| Предисловие | 13 |
| Введение | 14 |
| |
 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ |
| Случайные события |
| |
| Г л а в а п е р в а я. Основные понятия теории вероятностей | 17 |
| |
| § 1. Испытания и события | 17 |
| § 2. Виды случайных событий | 17 |
| § 3. Классическое определение вероятности | 18 |
| § 4. Основные формулы комбинаторики | 22 |
| § 5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей | 23 |
| § 6. Относительная частота. Устойчивость относительной |
| частоты | 24 |
| § 7. Ограниченность классического определения |
| вероятности. Статистическая вероятность | 26 |
| § 8. Геометрические вероятности | 27 |
| Задачи | 30 |
| |
| Г л а в а в т о р а я. Теорема сложения вероятностей | 31 |
| |
| § 1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий | 31 |
| § 2. Полная группа событий | 33 |
| § 3. Противоположные события | 34 |
| § 4. Принцип практической невозможности маловероятных |
| событий | 35 |
| Задачи | 36 |
| |
| Г л а в а т р е т ь я. Теорема умножения вероятностей | 37 |
| |
| § 1. Произведение событий | 37 |
| § 2. Условная вероятность | 37 |
| § 3. Теорема умножения вероятностей | 38 |
| § 4. Независимые события. Теорема умножения для |
| независимых событий | f 40 |
| § 5. Вероятность появления хотя бы одного события | 44 |
| Задачи | 47 |
| |
| Г л а в а ч е т в ё р т а я. Следствия теорем сложения и умножения | 48 |
| |
| § 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий | 48 |
| § 2. Формула полной вероятности | 50 |
| § 3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса | 52 |
| Задачи | 53 |
| |
| Г л а в а п я т а я. Повторение испытаний | 55 |
| |
| § 1. Формула Бернулли | 55 |
| § 2. Локальная теорема Лапласа | 57 |
| § 3. Интегральная теорема Лапласа | 59 |
| § 4. Вероятность отклонения относительной частоты от |
| постоянной вероятности в независимых испытаниях | 61 |
| Задачи | 63 |
| |
| ЧАСТЬ ВТОРАЯ |
| Случайные величины |
| |
| Г л а в а ш е с т а я. Виды случайных величин. Задание дискретной |
| случайной величины | 64 |
| |
| § 1. Случайная величина | 64 |
| § 2. Дискретные и непрерывные случайные величины | 65 |
| § 3. Закон распределения вероятностей дискретной |
| случайной величины | 65 |
| § 4. Биномиальное распределение | 66 |
| § 5. Распределение Пуассона | 68 |
| § 6. Простейший поток событий | 69 |
| § 7. Геометрическое распределение | 72 |
| § 8. Гипергеометрическое распределение | 73 |
| Задачи | 74 |
| |
| Г л а в а с е д ь м а я. Математическое ожидание дискретной |
| случайной величины | 75 |
| |
| § 1. Числовые характеристики дискретных случайных |
| величин | 75 |
| § 2. Математическое ожидание дискретной случайной |
| величины | 76 |
| § 3. Вероятностный смысл математического ожидания | 77 |
| § 4. Свойства математического ожидания | 78 |
| § 5. Математическое ожидание числа появлений события в |
| невависимых испытаниях | 83 |
| Задачи | 84 |
| |
| Г л а в а в о с ь м а я. Дисперсия дискретной случайной величины | 85 |
| |
| § 1. Целесообразность введения числовой характеристики |
| рассеяния случайной величины | 85 |
| § 2. Отклонение случайной величины от её математического |
| ожидания | 86 |
| § 3. Дисперсия дискретной случайной величины | 87 |
| § 4. Формула для вычисления дисперсии | 89 |
| § 5. Свойства дисперсии | 90 |
| § 6. Дисперсия числа появлений события в независимых |
| испытаниях | 92 |
| § 7. Среднее квадратическое отклонение | 94 |
| § 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно |
| независимых случайных величин | 95 |
| § 9. Одинаково распределённые взаимно независимые |
| случайные величины | 95 |
| § 10. Начальные и центральные теоретические моменты | 98 |
| Задачи | 100 |
| |
| Г л а в а д е в я т а я. Закон больших чисел | 101 |
| |
| § 1. Предварительные замечания | 101 |
| § 2. Неравенство Чебышева | 101 |
| § 3. Теорема Чебышева | 103 |
| § 4. Сущность теоремы Чебышева | 106 |
| § 5. Значение теоремы Чебышева для практики | 107 |
| § б. Теорема Бернулли | 108 |
| Задачи | 110 |
| |
| Г л а в а д е с я т а я. Функция распределения вероятностей |
| случайной величины | 111 |
| |
| § 1. Определение функции распределения | 111 |
| § 2. Свойства функции распределения | 112 |
| § 3. График функции распределения | 114 |
| Задачи | 115 |
| |
| Г л а в а о д и н н а д ц а т а я. Плотность распределения |
| вероятностей непрерывной случайной величины | 116 |
| |
| § 1. Определение плотности распределения | 116 |
| § 2. Вероятность попадания непрерывной случайной |
| величины в заданный интервал | 116 |
| § 3. Нахождение функции распределения по известной |
| плотности распределения | 118 |
| § 4. Свойства плотности распределения | 119 |
| § 5. Вероятностный смысл плотности распределения | 121 |
| § 6. Закон равномерного распределения вероятностей | 122 |
| Задачи | 124 |
| |
| Г л а в а д в е н а д ц а т а я. Нормальное распределение | 124 |
| |
| § 1. Числовые характеристики непрерывных случайных |
| величин | 124 |
| § 2. Нормальное распределение | 127 |
| § 3. Нормальная кривая | 130 |
| § 4. Влияние параметров нормального распределения на |
| форму нормальной кривой | 131 |
| § 5. Вероятность попадания в заданный интервал |
| нормальной случайной величины | 132 |
| § 6. Вычисление вероятности заданного отклонения | 133 |
| § 7. Правило трёх сигм | 134 |
| § 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка |
| центральной предельной теоремы | 135 |
| § 9. Оценка отклонения теоретического распределения от |
| нормального. Асимметрия и эксцесс | 137 |
| § 10. Функция одного случайного аргумента и её |
| раслределение | 139 |
| § 11. Математическое ожидание функции одного случайного |
| аргумента | 141 |
| § 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение |
| суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального |
| распределения | 143 |
| § 13. Распределение «хи квадрат» | 145 |
| § 14. Распределение Стьюдента | 146 |
| § 15. Распределение F Фишера-Снедекора | 147 |
| Задачи | 147 |
| |
| Г л а в а т р и н а д ц а т а я. Показательное распределение | 149 |
| |
| § 1. Определение показательного распределения | 149 |
| § 2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно |
| распределённой случайной величины | 150 |
| § 3. Числовые характеристики показательного распределения | 151 |
| § 4. Функция надёжности | 152 |
| § 5. Показательный закон надёжности | 153 |
| § 6. Характеристическое свойство показательного закона |
| надёжности | 154 |
| Задачи | 155 |
| |
| Г л а в а ч е т ы р н а д ц а т а я. Система двух случайных величин | 155 |
| |
| § 1. Понятие о системе нескольких случайных величин | 155 |
| § 2. Закон распределения вероятностей дискретной |
| двумерной случайной величины | 156 |
| § 3. Функция распределения двумерной случайной |
| величины | 158 |
| § 4. Свойства функции распределения двумерной |
| случайной величины | 159 |
| § 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу | 161 |
| § 6. Вероятность попадания случайной точки в |
| прямоугольник | 162 |
| § 7. Плотность совместного распределения вероятностей |
| непрерывной двумерной случайной величины |
| (двумерная плотность вероятности) | 163 |
| § 8. Нахождение функции распределения системы по |
| известной плотности распределения | 163 |
| § 9. Вероятностный смысл двумерной плотности |
| вероятности | 164 |
| § 10. Вероятность попадания случайной точки в |
| произвольную область | 165 |
| § 11. Свойства двумерной плотности вероятности | 167 |
| § 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих |
| двумерной случайной величины | 168 |
| § 13. Условные законы распределения составляющих |
| системы дискретных случайных величин | 169 |
| § 14. Условные законы распределения составляющих |
| системы непрерывных случайных величин | 171 |
| § 15. Условное математическое ожидание | 173 |
| § 16. Зависимые и независимые случайные величины | 174 |
| § 17. Числовые характеристики системы двух случайных |
| величин. Корреляционный момент. Коэффициент |
| корреляции | 176 |
| § 18. Коррелированнссть и зависимость случайных величин | 179 |
| § 19. Нормальный закон распределения на плоскости | 181 |
| § 20. Линейная регрессия. Прямые линии |
| среднеквадратической регрессии | 182 |
| § 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция | 184 |
| Задачи | 185 |
| |
| ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ |
| Элементы математической статистики |
| |
| Г л а в а п я т н а д ц а т а я. Выборочный метод | 187 |
| |
| § 1. Задачи математической статистики | 187 |
| § 2. Краткая историческая справка | 188 |
| § 3. Генеральная и выборочная совокупности | 188 |
| § 4. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная |
| выборка | 189 |
| § 5. Способы отбора | 190 |
| § 6. Статистическое распределение выборки | 192 |
| § 7. Эмпирическая функция распределения | 102 |
| § 8. Полигон и гистограмма | 194 |
| Задачи | 196 |
| |
| Г л а в а ш е с т н а д ц а т а я. Статистические оценки |
| параметров распределения | 197 |
| |
| § 1. Статистические оценки параметров распределения | 197 |
| § 2. Несмещённые, эффективные и состоятельные оценки | 198 |
| § 3. Генеральная средняя | 199 |
| § 4. Выборочная средняя | 200 |
| § 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. |
| Устойчивость выборочных средних | 201 |
| § 6. Групповая и общая средние | 203 |
| § 7. Отклонение от общей средней и его свойство | 204 |
| § 8. Генеральная дисперсия | 205 |
| § 9. Выборочная дисперсия | 206 |
| § 10. Формула для вычисления дисперсии | 207 |
| § 11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая |
| дисперсии | 207 |
| § 12. Сложение дисперсий | 210 |
| § 13. Оценка генеральной дисперсии по исправленной |
| выборочной | 211 |
| § 14. Точность оценки, доверительная вероятность |
| (надёжность). Доверительный интервал | 213 |
| § 15. Доверительные интервалы для оценки математического |
| ожидания нормального распределения при известном σ | 214 |
| § 16. Доверительные интервалы для оценки математического |
| ожидания нормального распределения при неизвестном σ | 216 |
| § 17. 0Иенка истинного значения измеряемой величины | 219 |
| § 18. Доверительные интервалы для оценки среднего |
| квадратического отклонения σ нормального |
| распределения | 220 |
| § 19. Оценка точности измерений | 223 |
| § 20. Оценка вероятности (биномиального распределения) |
| по относительной частоте | 224 |
| § 21. Метод моментов для точечной оценки параметров |
| распределения | 226 |
| § 22. Метод наибольшего правдоподобия | 229 |
| § 23. Другие характеристики вариационного ряда | 234 |
| Задачи | 235 |
| |
| Г л а в а с е м н а д ц а т а я. Методы расчёта сводных |
| характеристик выборки | 237 |
| |
| § 1. Условные варианты | 237 |
| § 2. Обычные, начальные и центральные эмпирические |
| моменты | 238 |
| § 3. Условные эмпирические моменты. Отыскание |
| центральных моментов по условным | 239 |
| § 4. Метод произведений для вычисления выборочных |
| средней и дисперсии | 241 |
| § 5. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим | 243 |
| § 6. Эмпирические и выравнивающие (теоретические) |
| частоты | 245 |
| § 7. Построение нормальной кривой по опытным данным | 249 |
| § 8. Оценка отклонения эмпирического распределения от |
| нормального. Асимметрия и эксцесс | 250 |
| Задачи | 252 |
| |
| Г л а в а в о с е м н а д ц а т а я. Элементы теории корреляции | 253 |
| |
| § 1. Функциональная, статистическая и корреляционная |
| зависимости | 253 |
| § 2. Условные средние | 254 |
| § 3. Выборочные уравнения регрессии | 254 |
| § 4. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой |
| линии среднеквадратичной регрессии по |
| несгруппированным данным | 255 |
| § 5. Корреляционная таблица | 257 |
| § 6. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой |
| линии регрессии по сгруппированным данным | 259 |
| § 7. Выборочный коэффициент корреляции | 261 |
| § 8. Методика вычисления выборочного коэффициента |
| корреляции | 262 |
| § 9. Пример на отыскание выборочного уравнения прямой |
| линии регрессии | 267 |
| § 10. Предварительные соображения к введению меры |
| любой корреляционной связи | 268 |
| § 11. Выборочное корреляционное отношение | 270 |
| § 12. Свойства выборочного корреляционного отношения | 272 |
| § 13. Корреляционное oтношение как мера корреляционной |
| связи. Достоинства и недостатки этой меры | 274 |
| § 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции | 275 |
| § 15. Понятие о множественной корреляции | 276 |
| Задачи | 278 |
| |
| Г л а в а д е в я т н а д ц а т а я. Статистическая проверка |
| статистических гипотез | 281 |
| |
| § 1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, |
| простая и сложная гипотезы | 281 |
| § 2. Ошибки первого и второго рода | 282 |
| § 3. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. |
| Наблюдаемое значение критерия | 283 |
| § 4. Критическая область. Область принятия гипотезы. |
| Критические точки | 284 |
| § 5, Отыскание правосторонней критической области | 285 |
| § 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических |
| областей | 286 |
| § 7. Дополнительные сведения о выборе критической |
| области. Мощность критерия | 287 |
| § 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных |
| совокупностей | 288 |
| § 9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с |
| гипотетической генеральной дисперсией нормальной |
| совокупности | 293 |
| § 10. Сравнение двух средних нормальных генеральных |
| совокупностей, дисперсии которых известны |
| (независимые выборки) | 297 |
| § 11. Сравнение двух средних произвольно распределенных |
| генеральных совокупностей (большие независимые |
| выборки) | 303 |
| § 12. Сравнение двух средних нормальных генеральных |
| совокупностей, дисперсии которых неизвестны и |
| одинаковы (малые независимые выборки) | 305 |
| § 13. Сравнение выборочной средней с гипотетической |
| генеральной средней нормальной совокупности | 308 |
| § 14. Связь между двусторонней критической областью и |
| доверительным интервалом | 312 |
| § 15. Определение минимального объема выборки при |
| сравнении выборочной и гипотетической генеральной |
| средних | 313 |
| § 16. Пример на отыскание мощности критерия | 313 |
| § 17. Сравнение двух средних нормальных генеральных |
| совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые |
| выборки) | 314 |
| § 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с |
| гипотетической вероятностью появления события | 317 |
| § 19. Сравнение двух вероятностей биномиальных |
| распределений | 319 |
| § 20. Сравнение нескольких дисперсий нормальных |
| генеральных совокупностей по выборкам различного |
| объёма. Критерий Бартлетта | 322 |
| § 21. Сравнение нескольких дисперсий нормальных |
| генеральных совокупностей по выборкам одинакового |
| объёма. Критерий Кочрена | 325 |
| § 22. Проверка гипотезы о значимости выборочного |
| коэффициента корреляции | 327 |
| § 23. Проверка гипотезы о нормальном распределении |
| генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона | 329 |
| § 24. Методика вычисления теоретических частот нормального |
| распределения | 333 |
| § 25. Выборочный коэффициент ранговой корреляции |
| Спирмена и проверка гипотезы о его значимости | 335 |
| § 26. Выборочный коэффициент ранговой корреляции |
| Кендалла и проверка гипотезы о его значимости | 341 |
| § 27. Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об |
| однородности двух выборок | 343 |
| Задачи | 346 |
| |
| Г л а в а д в а д ц а т а я. Однофакторный дисперсионный |
| анализ | 349 |
| |
| § 1. Сравнение нескольких средних. Понятие о |
| дисперсионном анализе | 349 |
| § 2. Общая, факторная и остаточная суммы квадратов |
| отклонений | 350 |
| § 3. Связь между общей, факторной и остаточной суммами | 354 |
| § 4. Общая, факторная и остаточная дисперсии | 355 |
| § 5. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного |
| анализа | 355 |
| § 6. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях | 358 |
| Задачи | 361 |
| |
| ЧАСТЬ ЧЕТВЁРТАЯ |
| Метод Монте-Карло. Цепи Маркова |
| |
| Г л а в а д в а д ц а т ь п е р в а я. Моделирование |
| (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карло | 363 |
| |
| § 1. Предмет метода Монте-Карло | 363 |
| § 2. Оценка погрешности метода Монте-Карло | 364 |
| § 3. Случайные числа | 366 |
| § 4. Разыгрывание дискретной случайной величины | 366 |
| § 5. Разыгрывание противоположных событий | 368 |
| § 6. Разыгрывание полной группы событий | 369 |
| § 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины. |
| Метод обратных функций | 371 |
| § 8. Метод суперпозиции | 375 |
| § 9. Приближённое разыгрывание нормальной случайной |
| величины | 377 |
| Задачи | 379 |
| |
| Г л а в а д в а д ц а т ь в т о р а я. Первоначальные сведения о |
| цепях Маркова | 380 |
| |
| § 1. Цепь Маркова | 380 |
| § 2. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. |
| Матрица перехода | 381 |
| § 3. Равенство Маркова | 383 |
| Задачи | 385 |
| |
| ЧАСТЬ ПЯТАЯ |
| Случайные функции |
| |
| Г л а в а д в а д ц а т ь т р е т ь я. Случайные функции | 386 |
| |
| § 1. Основные задачи | 386 |
| § 2. Определение случайной функции | 386 |
| § 3. Корреляционная теория случайных функций | 388 |
| § 4. Математическое ожидание случайной функции | 390 |
| § 5. Свойства математического ожидания случайной |
| функции | 390 |
| § 6. Дисперсия случайной функции | 391 |
| § 7. Свойства дисперсии случайной функции | 392 |
| § 8. Целесообразность введения корреляционной функции | 393 |
| § 9. Корреляционная функция случайной функции | 394 |
| § 10. Свойства корреляционной функции | 395 |
| § 11. Нормированная корреляционная функция | 398 |
| § 12. Взаимная корреляционная функция | 399 |
| § 13. Свойства взаимной корреляционной функции | 400 |
| § 14. Нормированная взаимная корреляционная функция | 401 |
| § 15. Характеристики суммы случайных функций | 402 |
| § 16. Производная случайной функции и её характеристики | 405 |
| § 17. Интеграл от случайной функции и его характеристики | 409 |
| § 18. Комплексные случайные величины и их числовые |
| характеристики | 413 |
| § 19. Комплексные случайные функции и их характеристики | 415 |
| Задачи | 417 |
| |
| Г л а в а д в а д ц а т ь ч е т в ё р т а я. Стационарные случайные |
| функции | 419 |
| |
| § 1. Определение стационарной случайной функции | 419 |
| § 2. Свойства корреляционной функции стационарной |
| случайной функции | 421 |
| § 3. Нормированная корреляционная функция |
| стационарной случайной функции | 421 |
| § 4. Стационарно связанные случайные функции | 423 |
| § 5. Корреляционная функция производной стационарной |
| случайной функции | 424 |
| § 6. Взаимная корреляционная функция стационарной |
| случайной функции и её производной | 425 |
| § 7. Корреляционная функция интеграла от стационарной |
| случайной функции | 426 |
| § 8. Определение характеристик эргодических стационарных |
| случайных функций из опыта | 428 |
| Задачи | 430 |
| |
| Г л а в а д в а д ц а т ь п я т а я. Элементы спектральной |
| теории стационарных случайных функций | 431 |
| |
| § 1. Представление стационарной случайной функции в виде |
| гармонических колебаний со случайными амплитудами |
| и случайными фазами | 431 |
| § 2. Дискретный спектр стационарной случайной функции | 435 |
| § 3. Непрерывный спектр стационарной случайной функции. |
| Спектральная плотность | 437 |
| § 4. Нормированная спектральная плотность | 441 |
| § 5. Взаимная спектральная плотность стационарных и |
| стационарно связанных случайных функций | 442 |
| § 6. Дельта-функция | 443 |
| § 7. Стационарный белый шум | 444 |
| § 8. Преобразование стационарной случайной функции |
| стационарной линейной динамической системой | 446 |
| Задачи | 449 |
| |
| Дополнение | 451 |
| Приложения | 461 |
| Предметный указатель | 474 |
