| Введение | 10 |
| |
| Г л а в а I. Вывод основных уравнений математической физики |
| |
| $ 1. Уравнение колебаний струны | 12 |
| § 2. Уравнение колебаний мембраны | 16 |
| § 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн | 18 |
| § 4. Уравнение распространения тепла а изотропном твёрдом теле | 24 |
| § 5. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа | 28 |
| |
| Г л а в а II. Классификация уравнений второго порядка |
| |
| § 1. Типы уравнений второго порядка | 39 |
| § 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка |
 с постоянными коэффициентами | 30 |
| § 3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка |
| с двумя независимыми переменными | 32 |
| |
| Г л а в а III. Уравнения первого порядка |
| |
| § 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми |
| переменными | 40 |
| § 2 Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми |
| переменными | 44 |
| § 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми |
| переменными | 51 |
| |
| ЧАСТЬ ПЕРВАЯ |
| Дифференциальные уравнении гиперболического типа |
| |
| Г л а в а IV. Применение метода характеристик к изучению малых |
| колебаний струны |
| |
| § 1. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера | 54 |
| § 2. Понятие об обобщённых решениях | 62 |
| |
| Г л а в а V. Продольные колебания стержня |
| |
| § 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного |
| стержня постоянного сечения. Начальные и граничные условия | 64 |
| § 2. Колебания стержня с одним закреплённым концом | 66 |
| § 3. Продольный удар груза по стержню | 70 |
| |
| Г л а в а VI. Уравнения гиперболическою типа с двумя независимыми |
| переменными |
| |
| § 1. Задача Коши | 75 |
| § 2. Задача Гурса | 79 |
| § 3. Метод Римана | 80 |
| § 4. Примеры на приложение метода Римана | 83 |
| |
| Г л а в а VII. Применение метода характеристик к изучению |
| колебаний в электрических линиях |
| |
| § 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний | 88 |
| § 2. Телеграфное уравнение | 90 |
| § 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана | 90 |
| § 4. Электрические колебания в бесконечном проводе | 93 |
| § 5. Колебания в линии, свободной от искажения | 95 |
| § 6. Граничные условия для провода конечной длины | 97 |
| |
| Г л а в а VIII. Волновое уравнение |
| |
| § 1. Формула Пуассона | 98 |
| § 2. Цилиндрические волны | 101 |
| § 3. Непрерывная зависимость решения от начальных данных | 103 |
| § 4. Теорема единственности | 103 |
| § 5. Неоднородное волновое уравнение | 105 |
| § 6. Точечный источник | 108 |
| |
| Г л а в а IX. Некоторые общие вопросы теории дифференциальных |
| уравнений гиперболического типа |
| |
| § 1. Задача Коши. Характеристики | 109 |
| § 2. Бихарактеристики | 113 |
| § 3. Слабый разрыв. Фронт волны | 114 |
| § 4. Распространение разрывов по лучам | 117 |
| |
| Г л а в а X. Применение метода Фурье к изучению свободных |
| колебаний струн и стержней |
| |
| § 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны | 119 |
| § 2. Колебание защеплённой струны | 125 |
| § 3. Колебания струны под действием удара | 126 |
| § 4. Продольные колебания стержня | 126 |
| § 5. Общая схема метода Фурье | 129 |
| |
| Г л а в а XI. Вынужденные колебания струн и стержней |
| |
| § 1. Вынужденные колебания струны, закреплённой на концах | 136 |
| § 2. Вынужденные колебания тяжёлого стержня | 140 |
| § 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами | 142 |
| § 4. Единственность решения смешанной задачи | 145 |
| |
| Г л а в а XII. Крутильные колебания однородного стержня |
| |
| § 1. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического |
| стержня | 147 |
| § 2. Колебания стержня с одним прикреплённым диском | 150 |
| |
| Г л а в а XIII. Функции Бесселя |
| |
| § 1. Уравнение Бесселя | 150 |
| § 2. Некоторые частные случаи функций Бесселя | 160 |
| § 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни | 162 |
| § 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя | 167 |
| |
| Г л а в а XIV. Малые колебания нити, подвешенной за один конец |
| |
| § 1. Свободные колебания подвешенной нити | 176 |
| § 2. Вынужденные колебания подвешенной нити | 180 |
| |
| Г л а в а XV. Малые радиальные колебания газа |
| |
| § 1. Радиальные колебания газа в сфере | 184 |
| § 2. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической |
| трубке | 191 |
| |
| Г л а в а XVI. Полиномы Лежандра |
| |
| § 1. Дифференциальное уравнение Лежандра | 195 |
| § 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма | 198 |
| § 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра | 200 |
| § 4. Интегральные представления полиномов Лежандра | 201 |
| § 5. Производящая функция | 203 |
| § 6. Рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра |
| и их производными | 204 |
| § 7. Функция Лежандра второго рода | 205 |
| § 8. Малые колебания вращающейся струны | 205 |
| |
| Г л а в а XVII. Применение метода Фурье к исследованию малых |
| колебаний прямоугольной и круглой мембраны |
| |
| § 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны | 210 |
| § 2. Свободные колебания круглой мембраны | 214 |
| § 3. Метод Фурье в многомерном случае | 219 |
| |
| ЧАСТЬ ВТОРАЯ |
| Дифференциальные уравнения эллиптического типа |
| |
| Г л а в а XVIII. Интегральные формулы, применяемые в теории |
| дифференциальных уравнений эллиптического типа |
| |
| § 1. Определения и обозначения | 224 |
| § 2. Формулы Остроградского-Гаусса и Грина | 227 |
| § З*. Преобразование формулы Грина | 231 |
| § 4*. Функции Леви | 232 |
| § 5*. Формула Грина-Стокса | 234 |
| § 6*. Формула Грина-Стокса в случае двух измерений | 238 |
| § 7. Представление некоторых дифференциальных выражений |
| в ортогональных системах координат | 239 |
| |
| Г л а в а XIX. Уравнения Лапласа и Пуассона |
| |
| § 1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Примеры задач, приводящих |
| у равнению Лапласа | 248 |
| § 2. Граничные задачи | 254 |
| § 3. Гармонические функции | 257 |
| § 4. Единственность решений граничных задач | 263 |
| § 5. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Основная формула |
| теории гармонических функций | 268 |
| § 6. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара | 273 |
| § 7. Функция Грина | 277 |
| § 8. Гармонические функции на плоскости | 282 |
| |
| Г л а в а XX. Теория потенциала |
| |
| § 1. Ньютоновский потенциал | 287 |
| § 2. Потенциалы разных порядков | 289 |
| § 3. Мультиполи | 292 |
| § 4. Разложение потенциала по мультиполям. Сферические функции | 295 |
| § 5. Потенциалы простого и двойного слоя | 299 |
| § 6*. Поверхности Ляпунова | 300 |
| § 7*. Сходимость и непрерывная зависимость несобственных интегралов |
| от параметров | 303 |
| § 8*. Поведение потенциала простого слоя и его нормальных |
| производных при пересечении слоя | 305 |
| § 9*. Тангенциальные производные потенциала простого слоя |
| и производные по любому направлению | 309 |
| § 10*. Поведение потенциала двойного слоя при пересечении слоя | 311 |
| § 11. Уровенные распределения | 312 |
| § 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса | 315 |
| § 13. Поле тяжести. Теорема Стокса | 319 |
| § 14. Логарифмический потенциал | 323 |
| |
| Г л а в а XXI. Сферические функции |
| |
| § 1. Построение системы линейно-независимых сферических функций | 328 |
| § 2. Ортогональность сферических функций | 332 |
| § 3. Разложение по сферическим функциям | 335 |
| § 4. Применение сферических функций для решения граничных задач | 338 |
| § 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара | 341 |
| § 6. Функция Грина задачи Неймана для шара | 343 |
| |
| Г л а в а XXII. Приложение теории сферических функций к решению |
| задач математической физики |
| |
| § 1. Электростатический потенциал проводящего шара, разделённого |
| слоем диэлектрика на два полушария | 346 |
| § 2. Задача о стационарном распределении температуры в шаре | 348 |
| § 3. Задача о распределении электричества на индуктивно заряженном |
| шаре | 350 |
| § 4. Обтекание шара потоком несжимаемой жидкости | 355 |
| |
| Г л а в а XXIII*. Гравитационные волны на поверхности жидкости |
| |
| § 1. Постановка проблемы | 358 |
| § 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины | 361 |
| § 3. Кольцевые волны | 368 |
| § 4. Метод стационарной фазы | 371 |
| |
| Г л а в а XXIV. Уравнение Гельмгольца |
| |
| § 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми уравнениями |
| гиперболического и параболического типов | 375 |
| § 2. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца |
| в ограниченной области | 378 |
| § 3. Собственные числа и собственные функции граничной задачи общего |
| вида. Разложения по собственным функциям | 384 |
| § 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в цилиндрических |
| и сферических координатах | 389 |
| § 5. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца |
| в бесконечной области | 394 |
| § 6. Интегральные формулы | 401 |
| § 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца |
| в бесконечной области | 407 |
| § 8*. Вопросы единственности решений внешних граничных задач |
| для уравнения Гельмгольца | 409 |
| |
| Г л а в а XXV. Излучение и рассеяние звука |
| |
| § 1. Основные зависимости для звуковых полей | 415 |
| § 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра | 415 |
| § 3. Звуковое поле пульсирующего шара. Точечный источник | 418 |
| § 4. Излучение из отверстия в плоском экране | 420 |
| § 5. Звуковое поле при произвольном колебании поверхности шара | 422 |
| § 6. Исследование поля шара при произвольном колебании его |
| поверхности. Акустические или колебательные мультиполи | 426 |
| § 7. Рассеяние звука | 432 |
| |
| Дополнение к части второй*. Сведения об уравнениях |
| эллиптического типа общего вида |
| |
| § 1. Общий вид уравнения эллиптического типа | 435 |
| § 2. Основные граничные задачи | 430 |
| § 3. Сопряжённые граничные задачи | 438 |
| § 4. Фундаментальные решения. Функция Грина | 439 |
| § 5. Теоремы единственности | 441 |
| § 6. Условия разрешимости граничных задач | 443 |
| |
| ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ |
| Уравнения параболического типа |
| |
| Г л а в а XXVI. Постановка граничных задач. Теоремы |
| единственности |
| |
| § 1. Первая граничная задача. Теорема о максимуме и минимуме | 448 |
| § 2. Задача Коши | 450 |
| |
| Г л а в а XXVII. Распространение тепла в бесконечном стержне |
| |
| § 1. Распространение тепла в неограниченном стержне | 451 |
| § 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне | 459 |
| |
| Г л а в а XXVIII. Применение метода Фурье к решению граничных |
| задач |
| |
| § 1. Распространение тепла в ограниченном стержне | 463 |
| § 2. Неоднородное уравнение теплопроводности | 471 |
| § 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре | 473 |
| § 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров | 476 |
| § 5. Распространение тепла в однородном шаре | 478 |
| § 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке | 485 |
| |
| ЧАСТЬ ЧЕТВЁРТАЯ |
| Дополнительные сведения |
| |
| Г л а в а XXIX. Уравнения электромагнитного поля |
| |
| § 1. Векторные поля | 488 |
| § 2. Уравнения Лоренца-Максвелла | 498 |
| § 3. Уравнения Максвелла | 501 |
| § 4. Уравнения магнитной гидродинамики | 508 |
| § 5. Потенциалы электромагнитного поля | 513 |
| § 6. Периодические по времени электромагнитные поля | 515 |
| § 7. Условия на бесконечности и граничные условия | 520 |
| § 8. Представление электромагнитного поля с помощью двух скалярных |
| функций | 527 |
| § 9. Теорема единственности | 530 |
| |
| Г л а в а XXX. Направляемые электромагнитные волны |
| |
| § 1. Поперечно-электрические, поперечно-магнитные |
| и поперечно-электромагнитные волны | 535 |
| § 2. Волны между идеально проводящими плоскостями, разделёнными |
| диэлектриком | 536 |
| § 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн | 542 |
| § 4. TM-волны в волноводе круглого сечения | 550 |
| § 5. TE-волны в волноводе круглого сечения | 552 |
| § 6. Волны в коаксиальном кабеле | 553 |
| § 7. Волны в диэлектрическом стержне | 555 |
| |
| Г л а в а XXXI. Электромагнитные рупоры и резонаторы |
| |
| § 1. Секториальный рупор и секториальный резонатор | 561 |
| § 2. Сферический резонатор | 566 |
| |
| Г л а в а XXXII. Разложение по собственным функциям задачи |
| Штурма-Лиувилля |
| |
| § 1. Введение | 568 |
| § 2. Задача Штурма-Лиувилля | 568 |
| § 3. Функция Грина | 571 |
| § 4. Экстремальные свойства собственных функций | 572 |
| § 5. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля |
| на конечном интервале | 577 |
| § 6. Сингулярная задача Штурма-Лиувилля | 582 |
| § 7. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи |
| Штурма-Лиувилля на полубесконечном интервале | 586 |
| § 8. Вычисление спектральной функции (полубесконечный интервал) | 590 |
| § 9. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи |
| Штурма-Лиувилля на интервале, бесконечном в обе стороны | 593 |
| § 10. Разложение по бесселевым функциям | 596 |
| |
| Г л а в а XXXIII. Применение интегральных преобразований |
| для решения задач математической физики |
| |
| § 1. Введение | 609 |
| § 2. Условия, обеспечивающие возможность интегрального |
| преобразования | 611 |
| § 3. Интегральные преобразования в конечных пределах | 616 |
| § 4. Интегральные преобразования с бесконечными пределами (общий |
| случай) | 620 |
| § 5. Некоторые часто применяемые преобразования с бесконечными |
| пределами | 626 |
| |
| Г л а в а XXXIV. Примеры применения конечных интегральных |
| преобразований |
| |
| § 1. Колебания тяжёлой нити | 631 |
| § 2. Колебания мембраны | 634 |
| § 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне | 637 |
| § 4. Распространение тепла в круглой трубе | 641 |
| § 5. Поток тепла в шаре | 643 |
| § 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде | 647 |
| |
| Г л а в а XXXV. Примеры применения интегральных преобразований |
| с бесконечными пределами |
| |
| § 1. Задача о колебаниях бесконечной струны | 650 |
| § 2. Линейный поток тепла в полуограниченном стержне | 652 |
| § 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне, поверхность |
| которого поддерживается при двух различных температурах | 654 |
| § 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина | 658 |
| |
| Г л а в а XXXVI. Излучение электромагнитных колебаний |
| |
| § 1. Введение | 661 |
| § 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над идеально |
| проводящей плоскостью | 663 |
| § 3. Вертикальный излучатель в однородной среде над средой |
| с конечной электропроводностью | 668 |
| § 4. Магнитная антенна над средой с конечной электропроводностью | 670 |
| § 5. Поле произвольной системы излучателей | 677 |
| § 6. Горизонтальный излучатель над средой с конечной |
| электропроводностью | 680 |
| |
| Г л а в а XXXVII. Движение вязкой жидкости |
| |
| § 1. Уравнения движения вязкой жидкости | 686 |
| § 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве над вращающимся |
| диском бесконечного радиуса | 691 |
| § 3. Движение вязкой жидкости в плоском диффузоре | 693 |
| |
| Литература | 698 |
| Предметный указатель | 701 |
| Некоторые обозначения | 708 |
| Николай Сергеевич Кошляков (краткий биографический очерк) | 709 |
