В книге излагаются вопросы асимптотического распределения собственных значений самосопряжённых сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов. Книга состоит из 10 глав. В главе I даются общие определения и основные понятия теории линейных дифференциальных операторов. В главе II изучается оператор Штурма-Лиувилля как на конечном интервале, так и на бесконечном. Глава III посвящена изложению общих понятий спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве. Основное содержание составляют главы IV—IX. В них излагаются вопросы асимптотического распределения собственных значений оператора Штурма-Лиувилля, одномерного оператора Дирака, а также дифференциальных операторов произвольного порядка как в полуограниченном, так и в неполуограниченном случаях. Основными методами исследования являются классический метод Карлемана и его развитие, принадлежащее авторам, а также вариационный метод, применяемый в книге для системы Дирака в главе VII. Книга завершается главой X, в которой излагаются необходимые тауберовы теоремы типа М. В. Келдыша.

Библ. — 565

Спектральная теория операторов находит многочисленные применения в различных областях математики и её приложений. Дифференциальные уравнения и многие разделы теории функций стимулировали развитие спектральной теории. Громадное влияние на спектральную теорию всегда оказывали такие науки, как квантовая механика и механика сплошных сред.

В свою очередь спектральная теория внесла также много нового в развитие этих наук.

Важным разделом спектральной теории дифференциальных операторов является распределение их собственных значений. Этот классический вопрос был изучен для оператора второго порядка на конечном интервале ещё в начале прошлого столетия Лиувиллем и Штурмом. Впоследствии Г. Биркгоф изучил распределение собственных значений для обыкновенного дифференциального оператора произвольного порядка на конечном интервале с регулярными краевыми условиями.

Для квантовой механики особенно интересно распределение собственных значений операторов, заданных во всём пространстве и имеющих дискретный спектр. Ч. Титчмарш был первым, кто строго установил формулу распределения числа собственных значений для одномерного оператора Штурма-Лиувилля на всей оси с потенциалом, растущим на бесконечности. Он же первый строго установил формулу распределения и для оператора Шредингера. Б. М. Левитану принадлежит большая заслуга в усовершенствовании метода Ч. Титчмарша.

Наметилось два основных метода исследования асимптотики числа собственных значений. Первый метод — вариационный и восходит к Р. Куранту. В последние годы он был существенно развит М. Ш. Бирманом и его учениками. Второй метод принадлежит Т. Карлеману и связан с изучением резольвенты рассматриваемого оператора или другой функции от него с последующим неизбежным использованием тауберовых теорем. При этом следует отметить, что тауберовы условия накладывали некоторые ограничения на потенциалы оператора. Попытки расширить эти условия привели к существенному развитию самих тауберовых теорем.

Метод Т. Карлемана всё время «конкурирует» с вариационным. Каждый из них имеет свои преимущества. Главным преимуществом вариационного метода в настоящее время является то, что он «нечувствителен» к наличию непрерывного спектра. Именно поэтому он и применяется в книге в главе VII. Одним из преимуществ карлемановского метода является то, что он может с успехом действовать в неполуограниченном случае при наличии индексов дефекта, что недоступно вариационному методу.

Из других методов исследования асимптотики распределения собственных значений в сингулярном случае отметим метод М. В. Федорюка, который успешно применяется в случае, когда коэффициенты оператора являются аналитическими функциями.

К настоящему времени по обсуждаемой теме имеются обзоры К. Кларка и М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка, посвящённые в основном распределению собственных значений операторов с частными производными. Они содержат весьма исчерпывающую библиографию, насчитывающую около 500 работ как советских, так и зарубежных математиков. Хотя в различных книгах по спектральной теории дифференциальных операторов и обсуждаются отдельные вопросы, связанные с распределением собственных значений тех или иных операторов, но в мировой математической литературе не существует монографии, посвящённой систематическому изложению обсуждаемого вопроса.

При написании настоящей монографии перед авторами стояла трудная задача выбора материала. В одной книге сравнительно небольшого объёма не представляется возможным изложить с достаточной полнотой асимптотическое распределение собственных значений дифференциальных операторов как в обыкновенных, так и в частных производных. По той же причине в книге не могут быть рассмотрены такие важные вопросы, как квазиклассическая асимптотика спектра, хотя в последние годы в этой области были получены существенные результаты, некоторые из которых изложены в монографии В. П. Маслова и М. В. Федорюка.

Авторы решили сосредоточить свое внимание только на самосопряжённых обыкновенных дифференциальных операторах и включить при этом самые последние достижения в этой области.

При подборе материалов, конечно, немалую роль играли и личные научные интересы авторов.

Из десяти глав книги обсуждаемой тематике посвящены главы IV—X. Первые три главы являются вводными и включены в книгу с целью расширения круга читателей. Читатели, знакомые с элементами спектральной теории операторов, могут без ущерба для дальнейшего понимания их пропустить.

В главах V, VI, VIII и IX результаты получены с помощью метода Т. Карлемана, развитого авторами. В главе VII, написанной по просьбе авторов М. Отелбаевым, применяется вариационный метод. В главе X излагаются необходимые тауберовы теоремы типа М. В. Келдыша. В конце книги приводится достаточно полная библиография по обсуждаемой тематике.

М. В. Федорюк внимательно прочитал всю рукопись и сделал ряд ценных замечаний, которые были учтены.

Авторы выражают благодарность М. В. Федорюку и М. Отелбаеву.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Л. Костюченко, И. Саргсян
Москва
Декабрь, 1978 г.

Предисловие	3

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ОСНОВНЫЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ	7

§ 1. Определение и основные свойства линейного дифференциального
оператора	7
§ 2. Собственные значения и собственные функции дифференциального
оператора	19
§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора	25

ГЛАВА II. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ	42

§ 1. Существование и асимптотика собственных значений	42
§ 2. Разложение по собственным функциям	56
§ 3. Доказательство равенства Парсеваля на полупрямой	64
§ 4. Круг и точка Вейля	72
§ 5. Дискретный спектр	82

ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ ГИЛЬБЕРТА	88

§ 1. Абстрактное гильбертово пространство	88
§ 2. Линейные функционалы и ограниченные линейные операторы	93
§ 3. Некоторые общие понятия теории линейных операторов	97
§ 4. Спектральный анализ самосопряжённых операторов	100
§ 5. Расширения симметрических операторов	106
§ 6. Достаточное условие самосопряжённости оператора Штурма-Лиувилля	113
§ 7. Самосопряжённость системы Дирака	120

ГЛАВА IV. ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ	123

§ 1. Интегральное уравнение для функции Грина	123
§ 2. Первая производная функции G(x, η; μ) по η	132
§ 3. Вторая производная функции G(x, η; μ) по η	135
§ 4. Дальнейшие свойства функции G(x, η; μ)	139
§ 5. Дифференцирование функции Грина по μ	143
§ 6. Асимптотическое распределение собственных значений	150
§ 7. Обсуждение классической формулы и контрпримеры	159

ГЛАВА V. НЕПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ	165

§ 1. Равномерная асимптотика решений системы дифференциальных
уравнений первого порядка	165
§ 2. Равномерная асимптотика решений уравнения второго порядка	169
§ 3. Оценка функции Грина	174
§ 4. Асимптотическое распределение собственных значений	183
§ 5. Специальные случаи оператора	209

ГЛАВА VI. СИСТЕМА ДИРАКА В КАНОНИЧЕСКОМ ВИДЕ	213

§ 1. Матрица Грина оператора Дирака с «замороженными» коэффициентами	213
§ 2. Интегральное уравнение для матрицы Грина	218
§ 3. Асимптотика матрицы G'_μ(x, ξ; iμ) при μ→∞	233
§ 4. Дальнейшие свойства матрицы G(x, ξ; λ)	244
§ 5. Вывод двусторонней асимптотической формулы	253
§ 6. Распределение собственных значений в случае полупрямой	261
§ 7. Система Дирака в пространстве вектор-функций	266

ГЛАВА VII. СИСТЕМА ДИРАКА В ОБЩЕМ ВИДЕ	269

§ 1. Некоторые вспомогательные предложения	269
§ 2. Исследование спектра и распределение собственных значений	277

ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРОИЗВОЛЬНОГО
ПОРЯДКА. ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ СЛУЧАЙ	290

§ 1. Основные условия на коэффициенты	290
§ 2. Асимптотика функции Грина	293
§ 3. Вывод асимптотической формулы для N(λ)	302

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА.
НЕПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ СЛУЧАЙ	304

§ 1. Асимптотические формулы для фундаментальной системы решений	304
§ 2. Асимптотика функции Грина	311
§ 3. Асимптотическое распределение собственных значений	315
§ 4. Оператор четвёртого порядка, допускающий «вырождение»	320
§ 5. Индексы дефекта и исследование спектра оператора L₀	325
§ 6. Плотность спектра оператора четвёртого порядка	329

ГЛАВА X. ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ТИПА КЕЛДЫША	334

§ 1. Теорема абелева типа	334
§ 2. Тауберова теорема Келдыша	338
§ 3. Двусторонняя тауберова теорема типа Келдыша	339
§ 4. Двусторонняя тауберова теорема с ядром (λ — z)^-m-1	347

Библиография	363

Книги на ту же тему

Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк М. В., 1980
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 5-е изд., доп., Петровский И. Г., 1964
Задачи на собственные значения (с техническими приложениями), Коллатц Л., 1968
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., испр., Камке Э., 1971
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 3-е изд., стереотип., Понтрягин Л. С., 1970
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд., исправл., Петровский И. Г., 1965
Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
Квантовая механика. — Изд. 2-е перераб., Давыдов А. С., 1973
Квантовая механика, Бете Г., 1965
Квантовая механика (конспект лекций), Ферми Э., 1968
Методы квантовой теории поля в статистической физике, Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., 1962
Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Нахушева В. А., 2006
Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010

elapsed time 0.018 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему