значений операторов с частными производными. Они содержат весьма исчерпывающую библиографию, насчитывающую около 500 работ как советских, так и зарубежных математиков. Хотя в различных книгах по спектральной теории дифференциальных операторов и обсуждаются отдельные вопросы, связанные с распределением собственных значений тех или иных операторов, но в мировой математической литературе не существует монографии, посвящённой систематическому изложению обсуждаемого вопроса.

При написании настоящей монографии перед авторами стояла трудная задача выбора материала. В одной книге сравнительно небольшого объёма не представляется возможным изложить с достаточной полнотой асимптотическое распределение собственных значений дифференциальных операторов как в обыкновенных, так и в частных производных. По той же причине в книге не могут быть рассмотрены такие важные вопросы, как квазиклассическая асимптотика спектра, хотя в последние годы в этой области были получены существенные результаты, некоторые из которых изложены в монографии В. П. Маслова и М. В. Федорюка.

Авторы решили сосредоточить свое внимание только на самосопряжённых обыкновенных дифференциальных операторах и включить при этом самые последние достижения в этой области.

При подборе материалов, конечно, немалую роль играли и личные научные интересы авторов.

Из десяти глав книги обсуждаемой тематике посвящены главы IV—X. Первые три главы являются вводными и включены в книгу с целью расширения круга читателей. Читатели, знакомые с элементами спектральной теории операторов, могут без ущерба для дальнейшего понимания их пропустить.

В главах V, VI, VIII и IX результаты получены с помощью метода Т. Карлемана, развитого авторами. В главе VII, написанной по просьбе авторов М. Отелбаевым, применяется вариационный метод. В главе X излагаются необходимые тауберовы теоремы типа М. В. Келдыша. В конце книги приводится достаточно полная библиография по обсуждаемой тематике.

М. В. Федорюк внимательно прочитал всю рукопись и сделал ряд ценных замечаний, которые были учтены.

Авторы выражают благодарность М. В. Федорюку и М. Отелбаеву.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Л. Костюченко, И. Саргсян
Москва
Декабрь, 1978 г.

Книги на ту же тему

1. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
2. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
4. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк М. В., 1980
5. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 5-е изд., доп., Петровский И. Г., 1964
6. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями), Коллатц Л., 1968
7. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., испр., Камке Э., 1971
8. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
9. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
10. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
11. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
12. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 3-е изд., стереотип., Понтрягин Л. С., 1970
13. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
14. Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
15. Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
16. Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
17. Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
18. Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд., исправл., Петровский И. Г., 1965
19. Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
20. Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
21. Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
22. Квантовая механика. — Изд. 2-е перераб., Давыдов А. С., 1973
23. Квантовая механика, Бете Г., 1965
24. Квантовая механика (конспект лекций), Ферми Э., 1968
25. Методы квантовой теории поля в статистической физике, Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., 1962
26. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Нахушева В. А., 2006
27. Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010