Монография посвящена применению метода ВКБ (коротковолнового приближения) для решения различных физических задач, связанных с взаимодействием волн в неоднородных средах. С единой точки зрения рассматриваются вопросы теории колебаний, гидродинамики, квантовой механики, теории плазмы и нелинейной оптики. Подробно излагаются одномерный случай для уравнений второго и четвёртого порядка и различные аспекты его применения к исследованию эволюции и распространения волн в случайно-неоднородных средах.

Книга предназначена для научных работников, интересующихся вопросами теории волновых процессов в различных средах, а также для аспирантов и студентов.

Ил. 19. Библиогр. 164.

Цель этой книги — дать взаимосвязанное изложение фрагментов теории волновых взаимодействий в неоднородных средах, которые являются предметом исследования разных разделов физики. С задачами подобного рода мы сталкиваемся в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике и даже в биологии. Конечно, в каждой из перечисленных областей существуют свои проблемы и развиваются свои, специфичные для данной области методы. Тем не менее в ряде случаев математические модели оказываются довольно схожими, так что можно говорить о некоторых закономерностях, общих для широкого круга обсуждаемых задач. Таким образом, несмотря на разнородность содержания рассматриваемой теории с точки зрения её приложений, цель книги лгожет быть достигнута благодаря тому, что материал довольно легко классифицируется по типам математических задач и методов, используемых для их решения.

В ходе изложения теории волновых взаимодействий мы постоянно будем сталкиваться с необходимостью решения уравнений с переменными коэффициентами. Одним из наиболее мощных приближённых методов решения является метод ВКБ. Несмотря на то, что при его использовании обычно ограничиваются только главным членом асимптотического ряда, он позволяет получить ответы на многие вопросы, важные с физической точки зрения (см. гл. II).

Многие характерные особенности взаимодействия волн в неоднородных средах можно проследить на модели трёх связанных волновых уравнений. При этом возникает система нелинейных уравнений в частных производных. В настоящее время нет точного решения такой системы. Поэтому при её анализе используются различные упрощающие предположения.

Решению исходной системы в тех случаях, когда есть какие-либо основания для её линеаризации, посвящены гл. I—IV. Заметим, что метод ВКБ в некоторых случаях не позволяет получить однозначных решений линейных уравнений с переменными коэффициентами. Тогда целесообразно комбинировать решения, полученные методом ВКБ, с решениями, найденными на основе метода контурных интегралов. С такой ситуацией мы столкнёмся, например, в задаче о прохождении параболического слоя в гл. II и при обсуждении метода, предложенного Вазовым, в гл. IV.

В гл. V решения, полученные в предшествующих главах, используются для анализа эволюционной задачи, описывающей поведение начальных возмущений на неоднородном фоне. Конечно, упрощение исходной системы на основе её линеаризации возможно далеко не всегда. В тех случаях, когда взаимодействие волн достаточно слабое, возможно иное упрощение исходной системы. Слабость взаимодействия обусловливает плавный характер амплитуд волн. В результате мы приходим к упрощённым нелинейным, так называемым укороченным уравнениям. Анализу решений таких уравнений посвящена гл. VII.

В последней главе книги обсуждаются специфические особенности взаимодействия волн в случайно-неоднородных средах. Случайный характер неоднородности приводит к проблемам, связанным с необходимостью анализа стохастических дифференциальных уравнений.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
2. Волновые явления в ионосфере и космической плазме, Гершман Б. Н., Ерухимов Л. М., Яшин Ю. Я., 1984
3. Теория распространения радиоволн в ионосфере, Гинзбург В. Л., 1949
4. Распространение волн в среде со случайными неоднородностями, Чернов Л. А., 1958
5. Нелинейные волны 2012, Литвак А. Г., Некоркин В. И., ред., 2013
6. Известия высших учебных заведений. Радиофизика: Нелинейные волны, 1976
7. Теория волн, Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П., 1979
8. Нелинейные волны: Распространение и взаимодействие, Гапонов-Грехов А. В., ред., 1981
9. Линейные и нелинейные волны, Уизем Д., 1977
10. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах, Бхатнагар П., 1983
11. Нелинейные волны, Лейбович С., Сибасс А., ред., 1977
12. Нелинейные волны в диспергирующих средах, Карпман В. И., 1973
13. Нелинейные электромагнитные волны, Усленги П., ред., 1983
14. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии, Свирежев Ю. М., 1987
15. Введение в нелинейную физику плазмы, Кингсеп А. С., 2004
16. Метод погружения в теории распространения волн, Кляцкин В. И., 1986
17. Микроволновая диагностика поверхностного слоя океана, Райзер В. Ю., Черный И. В., 1994
18. Избранные труды. Нелинейные волны в океане, Воляк К. И., 2002
19. Океанские внутренние волны, Морозов Е. Г., 1985
20. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде, Юэн Г., Лэйк Б., 1987
21. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике, Скотт Э., 1977
22. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса, Заславский Г. М., Сагдеев Р. З., 1988
23. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений, Калоджеро Ф., Дегасперис А., 1985
24. Солитоны и метод обратной задачи, Абловиц М., Сигур Х., 1987
25. Солитоны и нелинейные волновые уравнения, Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис Х., 1988
26. Проблемы нелинейной оптики (Электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих средах) 1961—1963, Ахманов С. А., Хохлов Р. В., 1964
27. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения, Оксендаль Б., 2003