Математика

Численные процессы решения дифференциальных уравнений

год издания — 1969, кол-во страниц — 368, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б тканев., масса книги — 520 гр., издательство — Мир

цена: 800.00 руб

Сохранность книги — хорошая

NUMERICAL PROCESSES
in
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Ivo Babuška, Milan Práger and Emil Vitásek
PRAHA, CZECHOSLOVAKIA

1966
SNTL — PUBLISHERS OF TECHNICAL LITERATURE, PRAGUE
INTERSCIENCE PUBLISHERS
A DIVISION OF JOHN WILEY & SONS

Пер. с англ. В. Л. Каткова

Формат 60x90 1/16. Бумага для глубокой печати

Книга посвящена исследованию устойчивости и оптимизации численных процессов решения дифференциальных уравнений. В отличие от монографий подобного рода в ней подробно изучаются ошибки округления при выполнении расчётов на машинах с плавающей и фиксированной запятой. Авторы развили оригинальный подход к этой проблеме и получили ряд новых интересных результатов. Многочисленные примеры иллюстрируют особенности различных алгоритмов.

Книга рассчитана на широкий круг читателей. Она будет полезна математикам-вычислителям, программистам, инженерам, использующим ЭВМ, а также всем, кто имеет дело с численным решением дифференциальных уравнений.

Эта книга, написанная в 1959 — 1964 г., представляет собой переработанное издание чешского варианта, опубликованного Государственным издательством технической литературы (Прага, 1964 г.). Толчком к её написанию послужил теоретический анализ численных решений ряда технических проблем, приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Авторы не пытались исчерпывающе описать в этой книге численные методы и превратить книгу в справочник по алгоритмам, пригодным для использования на вычислительных машинах. Вместо этого мы выбрали некоторые аспекты численного решения дифференциальных уравнений, которые могут быть интересны в теоретическом плане и, как мы надеемся, окажутся полезными на практике.

Книга содержит много численных примеров. Они приведены не только для пояснения идей и методов, но и для иллюстрации некоторых явлений, встречающихся при численных расчётах; кроме того, эти примеры предназначены для сопоставления теоретических выводов с практическими результатами. В некоторых примерах приведены серии расчётов, полученных на различных вычислительных машинах.

Выбор материала был в большой степени обусловлен объёмом книги, а также теми целями, которые ставили перед собой авторы. Мы ограничились в основном линейными задачами (за исключением задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений). Полностью опущены проблема собственных значений и результаты, связанные с уравнениями гиперболического типа.

Ради краткости и простоты мы совсем не касались специфических явлений, встречающихся при выполнении расчётов с плавающей запятой, и сконцентрировали внимание на проблемах, которые являются общими для вычислений с плавающей и фиксированной запятой. Ссылки, относящиеся к работам этого направления, даны прямо в тексте. Предполагается, что читатель знаком с основами высшей математики; в первую очередь это относится к теории дифференциальных уравнений, а в некоторых местах используется и функциональный анализ. Практический опыт численных расчётов на вычислительных машинах у читателя может отсутствовать; если же такой опыт имеется, то он, конечно, поможет пониманию трактуемых в книге вопросов.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
Авторы

От редактора	5
Из предисловия	7

Глава 1. Введение	9

§ 1.1. Оптимизация	10
§ 1.2. Численная устойчивость	10
§ 1.3. Возможность и надёжность	11

Глава 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация вычислений	13

§ 2.1. Устойчивые и неустойчивые численные процессы	13
§ 2.2. Устойчивость численных процессов	20
§ 2.3. Приложения	25
2.3.1. Устойчивость процесса в примере 2.26	25
2.3.2. Счёт в примере 2.2а	30
2.3.3. Счёт в примере 2.3	30
2.3.4. Счёт в примере 2.1	31
2.3.5. Счёт в примере 2.4	34
§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости	36
2.4.1. Вычисления с фиксированной и плавающей запятой	36
2.4.2. О максималистском и статистическом характере ошибок
округления	38
2.4.3. Практическое значение понятия α_k(β_k)-L последовательности	39
2.4.4. Локальная и глобальная устойчивость	41
2.4.5. Итерационные процессы и численная устойчивость	46
§ 2.5. Асимптотические оценки и численная устойчивость	53
2.5.1. Асимптотическая оценка погрешности численного процесса	53
2.5.2. Асимптотические оценки и численная устойчивость	55
§ 2.6. О некоторых проблемах оптимизации	57
2.6.1. Оптимальная аппроксимация функционалов в гильбертовом
пространстве	57
2.6.2. Об оптимальной квадратурной формуле	57

Глава 3. Задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений	63

§ 3.1. Введение	63
3.1.1. Вводные замечания	63
3.1.2. Оценки ошибок	65
§ 3.2. Разностные методы	66
3.2.1. Общая разностная формула	67
3.2.2. Сходимость разностных формул	68
3.2.3. Устойчивость разностных формул	76
3.2.4. Некоторые наиболее употребительные разностные формулы	83
3.2.5. Пример	85
3.2.6. Оптимальные разностные формулы	86
§ 3.3. Общие одношаговые методы	93
3.3.1. Сходимость и устойчивость общих одношаговых методов	93
3.3.2. Формулы Рунге-Кутта третьей степени	98
3.3.3. Формулы Рунге-Кутта четвёртой степени	100
§ 3.4. Системы дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков	106
§ 3.5. Оценки погрешности	113
3.5.1. Введение	113
3.5.2. Оценки погрешности метода Рунге-Кутта	114
3.5.3. Асимптотические ошибки	118

Глава 4. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений	121

§ 4.1. Введение	121
§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши	123
4.2.1. Метод комбинации решений	123
4.2.2. Простая факторизация для уравнения второго порядка	125
4.2.3. Аддитивная факторизация	129
4.2.4. Составная факторизация	131
4.2.5. Численная устойчивость методов сведения краевых задач к
задачам Коши	134
4.2.6. Простая факторизация для уравнения четвёртого порядка	136
4.2.7. Устойчивость системы уравнений, входящей в метод простой
факторизации для уравнения четвёртого порядка	137
4.2.8. Факторизация системы уравнений	152
§ 4.3. Метод конечных разностей	152
4.3.1. Введение	152
4.3.2. О некоторых интегральных тождествах, используемых при
решении самосопряжённых дифференциальных уравнений второго
порядка	153
4.3.3. Метод конечных разностей для самосопряжённого
дифференциального уравнения второго порядка	157
4.3.4. Другой подход к построению конечно-разностных формул	164
4.3.5. Сходимость метода конечных разностей	167
4.3.6. Примеры	169
4.3.7. Метод конечных разностей решения самосопряжённых краевых
задач для дифференциальных уравнений более высокого порядка	174
§ 4.4. Оптимизация разностных формул для уравнений второго порядка	183
4.4.1. Введение	183
4.4.2. Об оптимальных конечно-разностных схемах	185
4.4.3. Построение асимптотически оптимальной последовательности
матриц	187
4.4.4. Оптимальные схемы в пространстве W₂⁽¹⁾	190
4.4.5. Некоторые основные положения теории преобразований Фурье	195
4.4.6. О проблеме оптимальных конечно-разностных схем для
бесконечных интервалов	196
4.4.7. Об оптимальных схемах в пространстве W₂⁽²⁾	202
§ 4.5. Решение систем уравнений, возникающих в методе конечных
разностей	204
4.5.1. Метод исключения Гаусса для уравнений второго порядка	204
4.5.2. Метод окаймления для уравнений второго порядка	221
4.5.3. Разностная аддитивная факторизация	226
4.5.4. Метод исключения для дифференциальных уравнений
четвёртого порядка	228
§ 4.6. Вариационные методы	236
4.6.1. О проблемах оптимальной аппроксимации	236
4.6.2. Некоторые основные результаты о положительно определённых
краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений	237
4.6.3. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве
D(sqrt{A}, L)	240
4.6.4. О применении метода оптимальной аппроксимации к одной
конкретной задаче в пространстве D(sqrt{A}, L)	242
4.6.5. О выборе оптимального базиса в пространстве
D(sqrt{A}, L)	245
4.6.6. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве D(A, L)	249
4.6.7. О другом оптимальном свойстве метода оптимальной
аппроксимации в пространстве D(A, L)	250
4.6.8. О выборе оптимального базиса в пространстве D(A, L)	251
4.6.9. Заключительные замечания	255
§ 4.7. Устойчивость численных процессов решения краевых задач
методом оптимальной аппроксимации	255
4.7.1. Численная устойчивость методов § 4.6	255
4.7.2. О некоторых основных свойствах метода исключения Гаусса	260
4.7.3. Численно оптимальные системы координатных функций	235

Глава 5. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными эллиптического типа	271

§ 5.1. Введение	271
§ 5.2. Метод конечных разностей	274
5.2.1. Введение	274
5.2.2. О конечно-разностном методе для самосопряжённого
уравнения второго порядка в случае квадратной сетки	274
5.2.3. О конечно-разностных методах для самосопряжённого
уравнения второго порядка в случае треугольной сетки	279
5.2.4. О простейшей формулировке краевых условий Дирихле для
уравнения второго порядка	281
5.2.5. Другие формулировки краевого условия Дирихле	284
5.2.6. О формулировке краевых условий общего вида	290
5.2.7. О сходимости конечно-разностных методов	294
5.2.8. Конечно-разностные методы решения самосопряжённых краевых
задач для уравнений более высокого порядка	296
§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений, соответствующих
дифференциальным уравнениям второго порядка	300
5.3.1. Введение	300
5.3.2. Метод исключения	301
5.3.3. Итерационные методы	303
5.3.4. Итерационный метод Якоби	307
5.3.5. Итерации Гаусса-Зейделя и верхняя релаксация	312
§ 5.4. Вариационные методы решения краевых задач	318
5.4.1. О проблеме оптимальной аппроксимации	318
5.4.2. О решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом
оптимальной аппроксимации в D(sqrt{A}, L)	318
5.4.3. Метод Канторовича	319

Глава 6. Дифференциальные уравнения с частными производными
параболического типа	321

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач	321
6.1.1. Разностные уравнения	321
6.1.2. Сходимость метода конечных разностей	327
6.1.3. Некоторые вопросы численной устойчивости	337
§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач	345
6.2.1. Построение, сходимость и численная устойчивость некоторых
простых формул	345
6.2.2. Методы переменных направлений	351

Библиография	354
Именной указатель	359
Предметный указатель	361

Книги на ту же тему

Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Холл Д., Уатт Д., ред., 1979
Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
Численные методы расчёта одномерных систем, Воеводин А. Ф., Шугрин С. М., 1981
Вычислительные методы в физике, Поттер Д., 1975
Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
Численное решение задач гидромеханики, Рихтмайер Р., ред., 1977
Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Митчелл Э., Уэйт Р., 1981
Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Нахушева В. А., 2006
Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
Задачи для ультрагиперболических уравнений в полупространстве, Костомаров Д. П., 2006
Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
Локальные свойства решений уравнения переноса, Гермогенова Т. А., 1986
Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными, Розанов Ю. А., 1995
Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения, Оксендаль Б., 2003

http://knigoprovod.ru

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему