КнигоПровод.Ru25.05.2022

/Наука и Техника/Математика

Функциональный анализ. — 2-е изд., перераб. и доп. — Крейн С. Г., ред.
Функциональный анализ. — 2-е изд., перераб. и доп.
Крейн С. Г., ред.
год издания — 1972, кол-во страниц — 544, тираж — 29000, язык — русский, тип обложки — твёрд. картон, масса книги — 610 гр., издательство — Физматлит
серия — Справочная математическая библиотека
цена: 300.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — хорошая

Формат 60x90 1/16. Бумага типографская №2
ключевые слова — функционал, оператор, банах, алгебр, квантов, гильбертов

Настоящее издание характеризуется расширением объёма материала и его большей специализацией. Добавлены новые главы по теории функциональных пространств, по теории линейных операторов в банаховом пространстве. Заново написаны главы, относящиеся к теории коммутативных банаховых алгебр и к теории операторов квантовой механики. Значительно пополнены главы, посвящённые операторам в гильбертовом пространстве, в пространствах с конусом и др. В ряде мест изложение доведено до уровня современных исследований.

Книга предназначена для математиков, механиков и физиков. В ней найдут много полезного для себя студенты и аспиранты соответствующих специальностей.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ко второму изданию10
 
Г л а в а  I.  Основные понятия функционального анализа13
§ 1. Линейные системы13
1. Понятие линейной системы (13). 2. Линейная зависимость и независимость (14). 3. Линейные многообразия и фактор-системы (15). 4. Произведения линейных систем (16). 5. Выпуклые множества (18).
§ 2. Линейные топологические, метрические, нормированные и банаховы пространства19
1. Линейное топологическое пространство (19). 2. Локально выпуклое пространство (21). 3. Линейное метрическое пространство (22). 4. Линейное нормированное пространство (24). 5. Примеры линейных нормированных пространств (26). 6. Полнота метрических пространств, банахово пространство (30). 7. Компактные множества (31). 8. Сепарабельные пространства (34). 9. Изометрия, изоморфизм, гомеоморфизм (34).
§ 3. Линейные функционалы36
1. Понятие линейного функционала. Гиперплоскость (36). 2. Непрерывные линейные функционалы (36). 3. Продолжение линейных непрерывных функционалов (37). 4. Примеры линейных функционалов (38).
§ 4. Сопряжённые пространства39
1. Двойственность линейных систем (39). 2. Сопряжённое пространство к линейному нормированному пространству (40). 3. Слабая сходимость, слабые топологии (43). 4. Выпуклые множества, крайние точки (46). 5. Фактор-пространство и ортогональные дополнения (47). 6. Произведения нормированных пространств (47). 7. Рефлексивные банаховы пространства (49). 8. Геометрия сферы банахова пространства (51 у. 9. Универсальные пространства (52). 10. Вложения пространств (52). 11. Нормированные пространства, связанные с локально выпуклым пространством. Ядерное пространство (53).
§ 5. Линейные операторы55
1. Линейные ограниченные операторы (55). 2. Примеры линейных ограниченных операторов (57). 3. Сходимость последовательностей операторов (58). 4. Обратный оператор (59). 5. Пространство операторов. Алгебра операторов (60). 6. Сопряжённый оператор (61). 7. Вполне непрерывные операторы (61). 8. Операторы в произведении пространств (63). 9. Замечание о комплексных пространствах (65).
§ 6. Пространства с базисом65
1. Полнота и минимальность системы элементов (65). 2. Понятие базиса (66). 3. Признаки базисов (68). 4. Безусловные базисы (69).
Г л а в а  II.  Функциональные пространства72
§ 1. Пространства дифференцируемых функций72
1. Обозначения (72). 2. Пространства бесконечно дифференцируемых функций (72). 3. Обобщённые функции (74). 4. Преобразование Фурье (76). б. Банаховы пространства обобщённых дифференцируемых функций. Теоремы вложения (79).
§ 2. Пространства аналитических функций83
1. Пространства функций, аналитических в области (83). 2. Пространства локально аналитических функций (84). 3. Пространства Hp (85).
§ 3. Банаховы пространства измеримых функций88
1. Пространство измеримых функций (88). 2. Примеры банаховых пространств измеримых функций (89). 3. Идеальные пространства (91). 4. Двойственные пространства (93). 5. Симметричные и однородные пространства (94).
§ 4. Векторнозначные функции96
1. Непрерывность, дифференцируемость (96). 2. Интеграл Римана (97). 3. Аналитические функции (98). 4. Интеграл Бохнера. Суммируемые функции (99).
Г л а в а  III.  Линейные операторы в банаховом пространстве103
§ 1. Теория линейных уравнений103
1. Уравнения в конечномерных пространствах (103). 2. Основные понятия (104). 3. Уравнение с замкнутым оператором (105). 4. Сопряжённое уравнение (106). 5. n-нормальные и d-нормальные уравнения (107). 6. Априорные оценки (1С8). 7. Нетеровы уравнения (109). 8. Фредгольмовы уравнения (110). 9. Линейные преобразования уравнений (111). 10. Линейная замена переменного (112). 11. Устойчивость свойств уравнения (113).
§ 2. Линейные уравнения с параметром, спектральная теория114
1. Спектр и резольвента оператора (114). 2. Спектральное разложение замкнутого оператора (118). 3. Классификация точек спектра (120). 4. Вполне непрерывные операторы (122).
§ 3. Функции от операторов, операторное исчисление123
1. Функции от ограниченного оператора (123). 2. Функции от неограниченного оператора (125). 3. Дробные степени операторов (127). 4. Экспоненциальная функция, группы операторов (131). 5. Экспоненциальная функция, полугруппы операторов (133). 6. Эргодическая теория (137).
§ 4. Интерполяция линейных операторов141
1. Интерполяционные пространства (141). 2. Вещественные методы конструирования интерполяционных пространств (142). 3. Комплексные методы (145). 4. Интерполяционные семейства и шкалы пространств (147). 5. Интерполяция в пространствах суммируемых функций (149). 6. Интерполяция в пространствах дифференцируемых функций (153).
§ 5. Линейные интегральные операторы154
1. Общие свойства линейных интегральных операторов (154). 2. Линейные U-ограниченные и U-коограниченные операторы (156). 3. Резольвента (Фредгольма) линейного интегрального оператора (158). 4. Интегральные операторы с симметричным ядром (160). 5. Интегральные операторы в пространстве непрерывных функций (161). 6. Важные примеры линейных интегральных операторов (162). 7. Сингулярный интегральный оператор (164).
§ 6. Операторы, порождённые краевыми задачами165
1. Эллиптическое дифференциальное выражение (165). 2. Граничные дифференциальные выражения. Регулярная эллиптическая краевая задача (166). 3. Формула Грина и формально сопряжённая задача (167). 4. Неравенства коэрцитивности. Нетеровость эллиптических задач (169). 5. Полный набор гомеоморфизмов, осуществляемых эллиптическим оператором (170). 6. Спектр и резольвента эллиптического оператора (172). 7. Эллиптические системы (175). 8. Индекс эллиптического оператора (176).
Г л а в а  IV.  Линейные операторы в гильбертовом пространстве179
§ 1. Абстрактное гильбертово пространство179
1. Понятие гильбертова пространства (179). 2. Примеры гильбертовых пространств (180). 3. Ортогональность. Проекция на подпространство (181). 4. Линейные функционалы (182). 5. Слабая сходимость (182). 6. Ортонормальные системы и базисы. Размерность гильбертова пространства (183).
§ 2. Линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве185
1. Линейный ограниченный оператор. Сопряжённый оператор. Полуторалинейная форма (185). 2. Унитарные операторы (188). 3. Самосопряжённые операторы (190). 4. Представления операторов через самосопряжённые (190). 5. Самосопряжённые вполне непрерывные операторы (191). 6. Вполне непрерывные операторы (193). 7. Ядерные операторы и операторы Гильберта-Шмидта (198). 8. Проекционные операторы (201). 9. Алгебры операторов (203). 10. Операторы во внешнем произведении гильбертовых пространств (203).
§ 3. Спектральное разложение самосопряжённых операторов204
1. Операции над самосопряжёнными операторами (204). 2. Разложение единицы, спектральная функция (206). 3. Функция от самосопряжённого оператора (208). 4. Неограниченные самосопряжённые операторы (208). 5. Спектр самосопряжённого оператора (210). 6. Кратность спектра самосопряжённого оператора (212). 7. Абсолютно непрерывная и сингулярная части оператора (214). 8. Обобщённые собственные элементы (215).
§ 4. Симметрические операторы217
1. Понятие симметрического оператора, индексы дефекта (217). 2. Самосопряжённые расширения симметрических операторов (218). 3. Самосопряжённые расширения полуограниченных операторов (219). 4. Обобщённые расширения и спектральные функции симметрических операторов. Обобщённые резольвенты (222).
§ 5. Теория возмущений224
1. Общие свойства (224). 2. Конечномерные, вполне непрерывные и ограниченные возмущения (226). 3. Возмущения полуограниченных операторов (228). 4. Абсолютно непрерывный спектр. Волновые операторы (229). 5. Абсолютно непрерывный спектр. Гладкие возмущения (230).
§ 6. Диссипативные операторы232
1. Максимальный диссипативный оператор (232). 2. Полуторалинейные формы и неограниченные операторы (233). 3. Диссипативные расширения консервативных операторов (234).
§ 7. Обыкновенные дифференциальные операторы235
1. Самосопряжённые дифференциальные выражения (235). 2. Регулярный случай (236). 3. Сингулярный случай (237). 4. Критерии самосопряжённости оператора A0 на (—∞, ∞) (239). 5. Характер спектра самосопряжённых расширений (240). 6. Разложение по собственным функциям (241). 7. Примеры (243). 8. Обратная задача Штурма-Лиувилля (245).
§ 8. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка246
1. Самосопряжённое эллиптическое дифференциальное выражение (246). 2. Минимальный и максимальный операторы. L-гармонические функции (247). 3. Самосопряжённые расширения, отвечающие основным краевым задачам (248).
§ 9. Гильбертова шкала пространств250
1. Гильбертова шкала и её свойства (250). 2. Пример гильбертовой шкалы. Пространства Wα2 (252). 3. Операторы в гильбертовой шкале (253). 4. Теоремы о следах (254).
§ 10. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой255
1. J-пространства (255). 2. Линейные операторы в J-пространствах (257). 3. Примеры (262).
Г л а в а  V.  Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве265
§ 1. Линейные уравнения с ограниченным оператором265
1. Линейные уравнения 1-го порядка. Задача Коши (265). 2. Однородное уравнение с постоянным оператором (265). 3. Случай гильбертова пространства (267). 4. Уравнение второго порядка (267). 5. Однородное уравнение с переменным оператором (268). 6. Уравнение с периодическим оператором (271). 7. Неоднородное уравнение (272).
§ 2. Уравнения с постоянным неограниченным оператором273
1. Задача Коши (273). 2. Равномерно корректная задача Коши (276). 3. Ослабленная задача Коши (278). 4. Абстрактное параболическое уравнение (280). 5. Обратная задача Коши (281). 6. Уравнения в гильбертовом пространстве (282). 7. Неоднородное уравнение с постоянным оператором (284). 8. Возмущённое уравнение (286).
§ 3. Корректные задачи для дифференциальных уравнений286
1. Задача Коши для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами (286). 2. Краевые задачи для параболических систем (289). 3. Симметрические гиперболические системы (290). 4. Уравнение Шрёдингера (291). 5. Уравнение с запаздывающим аргументом (291).
§ 4. Уравнение с переменным оператором292
1. Равномерно корректная задача Коши. Эволюционный оператор (292). 2. Устойчивая аппроксимация эволюционного оператора (293). 3. Ослабленная задача Коши, корректная на D(А) (294). 4. Абстрактное параболическое уравнение с оператором, имеющим переменную область определения (296). 5. Неоднородное уравнение с переменным оператором (298). 6. Абстрактное параболическое уравнение в семействе подпространств (298).
§ 5. Уравнения второго порядка300
1. Уравнение гиперболического типа (300). 2. Уравнение эллиптического типа (301). 3. Полное уравнение второго порядка, параболический случай (304).
Г л а в а  VI.  Нелинейные операторные уравнения306
§ 1. Нелинейные операторы и функционалы307
1. Непрерывность и ограниченность оператора (307). 2. Дифференцируемость нелинейного оператора (308). 3. Оператор Урысона в пространствах C и Lp (310). 4. Оператор f (312). 5. Оператор Гаммерштейна (313). 6. Производные высших порядков (313). 7. Потенциальные операторы (315).
§ 2. Существование решений317
1. Метод последовательных приближений (317). 2. Принцип сжатых отображений (318). 3. Единственность решения (319). 4. Уравнения с вполне непрерывными операторами. Принцип Шаудера (320). 5. Использование теории вполне непрерывных векторных полей (322). 6. Уравнения с монотонными операторами (326). 7. Вариационный метод (328). 8. Преобразование уравнений (328). 9. Примеры (329).
§ 3. Качественные методы в теории ветвления решений332
1. Продолжение решений, теорема о неявной функции (332). 2. Точки ветвления (333). 3. Точки бифуркации, принцип линеаризации (334). 4. Примеры из механики (338). 5. Уравнения с потенциальными операторами (341). 6. Рождение больших решений (341). 7. Уравнение разветвления (342). 8. Посгроение решений в виде рядов (343).
Г л а в а  VII.  Коммутативные банаховы алгебры346
§ 1. Основные понятия346
1. Определения и примеры (346). 2. Группа обратимых элементов, теорема о непустоте спектра (349). 3. Максимальные идеалы и мультипликативные функционалы (350). 4. Пространство максимальных идеалов, гельфандов гомоморфизм (352).
§ 2. Общие свойства353
1. Аналитические операции над элементами алгебры (353). 2. Алгебраическая интерпретация некоторых топологических характеристик пространства максимальных идеалов (354). 3. Граница Шилова пространства максимальных идеалов (355). 4. Алгебры с инволюцией (357). 5. Регулярные алгебры (359).
§ 3. Алгебры с равномерной сходимостью361
1. Симметрия, антисимметрия и близкие свойства (362). 2. Некоторые характеристические свойства алгебры С(X) (364). 3. Эквивалентность Глисона (365). 4. Компактные расширения (357). 5. Алгебраические уравнения в С(X) (368).
§ 4. Максимальные подалгебры370
1. Постановка задачи, примеры (370). 2. Максимальные подалгебры алгебры С(X) (371). 3. Максимальные подалгебры в алгебрах с инволюцией (372).
§ 5. Групповые алгебры. Гармонический анализ374
1. Групповая алгебра (374). 2. Характеры дискретной группы и максимальные идеалы групповой алгебры (376). 3. Компактные группы. Принцип двойственности (378). 4. Локально компактные группы (378). 5. Преобразование Фурье (379). 6. Спектральный синтез. Эндоморфизмы групповых алгебр (380). 7. Гиперкомплексные системы (381).
§ 6. Несколько замечаний о неполупростых алгебрах382
1. Идеалы в алгебрах степенных рядов (382). 2. Структурные теоремы (383).
Г л а в а  VIII.  Операторы в пространствах с конусом385
§ 1. Конусы в линейных пространствах385
1. Конус в линейной системе (385). 2. Полуупорядоченные пространства (386). 3. K-линеалы, миниэдральные конусы (387). 4. K-пространства (387). 5. Конусы в банаховом пространстве (389). 6. Правильные конусы (391). 7. Теоремы о реализации полуупорядоченных пространств (392).
§ 2. Линейные положительные функционалы393
1. Положительные функционалы (393). 2. Продолжение линейных положительных функционалов (394). 3. Равномерно положительные функционалы (395). 4. Ограниченные функционалы на конусе (395). 5. Сходимость последовательности положительных функционалов (396).
§ 3. Линейные положительные операторы397
1. Понятие положительного оператора (397). 2. Неразложимые операторы (399). 3. Спектральные свойства положительных операторов (400). 4. Позитивные собственные числа (401). 5. Положительные операторы на миниэдральном конусе (403). 6. Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора (405). 7. Существование вторых положительных собственных значений (409). 8. Сравнение спектральных радиусов и собственных значений положительных операторов (440). 9. Неоднородное линейное уравнение (411). 10. Существование положительного обратного оператора (413). 11. Инвариантные функционалы и собственные векторы сопряжённых операторов (414). 12. Сходимость последовательности положительных операторов (415).
§ 4. Нелинейные операторы418
1. Основные понятия (418). 2. Существование положительных решений (418). 3. Существование ненулевого положительного решения (419). 4. Непрерывная ветвь положительных собственных векторов (420). 5. Вогнутые операторы (421). 6. Сходимость последовательных приближений (422).
Г л а в а  IX.  Операторы квантовой механики423
§ 1. Общие положения квантовой механики423
1. Состояния и наблюдаемые величины (423). 2. Совместно наблюдаемые величины (424). 3. Примеры пространств состояний (425). 4. Развитие системы со временем (427). 5. Квантование классической механики (428). 6. Основные задачи квантовой механики (429).
§ 2. Конкретные квантовомеханические системы430
1. Оператор Шрёдингера модельных задач (430). 2. Простейшие свойства спектра оператора Шрёдингера (431). 3. Многоэлектронный атом (433).
§ 3. Спектр оператора Шрёдингера и некоторых родственных дифференциальных операторов435
1. Условия дискретности спектра (436). 2. Предельный спектр (437). 3. Отрицательный дискретный спектр (438). 4. Абсолютно непрерывный спектр (439). 5. Самосопряжённость оператора Шрёдингера (440). 6. Спектр оператора Шрёдингера с убывающим потенциалом (441). 7. Оператор Шрёдингера с периодическим потенциалом (442).
§ 4. Непрерывный спектр оператора энергии и задача рассеяния443
1. Частица во внешнем поле (443). 2. Система нескольких частиц (444). 3. Волновые операторы (446). 4. Стационарная постановка (447). 5. Интегральное уравнение теории рассеяния (449). 6. Случай сферической симметрии (450). 7. Общий случай (452). 8. Обратная задача теории рассеяния (452).
Г л а в а  X.  Обобщённые функции455
§ 1. Обобщённые функции и действия над ними455
1. Вводные замечания (455). 2. Обобщённые функции (456). 3. Другие теории обобщённых функций (458). 4. Действия над обобщёнными функциями (458). 5. Дифференцирование и интегрирование обобщённых функций (459). 6. Предел последовательности обобщённых функций (461). 7. Локальные свойства обобщённых функций (463). 8. Прямое произведение обобщённых функций (464). 9. Свёртка обобщённых функций (465). 10. Общий вид обобщённых функций (466). 11. Теорема о ядре (467). 12. Аналитические представления обобщённых функций одного переменного (467). 13. Обобщённые функции как граничные значения голоморфных функций (468).
§ 2. Обобщённые функции и расходящиеся интегралы470
1. Регуляризация расходящихся интегралов (470). 2. Регуляризация функций хλ+, xλ-, x-n и их линейных комбинаций (472). 3. Регуляризация функций со степенными особенностями (475). 4. Регуляризация в конечном промежутке (477). 5. Регуляризация на бесконечности (478). 6. Неканонические регуляризации (480). 7. Обобщённые функции хλ+, xλ- и им аналогичные как функции от параметра λ (482). 8. Однородные обобщённые функции (485). 9. Таблица производных некоторых обобщённых функций (486). 10. Дифференцирование и интегрирование произвольного порядка (486). 11. Выражение некоторых специальных функций в виде производных дробного порядка (488).
§ 3. Некоторые обобщённые функции нескольких переменных489
1. Обобщённая функция rλ (489). 2. Обобщённые функции, связанные с квадратичными формами (491). 3. Обобщённые функции (P + i0)λ и (P — i0)λ (493). 4. Обобщённые функции вида ℐλf(ℐ, λ) (494). 5. Обобщённые функции на гладких поверхностях (496).
§ 4. Преобразование Фурье обобщённых функций499
1. Мультипликаторы и свёртыватели (499). 2. Пространств типов S и ℇ (500). 3. Предельные случаи пространств типа S и ℇ (503). 4. Таблица преобразований Фурье обобщённых функций одного переменного (505). 5. Положительно определённые обобщённые функции (509). 6. Условно положительно определённые функции (510). 7. Теорема Пэли-Винера-Шварца (511). 8. Спектральные функции для голоморфных функций (511). 9. Теорема об острие клина (512). 10. Преобразование Радона основных функций и его свойства (515). 11. Преобразование Радона обобщённых функций (514).
§ 5. Обобщённые функции и дифференциальные уравнения515
1. Фундаментальные решения (515). 2. Фундаментальные решения для некоторых дифференциальных уравнений (518). 3. Построение фундаментальных решении для эллиптических уравнений (519). 4. Фундаментальные решения однородных регулярных уравнений (522). 5. Фундаментальное решение задачи Коши (523).
§ 6. Обобщённые функции в комплексном пространстве525
1. Обобщённые функции одного комплексного переменного (525). 2. Обобщённые функции m комплексных переменных (528).
Библиография532

Книги на ту же тему

  1. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, Варга Р., 1974
  2. Прикладной функциональный анализ, Балакришнан А. В., 1980
  3. Лекции по нелинейному функциональному анализу, Ниренберг Л., 1977
  4. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
  5. Функциональный анализ, Рудин У., 1975
  6. Функциональный анализ, Иосида К., 1967
  7. Элементарное введение в абстрактную алгебру, Фрид Э., 1979
  8. Лекции по дополнительным главам математического анализа, Соболев В. И., 1968
  9. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд., Натансон И. П., 1974
  10. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
  11. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 2-е изд., исправл., Кострикин А. И., 2001
  12. Алгебра, Ленг С., 1968
  13. Дополнительные главы математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, Макаров И. П., 1968
  14. Теория измеримых множеств и мультимножеств, Петровский А. Б., 2018
  15. Интегральные уравнения (Введение в теорию), Краснов М. Л., 1975
  16. Распределение собственных значений (самосопряжённые обыкновенные дифференциальные операторы), Костюченко А. Г., Саргсян И. С., 1979
  17. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
  18. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 3-е изд., стереотип., Понтрягин Л. С., 1970
  19. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
  20. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
  21. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Ладыженская О. А., 1961
  22. Квантовая механика, Бете Г., 1965
  23. Квантовая механика. — Изд. 2-е перераб., Давыдов А. С., 1973
  24. Квантовая механика (конспект лекций), Ферми Э., 1968
  25. Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989

© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru