КнигоПровод.Ru25.06.2024

/Наука и Техника/Математика

Введение в теорию множеств и общую топологию — Александров П. С.
Введение в теорию множеств и общую топологию
Александров П. С.
год издания — 1977, кол-во страниц — 368, тираж — 35000, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 450 гр., издательство — Физматлит
цена: 500.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — хорошая

Формат 60x90 1/16
ключевые слова — множеств, тополог, метрическ, компактн, хаусдорф, курош, счётн, дедекинд, трансфинит, упорядоченн, конфинальн, цермел, кардинальн, связност, кантор, бореля-лебег, тихонов, бикомпакт, урысон, нагата-смирнов, проекционн, соабсолютн

Первые три главы книги представляют собой изложение фактов теории множеств с так называемой «наивной» точки зрения. В главах 4—6 даётся изложение основных топологических фактов, касающихся метрических и топологических пространств. Особое внимание при этом обращается на метризационные теоремы и понятия компактности (бикомпактности) и паракомпактности.

Книга является учебным пособием для студентов физико-математических факультетов университетов. Она может быть использована также аспирантами различных специальностей, нуждающимися в теории множеств и топологии.

Книгу можно рассматривать как введение в современные разделы общей топологии.

Илл. 12, библ. 39


Эта книга была задумана как второе издание моей книги «Введение в общую теорию множеств и функций», изданной в 1948 г. Однако вскоре же после начала работы над этим вторым изданием мне стало ясно, что речь фактически идёт о написании новой книги, а не о новом издании уже написанной; и действительно, из старой книги в новую были перенесены без существенных изменений лишь первые три главы. В переработанном виде материал шестой и седьмой глав старой книги был частично взят мною в пятую главу новой книги. Составляющие основную часть новой книги главы четвёртая и шестая написаны заново, лишь с небольшими заимствованиями из Прибавлений к двум последним главам старой книги. Однако сохранился и общий её дух, состоящий в элементарном и — как я надеюсь — логически тщательном изложении рассуждений: формулировок к доказательств, и пронизывающий всю книгу так называемый «наивный» подход к основным понятиям теории множеств, непревзойдённым образом воплощённый в классической книге Ф. Хаусдорфа «Теория множеств».

Как мне кажется, предлагаемая вниманию читателя книга в её теперешнем виде может служить руководством для первого ознакомления с общей топологией, т. е. с теорией топологических пространств, с обращением особого внимания на их важнейший частный случай — метризуемые пространства. Отсюда следует и специальное внимание уделяемое нами проблеме метризации топологических пространств. С другой стороны, чрезвычайно большое место в книге занимают пространства, обладающие тем или иным свойством «типа компактности», т. е. прежде всего бикомпактные (и локально бикомпактные), а также паракомпактные пространства. Эти последние тесным образом связаны с общей проблемой метризации. Если прибавить, что вполне регулярные, или тихоновские, пространства суть не что иное, как подпространства бикомпактов, то станет ясным, что выделение, с одной стороны, метризуемых пространств, а с другой стороны, пространств, удовлетворяющих условиям типа компактности, даёт нам доступ практически ко всем важнейшим типам топологических пространств, что и объясняет название основной и завершающей шестой главы нашей книги.

При этом я хотел бы настойчиво обратить внимание на то, что Прибавление к книге составляет её неотъемлемую часть. Оно написано В. И. Зайцевым и посвящено кругу тесно связанных между собой вопросов, которые я причисляю к важнейшим среди разрабатывавшихся в общей топологии за последнюю четверть века, а именно теории обратных (в частности и в особенности проекционных) спектров и теории абсолютов и неприводимых совершенных отображений топологических пространств. Основы первой теории заложены в работах П. С. Александрова и А. Г. Куроша и получили новое и очень интересное развитие в работах В. И. Зайцева. Вторая теория восходит к работам Глисона (Gleason) и ещё даже М. Стоуна (М. Н. Stone), но своё полное развитие получила лишь в работах В. И. Пономарева, в которых, в частности, и была осуществлена связь теории абсолютов и теории проекционных спектров. Кроме Прибавления В. И. Зайцев написал и § 5 гл. 6, в котором он излагает данную им внутреннюю характеристику тихоновских пространств.

Участие В. И. Зайцева в работе над моей книгой настолько велико, что я считал необходимым отметить его особо. Это относится и к В. В. Федорчуку, который не только тщательно отредактировал всю книгу, но и внёс едва ли не во все её параграфы улучшения, часто очень существенные. Я могу прямо сказать, что без участия В. В. Федорчука книга в её настоящем виде вообще не была бы написана. В работе над этой книгой В. В. Федорчук был существенно поддержан своим учеником А. В. Ивановым. Названным моим дорогим ученикам и коллегам я выражаю искреннюю и сердечную благодарность.

Гильберт часто сравнивал математику с волшебным, чарующим садом. В этот сад ведут многие различные входы. Одним из них является и теоретико-множественная топология. Моя книга в первую очередь обращена к избравшим именно этот вход молодым, начинающим математикам. Найдя, как я надеюсь, уже в самом начале пути много прекрасного, они дальше смогут пойти различными дорогами и прийти в такие углублённые части сада, что у входа нельзя было предвидеть самого их существования.

ПРЕДИСЛОВИЕ
П. Александров
Москва. Июнь, 1976 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие5
 
Глава первая. О бесконечных множествах7
 
§ 1. Понятие множества7
§ 2. Подмножества. Операции над множествами8
§ 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Отображение
одного множества на другое. Разбиение множества на подмножества.
Семейства множеств и покрытия12
§ 4. Теоремы о счётных множествах18
§ 5. Понятие о частично упорядоченном и (линейно) упорядоченном
множестве23
§ 6. О сравнении мощностей28
 
Глава вторая. Действительные числа34
 
§ 1. Дедекиндовское определение иррационального числа34
§ 2. Сечения в множестве действительных чисел. Верхняя и нижняя
грани37
§ 3. Действия над действительными числами42
§ 4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби. Мощность
континуума47
 
Глава третья. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.
Трансфинитные числа52
 
§ 1. Упорядоченные множества52
§ 2. Определение и примеры вполне упорядоченных множеств57
§ 3. Основные теоремы о вполне упорядоченных множествах62
§ 4. Счётные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса).
Понятие конфинальности. Аксиома выбора69
§ 5. Теорема Цермело78
§ 6. Теоремы о кардинальных числах84
§ 7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем
начальном числе, которому конфинален данный порядковый тип92
 
Глава четвёртая. Метрические и топологические пространства96
 
§ 1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических
пространств96
§ 2. Непрерывные отображения112
§ 3. Связность118
§ 4. Базы и вес топологического пространства127
§ 5. Подмножества прямой и плоскости135
§ 6. Некоторые классические примеры метрических пространств и их
свойства147
§ 7. Пространства со счётной базой158
§ 8. Аксиомы отделимости164
§ 9. Ограниченные множества в Rn; теоремы Больцано-Вейерштрасса,
Кантора и Бореля-Лебега. Теорема Коши180
 
Глава пятая. Компактные и полные метрические пространства188
 
§ 1. Компактность в данном пространстве и компактность в себе188
§ 2. Непрерывные отображения компактов195
§ 3. Связность в компактных пространствах202
§ 4. Компакты как непрерывные образы канторова дисконтинуума211
§ 5. Определение и примеры полных метрических пространств219
§ 6. Пополнение метрического пространства225
§ 7. Простейшие свойства полных метрических пространств229
§ 8. Компактность и полнота230
§ 9. Множества, являющиеся одновременно множествами Fσ и Gδ в
компактных метрических пространствах232
 
Глава шестая. Условия типа компактности и метризация
топологических пространств238
 
§ 1. Бикомпактные пространства23&
§ 2. Непрерывные отображения бикомпактных пространств248
§ 3. Теорема Вейерштрасса-Стоуна251
§ 4. Топологическое произведение и теоремы Тихонова254
§ 5. Внутренняя характеристика вполне регулярных пространств266
§ 6. Максимальное бикомпактное расширение вполне регулярного
пространства270
§ 7. Построение всех бикомпактных расширений данного вполне
регулярного пространства275
§ 8. Свойства связности и нульмерности для бикомпактов282
§ 9. Некоторые универсальные бикомпактные пространства288
§ 10. Диадические бикомпакты291
§ 11. Открытые покрытия; паракомпактность и другие свойства типа
компактности295
§ 12. Локально бикомпактные пространства311
§ 13. Метризационные теоремы Александрова-Урысона и Нагата-Смирнова315
Прибавление к главе шестой. Теорема о мощности бикомпактов с первой
аксиомой счётности319
 
Прибавление. Проекционные спектры и абсолют323
 
§ 1. Общее понятие обратного спектра топологических пространств.
Абстрактные проекционные спектры323
§ 2. Проекционные спектры над семействами разбиений332
§ 3. Теорема реализации для абстрактных спектров342
§ 4. Леммы о неприводимых замкнутых отображениях345
§ 5. Абсолют регулярного пространства346
§ 6. Экстремально несвязные пространсгва354
§ 7. Соабсолютные пространства358
 
Литература362
Предметный указатель364

Книги на ту же тему

  1. Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов, Стинрод Н., Чинн У., 1967
  2. Общая топология, Келли Д. Л., 1968
  3. Дифференциальная топология: Начальный курс, Милнор Д., Уоллес А., 1972
  4. Лекции по дополнительным главам математического анализа, Соболев В. И., 1968
  5. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд., Натансон И. П., 1974
  6. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения, Успенский В. А., Семёнов А. Л., 1987
  7. Введение в математическую логику, Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г., 1982
  8. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, Лавров И. А., Максимова Л. Л., 1975
  9. Дополнительные главы математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, Макаров И. П., 1968
  10. Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
  11. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
  12. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов, Новиков С. П., Фоменко А. Т., 1987
  13. Дифференциальная геометрия. — 5-е изд., Погорелов А. В., 1969
  14. Топологические векторные пространства, Шефер X., 1971
  15. Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
  16. Топологические вариационные задачи, Фоменко А. Т., 1984
  17. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
  18. Симметрические пространства, Лоос О., 1985
  19. Современная математика, Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М., 1966
  20. Топологические методы в теории гамильтоновых систем (Сборник статей), Болсинов А. В., Фоменко А. Т., Шафаревич А. И., ред., 1998
  21. Гравитация и относительность, Цзю Х., Гоффман В., ред., 1965
  22. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995
  23. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987
  24. Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989
  25. Теория множеств и метод форсинга, Йех Т., 1973
  26. Основания теории множеств, Бар-Хиллел И., Френкель А. А., 1966
  27. Линейно упорядоченные группы, Кокорин А. И., Копытов В. М., 1972
  28. Современная теория множеств: начала дескриптивной динамики, Кановей В. Г. , Любецкий В. А., 2007
  29. Теория Морса, Милнор Д., 2011
  30. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау, Фам Ф., 1970
  31. Химические приложения топологии и теории графов, Кинг Р., ред., 1987

© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru