Сохранность книги — хорошая

R. W. HAMMING
Bell Telephone Laboratories
NUMERICAL METHODS
FOR SCIENTISTS
AND ENGINEERS

MC GRAW-HILL BOOK COMPANY, INC.
1962

Пер. с англ. В. Л. Арлазарова, Г. С. Разиной и А. В. Ускова

Формат 60x90 1/16

Книга посвящена численным методам математического анализа, используемым на современных электронных вычислительных машинах. Она состоит из четырёх частей.

Часть I, Дискретное исчисление конечных разностей (гл. 1—6), излагает основные понятия конечных разностей, суммирования конечных числовых рядов и конечных рядов Фурье.

Часть II, Приближение многочленами (гл. 7—20), содержит изложение классических численных методов интерполяции, численного интегрирования и численного решения дифференциальных уравнений, основанных на аппроксимации функции обычными алгебраическими многочленами. При этом рассматриваются приближения в смысле точного совпадения в узлах, в смысле наименьших квадратов и в смысле наименьшего отклонения по Чебышёву.

Часть III, Немногочленные приближения (гл. 21—27), посвящена аппроксимации функций с помощью экспоненциальных, а также с помощью рядов и интеграла Фурье.

Часть IV, Алгоритмы и эвристические методы (гл. 28—32), кроме некоторых известных алгоритмов для отыскания корней функции и для ряда задач линейной алгебры, рассматривает примеры моделирования, применения метода Монте-Карло и некоторые игровые задачи. Отдельная заключительная глава посвящена вопросам организации вычислительной работы.

Третья и четвёртая части книги содержат ряд новых задач и методов. Изложение всех численных методов сопровождается разбором примеров из вычислительной практики автора.

Таблиц 32, рисунков 43, библиографических ссылок 44

Предисловие редактора перевода	12
Из предисловия автора	14

Ч А С Т Ь I
ДИСКРЕТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Г л а в а 1. Исчисление разностей	17

§ 1.1. Введение и система обозначений	17
§ 1.2. Разностный оператор	19
§ 1.3. Повторные разности	21
§ 1.4. Таблицы разностей	23
§ 1.5. Факториалы	27
§ 1.6. Деление многочленов	29
§ 1.7. Числа Стирлинга первого рода	32
§ 1.8. Числа Стирлинга второго рода	34
§ 1.9. Пример	35
§ 1.10. Альтернативные замечания	36
§ 1.11. Общие замечания и справки	37

Г л а в а 2. Погрешности округления	37

§ 2.1. Введение	37
§ 2.2. Область ответа	38
§ 2.3. Двойная точность	39
§ 2.4. Счёт со значащими разрядами	39
§ 2.5. Статистический подход	40
§ 2.6. Случайное округление	41
§ 2.7. Переменная точность	41
§ 2.8. Оценка шума в таблице	41
§ 2.9. Теория «младшего значащего разряда»	47
§ 2.10. Теория «старшего значащего разряда»	49
§ 2.11. Анализ распространения ошибки при небольшом вычислении	52
§ 2.12. Общие замечания и библиография	53

Г л а в а 3. Исчисление сумм	53

§ 3.1. Введение и система обозначений	53
§ 3.2. Формулы суммирования	56
§ 3.3. Суммирование по частям	58
§ 3.4. Общие замечания	59

Г л а в а 4. Вычисление бесконечных рядов	59

§ 4.1. Введение	59
§ 4.2. Метод Куммера	61
§ 4.3. Некоторые специальные суммы	62
§ 4.4. Метод Эйлера	62
§ 4.5. Нелинейное преобразование	66
§ 4.6. Степенные ряды	67
§ 4.7. Разложение по специальным функциям	68
§ 4.8. Интегралы как приближения сумм	68
§ 4.9. Дигамма-функция	69

Г л а в а 5. Уравнения в конечных разностях	71

§ 5.1. Система обозначений	71
§ 5.2. Пример разностного уравнения первого порядка	72
§ 5.3. Пример уравнения второго порядка	74
§ 5.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами	75
§ 5.5. Пример	76

Г л а в а 6. Конечные ряды Фурье	78

§ 6.1. Введение	78
§ 6.2. Ортогональность на дискретном множестве точек	79
§ 6.3. Точность разложения	81
§ 6.4. Вычисление коэффициентов	83
§ 6.5. Метод двенадцати ординат	85
§ 6.6. Методы с минимумом умножений	87
§ 6.7. Разложение по косинусам	87
§ 6.8. Локальные ряды Фурье	88

Ч А С Т Ь II
ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ — КЛАССИЧЕСКИЙ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ

Г л а в а 7. Введение в многочленные приближения	90

§ 7.1. Ориентация	90
§ 7.2. Альтернативные формулировки	92
§ 7.3. Узловые точки, информация	95
§ 7.4. Класс функций	96
§ 7.5. Согласие	97
§ 7.6. Точность	98

Г л а в а 8. Интерполяция многочленами. Данные с произвольными
промежутками	99

§ 8.1. Философия	99
§ 8.2. Интерполяционные многочлены	99
§ 8.3. Метод интерполяции Лагранжа	103
§ 8.4. Интерполяционная формула Ньютона	106
§ 8.5. Другая форма для таблицы разделённых разностей	109
§ 8.6. Погрешность многочленной аппроксимации	110
§ 8.7. Трудности приближения многочленом	113
§ 8.8. О выборе узловых точек	116

Г л а в а 9. Интерполяция многочленами. Равноотстоящие узлы	117

§ 9.1. Формула Ньютона для интерполирования	117
§ 9.2. Интерполирование в таблицах	118
§ 9.3. Ромбовидная диаграмма	119
§ 9.4. Замечания к выведенным формулам	123
§ 9.5. Смешанные интерполяционные формулы	124

Г л а в а 10. Единый метод нахождения интерполяционных формул	125

§ 10.1. Введение	125
§ 10.2. Несколько типичных формул интегрирования	127
§ 10.3. Фиксированные узлы	132
§ 10.4. Некоторые примеры формул	135
§ 10.5. Значения функции и производной в фиксированных точках	137
§ 10.6. Свободные узлы; квадратура Гаусса	139
§ 10.7. Смешанный случай	141
§ 10.8. Замечания	142
§ 10.9. Линейные ограничения на веса	144
§ 10.10. Формула Грегори	147
§ 10.11. Выводы	150

Г л а в а 11. О нахождении остаточного члена формулы	152

§ 11.1. Потребность в остаточном члене	152
§ 11.2. Порядок остаточного члена	152
§ 11.3. Функция влияния	153
§ 11.4. Случай, когда G(s) имеет постоянный знак	156
§ 11.5. Случай, когда функция влияния меняет знак	158
§ 11.6. Слабое место в методе рядов Тейлора	160

Г л а в а 12. Формулы для определённых интегралов	161

§ 12.1. Введение	161
§ 12.2. Формулы Ньютона-Котеса	164
§ 12.3. Использование формулы Грегори	166
§ 12.4. Открытые формулы	168
§ 12.5. Квадратура Гаусса	169
§ 12.6. Формулы интегрирования смешанного гауссового типа	170
§ 12.7. Суммирование рядов	171
§ 12.8. Эффекты замены переменной	172
§ 12.9. Интегралы с параметром	173

Г л а в а 13. Неопределённые интегралы	173

§ 13.1. Описание содержания главы и система обозначений	173
§ 13.2. Несколько простых формул для неопределённых интегралов	175
§ 13.3. Общий метод	177
§ 13.4. Ошибка вследствие отбрасывания членов	178
§ 13.5. Устойчивость	181
§ 13.6. Шум округления	184
§ 13.7. Итоги	186
§ 13.8. Некоторые общие замечания	187
§ 13.9. Экспериментальная проверка устойчивости	189
§ 13.10. Пример интеграла свёртки, иллюстрирующий идею устойчивости	189

Г л а в а 14. Введение в дифференциальные уравнения	191

§ 14.1. Природа и смысл дифференциальных уравнений	191
§ 14.2. Поле направлений	192
§ 14.3. Численное решение	193
§ 14.4. Пример	195
§ 14.5. Устойчивость метода простого прогноза	197
§ 14.6. Устойчивость коррекции	198
§ 14.7. Несколько общих замечаний	200
§ 14.8. Системы уравнений	201

Г л а в а 15. Общая теория методов прогноза и коррекции	202

§ 15.1. Введение	202
§ 15.2. Ошибка от отбрасывания членов	204
§ 15.3. Устойчивость	205
§ 15.4. Помехи округления	209
§ 15.5. Прогноз по трём точкам	209
§ 15.6. Прогнозы типа Милна	210
§ 15.7. Прогнозы типа Адамса-Башфорта	212
§ 15.8. Общие замечания о выборе метода	213
§ 15.9. Выбор прогноза	214
§ 15.10. Некоторые формулы	215
§ 15.11. Выбор шага и оценка точности	216
§ 15.12. Экспериментальная проверка	219

Г л а в а 16. Специальные методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений	220

§ 16.1. Введение и общее описание	220
§ 16.2. Методы Рунге-Кутта	221
§ 16.3. Методы для уравнения второго порядка, когда отсутствует у'	222
§ 16.4. Линейные уравнения	224
§ 16.5. Метод, который использует значения у, у' и у''	225
§ 16.6. Случай, когда решение трудно аппроксимировать многочленом	226
§ 16.7. Краевые задачи	229

Г л а в а 17. Метод наименьших квадратов. Теория	232

§ 17.1. Введение	232
§ 17.2. Метод наименьших квадратов	232
§ 17.3. Другие критерии	234
§ 17.4. Ошибки с нормальным распределением	234
§ 17.5. Проведение подходящего многочлена	237
§ 17.6. Ортогональные функции	240
§ 17.7. Общие свойства ортогональных функций	242
§ 17.8. Неравенство Бесселя и полнота	244
§ 17.9. Метод наименьших квадратов и коэффициенты Фурье	245
§ 17.10. Ортогональные многочлены	247
§ 17.11. Классические ортогональные многочлены	249
§ 17.12. Сравнение метода наименьших квадратов и разложения в
степенные ряды	250
§ 17.13. Метод наименьших квадратов с ограничениями; продолжение
примера из § 1.9	251
§ 17.14. Последние замечания о методе наименьших квадратов	252

Г л а в а 18. Метод наименьших квадратов. Практика	252

§ 18.1. Общие замечания о многочленном случае	252
§ 18.2. Трёхчленное рекуррентное соотношение	253
§ 18.3. Построение квазиортогональных многочленов	255
§ 18.4. Немногочленный случай	255
§ 18.5. Нелинейные параметры	256

Г л а в а 19. Многочлены Чебышёва	257

§ 19.1. Введение	257
§ 19.2. Некоторые тождества	259
§ 19.3. Критерий Чебышёва	260
§ 19.4. Экономизация	262
§ 19.5. Механизация процесса экономизации	263
§ 19.6. Смещенные многочлены Чебышева	265
§ 19.7. τ-процесс Ланцоша	266
§ 19.8. Видоизменение τ-метода	268
§ 19.9. Несколько замечаний о чебышёвском приближении	270
§ 19.10. Критерий совпадения моментов	270

Г л а в а 20. Рациональные функции	272

§ 20.1. Введение	272
§ 20.2. Непосредственный подход	273
§ 20.3. Чебышёвское приближение рациональными функциями	274
§ 20.4. Обратные разности (симметричные)	275
§ 20.5. Пример	278

ЧАСТЬ III
НЕМНОГОЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Г л а в а 21. Периодические функции. Аппроксимация Фурье	280

§ 21.1. Цель этой теории	280
§ 21.2. Замена переменных и выбор узлов	281
§ 21.3. Ряды Фурье; периодические явления	282
§ 21.4. Интерполяция периодических функций	285
§ 21.5. Интегрирование	288
§ 21.6. Метод общего оператора	290
§ 21.7. Несколько замечаний относительно общего метода	293

Г л а в а 22. Сходимость рядов Фурье	294

§ 22.1. Сходимость степенных рядов и рядов Фурье	294
§ 22.2. Функции с простым разрывом	293
§ 22.3. Функция, имеющая непрерывные производные более высокого порядка	297
§ 22.4. Улучшение сходимости ряда Фурье	298
§ 22.5. Спектр мощности	299
§ 22.6. Явление Гиббса	300
§ 22.7. Сигма-множители Ланцоша	301
§ 22.8. Сравнение методов сходимости	303
§ 22.9. Техника дифференцирования по Ланцошу	304

Г л а в а 23. Непериодические функции. Интеграл Фурье	305

§ 23.1. Цель главы	305
§ 23.2. Обозначения и краткое изложение результатов	306
§ 23.3. Интеграл Фурье	310
§ 23.4. Преобразование Фурье некоторых функций	311
§ 23.5. Функции с ограниченным спектром и теорема выборки	313
§ 23.6. Теорема свёртки	315
§ 23.7. Эффект конечного суммирования	316

Г л а в а 24. Линейные фильтры. Сглаживание и дифференцирование	317

§ 24.1. Введение	317
§ 24.2. Пример простого сглаживающего фильтра	318
§ 24.3. Пример построения фильтра	319
§ 24.4. Фильтры вообще	320
§ 24.5. Анализ простых формул для дифференцирования	321
§ 24.6. Как избежать вычисления производных?	322
§ 24.7. Метод Филона	323
§ 24.8. Заключительные замечания	325

Г л а в а 25. Интегралы и дифференциальные уравнения	326

§ 25.1. Содержание главы	326
§ 25.2. Метод передаточной функции для интегрирования	327
§ 25.3. Общие формулы интегрирования	331
§ 25.4. Дифференциальные уравнения	332
§ 25.5. Построение фильтров по методу Чебышёва	334
§ 25.6. Некоторые детали метода Чебышёва	336

Г л а в а 26. Экспоненциальная аппроксимация	340

§ 26.1. Введение	340
§ 26.2. О нахождении формул, использующих экспоненты, когда
показатели экспонент известны	340
§ 26.3. Неизвестные показатели	342
§ 26.4. Предупреждения	343
§ 26.5. Экспоненты и многочлены	344
§ 26.6. Остаточные члены	344

Г л а в а 27. Особенности	344

§ 27.1. Введение	344
§ 27.2. Пример интеграла с особенностью в бесконечности	345
§ 27.3. Особенность в линейном дифференциальном уравнении	346
§ 27.4. Общие замечания	349

ЧАСТЬ IV
АЛГОРИТМЫ И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Г л а в а 28. Нахождение нулей	350

§ 28.1. Алгоритмы и эвристические методы	350
§ 28.2. Метод деления пополам для нахождения корня функции	351
§ 28.3. Линейная интерполяция	352
§ 28.4. Параболическая интерполяция	352
§ 28.5. Некоторые общие замечания	353
§ 28.6. Метод Берстоу для нахождения комплексных корней многочлена	355

Г л а в а 29. Системы линейных алгебраических уравнений	359

§ 29.1. Введение	359
§ 29.2. Метод исключения Гаусса	360
§ 29.3. Варианты метода Гаусса	362
§ 29.4. Метод Гаусса-Зайделя	363
§ 29.5. Повышенная точность	364
§ 29.6. Общие замечания	364

Г л а в а 30. Обращение матриц и собственные значения	365

§ З0.1. Введение	365
§ 30.2. Обращение матрицы методом исключения по Гауссу	365
§ 30.3. Задача нахождения собственных значений	366
§ 30.4. Наименьшие собственные значения	368
§ 30.5. Несколько замечаний	368

Г л а в а 31. Некоторые примеры моделирования	369

§ 31.1. Введение	369
§ 31.2. Простой пример дискретного моделирования	370
§ 31.3. Пример моделирования складских операций	374
§ 31.4. Трёхмерные крестики-нолики	375
§ 31.5. Общие замечания о дискретном моделировании	379
§ 31.6. Непрерывное моделирование	380

Г л а в а 32. Случайные числа и методы Монте-Карло	381

§ 32.1. Понятие случайного числа	381
§ 32.2. Генерирование случайных чисел в машине, работающей в
двоичной системе	382
§ 32.3. Генерирование случайных чисел на десятичной машине	386
§ 32.4. Другие распределения	386
§ 32.5. Метод Монте-Карло	388
§ 32.6. Ещё одна иллюстрация метода Монте-Карло	389
§ 32.7. Метод жулика	390

Г л а в а N+1. Искусство вычислять для инженеров и учёных	391

§ N+1.1. Важность вопроса	391
§ N+1.2. Что мы собираемся делать с ответом?	392
§ N+1.3. Что мы знаем?	393
§ N+1.4. Обдумывание вычислений	394
§ N+1.5. Повторение предыдущих шагов	395
§ N+1.6. Оценка усилий, необходимых для решения задачи	395
§ N+1.7. Изменения первоначального плана	396
§ N+1.8. Философия	397
§ N+1.9. Заключительные замечания	398

Литература	399

Книги на ту же тему

Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2-х томах (комплект из 2 книг), Бахвалов Н. С., Воеводин В. В., Дымников В. П., ред., 2005
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
Вычислительные методы в физике, Поттер Д., 1975
Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
Методы вычислительной математики, Марчук Г. И., 1977
Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
Лекции по методам вычислений, Гавурин М. К., 1971
Численные методы, алгоритмы и программы. Введение в распараллеливание: Учебное пособие для вузов, Карпов В. Е., Лобанов А. И., 2014
Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, Ортега Д., Рейнболдт В., 1975
Прямые методы для разреженных матриц, Эстербю О., Златев З., 1987
Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
Основы моделирования на аналоговых вычислительных машинах, Урмаев А. С., 1974
Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, Варга Р., 1974
Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
Некоторые вопросы теории приближений, Тихомиров В. М., 1976
Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
Экстремальные задачи теории приближения, Корнейчук Н. П., 1976
Численные методы и программное обеспечение, Каханер Д., Моулер К., Нэш С., 2001
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
Разностные схемы газовой динамики, Самарский А. А., Попов Ю. П., 1975
Методы граничных элементов в прикладных науках, Бенерджи П. К., Баттерфилд Р., 1984
Численное моделирование методом частиц, Хокни Р., Иствуд Д., 1987
Численное моделирование методами частиц-в-ячейках, Григорьев Ю. Н., Вшивков В. А., Федорук М. П., 2004
Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М., Срагович В. Г., Шрейдер Ю. А., 1962
Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике: Введение, Биндер К., Хеерман Д. В., 1995
Метод Монте-Карло, Соболь И. М., 1978
Численное решение задач гидромеханики, Рихтмайер Р., ред., 1977
Аддитивные схемы для задач математической физики, Самарский А. А., Вабищевич П. Н., 2001
Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу, Белоцерковский О. М., Опарин А. М., 2001
Математическое моделирование: Проблемы и результаты, 2003

elapsed time 0.020 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему