год издания — 2007, кол-во страниц — 632, ISBN — 978-5-7262-0803-9, тираж — 200, язык — русский, тип обложки — мягк., масса книги — 690 гр., издательство — МИФИ

КНИГА СНЯТА С ПРОДАЖИ

Р е ц е н з е н т: д-р ф.-м. наук, проф. В. П. Яковлев

Формат 60x84 1/16

Учебное пособие написано на основе лекций, читаемых на третьем курсе Высшего физического колледжа, существующего на правах факультета в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете), студентам, обучающимся по специальностям «Физика конденсированного состояния», «Лазерная физика», «Физика плазмы», а также на основе практических занятий по компьютерному моделированию в среде MATLAB.

В книге рассмотрены основные численные методы моделирования квантовых физических систем: метод точной диагонализации гамильтоновой матрицы; квантовый и классический методы Монте-Карло. Объяснены способы выбора адекватного дискретного базиса волновых функций, нахождения спектра и различных корреляционных функций систем, описываемых основными типами квантовых статистик — статистиками Ферми, Бозе и спиновой. Исследованы проблемы численного анализа температурных и термодинамических характеристик различных систем; проведено знакомство с современными моделями физики коррелированных состояний: различными моделями Хаббарда, Бозе-Хаббарда, спиновыми моделями, представлен достаточно полный обзор современных численных квантовых методов Монте-Карло, подробно рассмотрены детали многих квантовых алгоритмов.

Предназначено для студентов, специализирующихся в физике конденсированного состояния. Пособие также может быть полезно студентам и аспирантам других физических специальностей, а также преподавателям и специалистам, занимающимся физикой конденсированного состояния. Последняя часть книги, посвящённая квантовым методам Монте-Карло, предназначена для специалистов, занимающихся моделированием сложных сильнокоррелированных квантовых систем.

Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.

Материал книги основан на дисциплинах, читаемых студентам физико-математических специальностей: численных методах, уравнениях математической физики, квантовой механике, теории вероятностей, статистической физике и термодинамике. Некоторые разделы требуют элементарных представлений о физике твёрдого тела и физике сверхпроводимости. Последняя часть книги, посвящённая квантовым методам Монте-Карло, требует более детальных знаний по физике конденсированного состояния вещества и серьёзной теоретической подготовки по физико-математическим дисциплинам на уровне старших курсов физических факультетов.

Книга организована следующим образом. Сначала формулируется матричный вариант основной задачи — уравнение Шрёдингера для квантовой системы, рассматриваются математические аспекты задачи на собственные значения, приводятся необходимые сведения из курсов теории вероятностей, вычислительной математики; подчеркнём, что все математические аспекты численных расчётов затрагиваются только по мере необходимости, так как главная цель курса — дать физические основы численного моделирования реальных систем. Затем исследуется одночастичная задача, вводится понятие базиса, приводятся примеры различных представлений. Далее описываются основные типы квантовых статистик — статистика Ферми, Бозе и спиновая, формулируется представление о вторичном квантовании как эффективном аппарате дпя решения многочастичных квантовых задач, рассматривается метод точной диагонализации гамильтоновой матрицы, исследуются конкретные примеры одномерных узельных цепочек с различной статистикой. Затем вводится понятие о температуре, рассматривается термодинамика кластерных систем, разбираются методы численного решения таких систем. Далее описываются основные принципы моделирования методом Монте-Карло, обсуждаются проблемы оценки погрешности и автокорреляционного времени. На примере модели Изинга исследуется фазовый переход второго рода «парамагнетик-ферромагнетик»; в модели решёточного газа методом Монте-Карло исследуется фазовый переход первого рода «жидкость-газ»; показаны особенности моделирования вихревой решётки в высокотемпературных сверхпроводниках; далее дано представление о классических диаграммных методах Монте-Карло. При изучении книги читатель знакомится с наиболее известными моделями сильнокоррелированных систем: моделью Хаббарда, моделью Бозе-Хаббарда, спиновыми моделями и т.д., а также с известными аналитическими результатами для этих моделей.

Последняя часть книги предназначена для более подготовленного читателя, знакомого как с современным состоянием физики конденсированного состояния, так и с новыми эффективными численными алгоритмами. Она посвящена подробному обзору современных квантовых методов Монте-Карло, развитых за последние 25 лет. Сначала рассказывается о дискретных по мнимому времени методах, первых квантовых алгоритмах Монте-Карло, начиная с работ Хирша и других 1981 года, а далее обсуждаются более современные подходы в непрерывном времени, интенсивно развивающиеся в последние годы. Детально обсуждены основные особенности численных схем, построения алгоритмов, так что искушённый читатель может воспроизвести их. Кратко продемонстрированы реальные результаты расчёта в рамках наиболее востребованных моделей сильнокоррелированных систем. В конце каждой главы даны задачи для самостоятельного решения.

Авторы полагают, что книга будет полезна студентам старших курсов физико-математических специальностей университетов, аспирантам и молодым исследователям, изучающим физику сильнокоррелированных мезоскопических систем и интересующихся динамично развивающейся областью современной физики конденсированного состояния — численным моделированием реальных физических систем.

Предисловие

Предисловие	9
Введение	11

ЧАСТЬ 1
КВАНТОВЫЕ ОДНОЧАСТИЧНЫЕ ЗАДАЧИ	13

1. Матричная формулировка квантовой механики. Операции с матрицами	13

1.1. Уравнение Шрёдингера	13
1.2. Собственно энергетическое представление и собственные функции
оператора H	15
1.3. Определение спектра. Инварианты матриц	19

2. Поиск и сортировка. Математические проблемы при построении
базисных функций	21

3. Квантовые одночастичные задачи	30

3.1. Бесконечная потенциальная яма	31
3.2. Конечная потенциальная яма	36
3.3. Импульсное представление	40
3.3.1. Дискретное преобразование Фурье	40
3.3.2. Решение одночастичной задачи в импульсном представлении	46

ЧАСТЬ 2
КВАНТОВЫЕ МНОГОЧАСТИЧНЫЕ ЗАДАЧИ	53

4. Формализм вторичного квантования. Представление чисел заполнения	53

4.1. Одномерный гармонический осциллятор	54
4.2. Поле смещений в струне	57
4.3. Формализм вторичного квантования	61
4.3.1. Одночастичный базис	62
4.3.2. Двух- и многочастичный базисы. Коммутационные соотношения	63
4.3.3. Базис в представлении чисел заполнения. Действие
операторов на волновые функции из этого базиса в случае
статистики Ферми	69
4.3.4. Операторы физических величин	73
4.4. Полевые операторы и вторичное квантование	78

5. Модели сильнокоррелированных систем. Статистика Ферми	80

5.1. Модель сильной связи	80
5.2. Гамильтонова матрица и базис для модели сильной связи	83
5.3. Аналитическое решение модели сильной связи без взаимодействия	89
5.4. Модель Хаббарда	94
5.4.1. Гамильтонова матрица модели Хаббарда и её расширенных
аналогов	98
5.4.2. Спектр модели Хаббарда и приближение среднего поля	100
5.4.3. Инварианты в модели Хаббарда	104
5.5. Расчёт квантово-механических средних	107

6. Бозе-статистика. Модель Бозе-Хаббарда	113

6.1. Вторичное квантование в случае статистики Бозе	113
6.2. Модель Бозе-Хаббарда	116
6.3. Построение гамильтоновой матрицы	121
6.4. Аналитическое решение модели Бозе-Хаббарда без взаимодействия	122
6.5. Инварианты в модели Бозе-Хаббарда	125
6.6. Градиентно-инвариантная фаза. Токовые состояния	127

7. Спиновые степени свободы	143

7.1. Спиновые операторы и узельный базис	143
7.2. Квантовые спиновые модели	150
7.3. Формирование гамильтоновой матрицы для спиновых моделей	156
7.4. Инварианты в спиновых моделях	160
7.5. Некоторые результаты для модели Гейзенберга. Спектр возбуждений	164
7.6. Соотношения и предельные случаи для фермионных, бозонных и
спиновых моделей	173
7.6.1. Связь между бозонной и спиновыми моделями	173
7.6.2. Соответствие между моделью Хаббарда и спиновыми моделями	175

8. Некоторые физические и математические особенности метода точной
диагонализации	179

8.1. Конечные кластеры и трансляционная инвариантность	179
8.2. Точная диагонализация больших матриц	198
8.2.1. Пространства и инвариантные подпространства. Процедура
Рэлея-Ритца	200
8.2.2. Алгоритм Ланцоша	202
8.3. Расчёт функций линейного отклика и плотности состояний	207

ЧАСТЬ 3
ТЕРМОДИНАМИКА. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО	215

9. Статистическое описание систем многих частиц	215

9.1. Микроканонический ансамбль	219
9.2. Канонический ансамбль	220
9.3. Большой канонический ансамбль	224
9.4. Примеры	228
9.4.1. Совокупность магнитных моментов	228
9.4.2. Модели сильной связи	232
9.4.3. Одномерная модель Изинга	236

10. Статистика Больцмана, Ферми и Бозе. Плотность состояний	243

10.1. Функции распределения	243
10.2. Плотность состояний	249
10.3. Термодинамика идеального ферми-газа	252
10.4. Термодинамика идеального бозе-газа	256

11. Методы Монте-Карло для физических систем	261

11.1. Случайные распределения. Вероятность	261
11.1.1. Метод обратной функции и метод фон Неймана	262
11.1.2. Нормальное распределение	270
11.1.3. Почти линейная плотность распределения	273
11.1.4. Двумерные распределения	276
11.2. Случайные величины и центральная предельная теорема. Общая
схема метода Монте-Карло	281
11.3. Расчёт интегралов методом Монте-Карло	291
11.4. Марковская цепь и принцип детального равновесия	297
11.4.1. Марковская цепь. Понятие эргодичности	297
11.4.2. Принцип детального равновесия	300
11.5. Практическая реализация методов Монте-Карло	304
11.5.1. Модель Изинга	304
11.5.1.1. Формулировка модели и некоторые аналитические
результаты	304
11.5.1.2. Метод Монте-Карло для модели Изинга	312
11.5.2. Решёточный газ	317
11.5.2.1. Формулировка модели и некоторые аналитические
результаты	318
11.5.2.2. Реализация алгоритма Монте-Карло	321
11.5.3. Моделирование вихревой структуры в высокотемпературных
сверхпроводниках	330
11.5.3.1. Формулировка модели и некоторые аналитические
и экспериментальные данные	330
11.5.3.2. Метод Монте-Карло для сверхпроводящей
ВТСП-пластины	338
11.5.3.3. Результаты моделирования для ВТСП-пластины	344
11.6. Расчёт термодинамических средних и оценка погрешности.
Автокорреляционный анализ в стохастическом моделировании	349
11.7. Диаграммные методы и высокотемпературное разложение.
Преобразование операторов физических величин	361

ЧАСТЬ 4
КВАНТОВЫЕ МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО	375

12. Дискретные квантовые алгоритмы Монте-Карло	378

12.1. Траекторный квантовый алгоритм Монте-Карло (World-Line Quantum
Monte-Carlo Algorithm)	378
12.1.1. Статистика Ферми	379
12.1.1.1. Алгоритм шахматной доски (Checkerboard algorithm)	379
12.1.1.2. Расчёт средних величин	387
12.1.1.2.1. Расчёт величин, локально сохраняющих число
частиц	388
12.1.1.2.2. Расчёт величин, не сохраняющих локально
число частиц	391
12.1.2. Проблема знака (Minus Sign Problem) в квантовом
алгоритме Монте-Карло	395
12.1.2.1. Два типа проблемы знака	395
12.1.2.2. Модели, свободные от проблемы знака	396
12.1.2.3. Быстрый расчёт и коррекция энергии основного
состояния	397
12.1.3. Особенности статистики Бозе	398
12.1.4. Winding numbers	402
12.1.5. Связь фермионного знака и winding numbers в траекторных
методах	403
12.1.5.1. Конфигурации без разрывов	405
12.1.5.2. Конфигурации с двумя разрывами	407
12.1.5.3. Конфигурации с несколькими разрывами	408
12.1.6. Особенности спиновой статистики	409
12.1.7. Модификации траекторного алгоритма Монте-Карло для
конкретных задач	415
12.1.7.1. Усечённые модели с ферми-статистикой. t—J-модель	415
12.1.7.2. Моделирование сверхпроводящих плоскостей в
высокотемпературных сверхпроводниках	420
12.1.7.2.1. Многозонная двумерная модель Эмери	421
12.1.7.2.2. Траекторные алгоритмы МК для плоскости CuO₂	424
12.2. Квантовый детерминантный метод МК	436
12.2.1. Основные принципы детерминантного алгоритма	436
12.2.2. Конкретная реализация метода	442
12.2.3. Расчёт плотности состояний с помощью детерминантного
алгоритма	451
Приложение 1. Преобразование Хаббарда-Стратоновича	455
Приложение 2. Теорема о следе экспоненты билинейной формы
одночастичных операторов	458
12.3. Петлевые алгоритмы (Loop algorithms)	460
12.4. Метод континуального интегрирования (Path integral Monte Carlo)	469
12.4.1. Матрица плотности и интегралы по траекториям	470
12.4.1.1. Определения и свойства	470
12.4.1.2. Уравнение для матрицы плотности	474
12.4.1.3. Матрица плотности для свободной частицы	475
12.4.1.4. Интегралы по траекториям	476
12.4.1.5. Функция Ф(х) для свободной частицы	478
12.4.1.6. Функция Ф(х) для частицы, находящейся во внешнем поле	479
12.4.1.7. Разложение матрицы плотности в ряд теории возмущений	480
12.4.2. Формулировка алгоритма PIMC	483
12.4.3. Расчёт квантовых средних и некоторые результаты	486

13. Квантовые алгоритмы в непрерывном времени	489

13.1. Траекторный метод в непрерывном времени (Continuous Time World
Line — CTWL)	491
13.1.1. Представление взаимодействия при конечных температурах	492
Приложение 3. Вывод разложения статистической суммы	496
13.1.2. Общая формулировка CTWL-алгоритма	497
13.1.3. CTWL-алгоритм для дискретного базиса. Статистика Ферми и
Бозе	500
13.1.4. Расчёт средних и некоторые результаты расчёта методом CTWL	517
Приложение 4. CTWL-метод: формулы для баланса	524
Приложение 5. CTWL-метод: алгоритм работы со списком имён	526
13.1.5. Алгоритм CTWL для спиновой статистики	529
13.1.6. Проблема знака в алгоритме CTWL Особенности непрерывного
времени и winding numbers	532
13.1.7. Алгоритмы на основе CTWL	533
13.1.7.1. Импульсный алгоритм	533
13.1.7.2. Обобщённый алгоритм CTWL	539
13.1.7.2.1. Формулировка метода для произвольного
дискретного базиса	541
13.1.7.2.2. Процедуры обновления мгновенных
конфигураций в фазовом пространстве	543
13.1.7.2.3. Расчёт модели Холстейна-Хаббарда	550
13.1.7.2.4. Расчёт модели Бозе-Хаббарда	552
13.2. Континуальное интегрирование в непрерывном времени	554
13.2.1. Алгоритм PIMC-WA	555
13.2.1.1. Формулировка алгоритма	555
13.2.1.2. Процедуры обновления траекторий	558
13.2.1.3. Процедуры обновления траекторий. Расчёт физических
величин	564
13.2.1.4. Результаты расчётов	565
13.2.2. Алгоритм PIMC-WA. Прямое суммирование диаграмм в
континуальном представлении	567
13.2.2.1. Диаграммы разложения матрицы плотности в ряд
теории возмущений по степеням взаимодействия	568
13.2.2.2. Процедуры МК для обновления диаграмм	570
13.2.2.3. Расчёт физических величин	572
13.3. Детерминантный метод для фермионов в непрерывном времени	573
13.3.1. Описание метода	573
13.3.2. Обновление конфигураций	576
13.3.3. Сдвиг взаимодействия для уменьшения проблемы знака	577
Приложение 5. Представление многочастичного коррелятора через
определители от одночастичных функций Грина	580
13.4. Методы высокотемпературного разложения	581
13.4.1. Общая формулировка SSE-алгоритма	582
13.4.2. Расчёт квантово-механических средних	586
13.4.3. Применение SSE-алгоритма для гейзенберговского
антиферромагнетика	589
13.4.4. Результаты расчётов	593
13.5. Высокотемпературное разложение и петлевые алгоритмы	596
13.5.1. Формулировка SSE-алгоритма для XXZ-модели	597
13.5.2. SSE с операторно-петлевыми обновлениями	599
13.5.3. SSE с прямыми петлями	605
13.5.4. Метод SSE с прямыми петлями для XYZ-модели	607
13.6. Процедуры перевзвешивания (Reweighting)	613

Заключение	616
Список литературы	617

Книги на ту же тему

Нанотехнологии для микро- и оптоэлектроники. — 2-е изд., доп., Мартинес-Дуарт Д. М., Мартин-Палма Р. Д., Агулло-Руеда Ф., 2009
Нанотехнология в ближайшем десятилетии. Прогноз направления исследований, 2002
Вычислительные методы в квантовой физике: Учебное пособие, Кашурников В. А., Красавин А. В., 2005
Нанотехнологии. — 2-е изд., доп., Пул Ч., Оуэнс Ф., 2005
Квантовая теория твёрдых тел, Пайерлс Р., 1956
Лекции по физике твёрдого тела: Принципы строения, реальная структура, фазовые превращения, Жданов Г. С., Хунджуа А. Г., 1988
Спиновые флуктуации в магнетиках с коллективизированными электронами, Мория Т., 1988
Квантовая теория явлений электронного переноса в кристаллических полупроводниках, Зырянов П. С., Клингер М. И., 1976
Корневые трансфер-матрицы в моделях Изинга, Дмитриев А. А., Катрахов В. В., Харченко Ю. Н., 2004
Квантовая статистика систем заряженных частиц, Крефт В. Д., Кремп Д., Эбелинг В., Рёпке Г., 1988
Приближённые методы квантовой механики, Мигдал А. Б., Крайнов В. П., 1966
Квантовая механика. — Изд. 2-е перераб., Давыдов А. С., 1973
Квантовая механика, Бете Г., 1965
Введение в диаграммную технику Фейнмана, Биленький С. М., 1971
Методы квантовой теории поля в статистической физике, Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., 1962
Диаграммная техника в применении к теории электромагнитных взаимодействий, Жижин Е. Д., Никитин Ю. П., 1985
Человек и квантовый мир: Странности квантового мира и тайна сознания, Менский М. Б., 2005
Атомы в молекулах: Квантовая теория, Бейдер Р., 2001
Квантовая механика (конспект лекций), Ферми Э., 1968
Квантовая механика и квантовая химия, Степанов Н. Ф., 2001
Когерентные состояния в квантовой теории: Сборник статей, 1972
Избранные работы по теоретической физике, Жарков Г. Ф., 2007
Сверхпроводимость полупроводников и переходных металлов, Коэн М., Глэдстоун Г., Йенсен М., Шриффер Д., 1972
Кинетические и нестационарные явления в сверхпроводниках, Гейликман Б. Т., Кресин В. 3., 1972
Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах, Кулик И. О., Янсон И. К., 1970
Сверхпроводники во внешних полях (неравновесные явления), Гулян A. M., Жарков Г. Ф., 1990
Теория квантовых жидкостей: Нормальные ферми-жидкости, Пайнс Д., Нозьер Ф., 1967
Введение в физику сверхпроводников, Шмидт В. В., 1982
Введение в сверхпроводимость, Тинкхам М., 1980
Распад электронных возбуждений с образованием дефектов в твёрдых телах, Лущик Ч. Б., Лущик А. Ч., 1989
Теория экситонов, Нокс Р., 1966
Статистическое взаимодействие электронов и дефектов в полупроводниках, Винецкий В. Л., Холодарь Г. А., 1969
Ниобат лития: дефекты, фоторефракция, колебательный спектр, поляритоны, Сидоров Н. В., Волк Т. Р., Маврин Б. Н., Калинников В. Т., 2003
Электроны и фононы в ограниченных полупроводниках, Басс Ф. Г., Бочков В. С, Гуревич Ю. Г., 1984
Нелинейные свойства твёрдых тел, 1972
Поляроны, Фирсов Ю. А., ред., 1975
Электронные процессы на поверхности полупроводников при хемосорбции, Волькенштейн Ф. Ф., 1987
Физика полупроводниковых соединений элементов III и V групп, Маделунг О., 1967
Квантовая теория систем многих тел, Гугенгольц Н., 1967
Вопросы квантовой теории многих тел, 1959
Проблема многих частиц в квантовой механике (Теория и методы решения), Гомбаш П., 1952
Субмиллиметровая спектроскопия коллективных и связанных состояний носителей тока в полупроводниках, Мурзин В. Н., 1985
Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешётками, Басс Ф. Г., Булгаков А. А., Тетервов А. П., 1989
Статистическая теория фазовых превращений, Гейликман Б. Т., 1954
Термодинамика, Кубо Р., 1970
Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур, Пригожин И., Кондепуди Д., 2002
Квантовые усилители и генераторы, Троуп Г., 1961
Кооперативные явления в оптике: Сверхизлучение. Бистабилыюсть. Фазовые переходы, Андреев А. В., Емельянов В. И., Ильинский Ю. А., 1988
Квантовая радиофизика. В 2-х томах. Т. 1. Фотоны и нелинейные среды. — 2-е изд., перераб. и доп., Файн В. М., 1972
Квантовые компьютеры, микро- и наноэлектроника: физика, технология, диагностика и моделирование, 2005
Современная квантовая химия. В 2-х томах (комплект из 2 книг), 1968
Физико-статистические основы квантовой информатики, Богданов Ю. И., 2011
Квантовая биохимия, Пюльман Б., Пюльман А., 1965
Компьютерное моделирование взаимодействия частиц с поверхностью твёрдого тела, Экштайн В., 1995
Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М., Срагович В. Г., Шрейдер Ю. А., 1962
Метод Монте-Карло, Соболь И. М., 1978
Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике: Введение, Биндер К., Хеерман Д. В., 1995

elapsed time 0.022 sec

/Наука и Техника/Физика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему