Основная особенность курса — широкое использование концепции обобщённого решения. Поэтому в книге содержится специальная глава, посвящённая теорий обобщённых функций. Настоящее издание содержит ряд дополнений. Среди них — параграф, посвящённый операционному исчислению обобщённых функций.

Рис. — 105, библ. — 40 назв.

Предисловие ко второму изданию	8
Предисловие к первому изданию	9

Г л а в а I
Постановка краевых задач математической физики

§ 1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и теории операторов	11
1. Точечные множества в Rⁿ (11). 2. Классы функций C^p(G) и C^p(Ḡ) (13). 3. Пространство непрерывных функций C(T) (15). 4. Интеграл Лебега (16). 5. Интегралы Лебега, зависящие от параметра (22). 6. Интегралы типа потенциала (23). 7. Пространство функций ℒ₂(G) (27). 8. Ортонормальные системы (30). 9. Полные ортонормальные системы (32). 10. Линейные операторы и функционалы (35). 11. Линейные уравнения (38). 12. Эрмитовы операторы (41).
§ 2. Основные уравнения математической физики	43
1. Уравнение колебаний (44). 2. Уравнение диффузии (47). 3. Стационарное уравнение (50). 4. Уравнение переноса (51). 5. Уравнения гидродинамики (52). 6. Уравнения Максвелла (53). 7. Уравнение Шредингера (54). 8. Уравнение Клейна-Гордона и уравнение Дирака (54).
§ 3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка	55
1. Классификация уравнений в точке (56). 2. Выражение оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах (58). 3. Характеристические поверхности (характеристики) (60). 4. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными (61). 5. Пример. Уравнение Трикоми (67).
§ 4. Постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка	69
1. Классификация краевых задач (69). 2. Задача Коши (70). 3. Роль характеристик в постановке задачи Коши (72). 4. Краевая задача для уравнений эллиптического типа (73). 5. Смешанная задача (75). 6. Другие краевые задачи (75). 7. Корректность постановок задач математической физики (77). 8. Теорема Ковалевской (78). 9. Пример Адамара (80). 10. Классические и обобщённые решения (81).

Г л а в а II
Обобщённые функции

§ 5. Основные и обобщённые функции	82
1. Введение (82). 2. Пространство основных функций D (85). 3. Пространство обобщённых функций D' (88). 4. Полнота пространства обобщённых функций D' (89). 5. Носитель обобщённой функции (92). 6. Регулярные обобщённые функции (94). 7. Сингулярные обобщённые функции (96). 8. Формулы Сохоцкого (98). 9. Линейная замена переменных в обобщённых функциях (99). 10. Умножение обобщённых функций (100). 11. Упражнения (102).
§ 6. Дифференцирование обобщённых функций	103
1. Производные обобщённой функции (103). 2. Свойства обобщённых производных (104). 3. Первообразная обобщённой функции (107). 4 Примеры, n = 1 (109). 5. Примеры, n ≥ 2 (114). 6. Упражнения (123).
§ 7. Прямое произведение и свёртка обобщённых функций	125
1 Определение прямого произведения (125). 2. Коммутативность прямого произведения (128). 3. Дальнейшие свойства прямого произведения (129). 4. Свёртка обобщённых функций (131). 5. Свойства свёртки (135). 6 Существование свёртки (137). 7. Свёрточная алгебра обобщённых функций D'₊ (138). 8. Уравнения в свёрточной алгебре D'₊ (141). 9. Регуляризация обобщённых функций (142). 10. Примеры свёрток. Ньютонов потенциал (144). 11. Упражнения (147).
§ 8. Обобщённые функции медленного роста	148
1. Пространство основных функций ℐ (148). 2. Пространство обобщённых функций медленного роста ℐ' (149). 3. Примеры обобщённых функций медленного роста (151) 4. Структура обобщённых функций с точечным носителем (152). 5. Прямое произведение обобщённых функций медленного роста (154). 6. Свёртка обобщённых функций медленного роста (156).
§ 9. Преобразование Фурье обобщённых функций медленного роста	157
1. Преобразование Фурье основных функций из ℐ (157). 2. Преобразование Фурье обобщённых функций из ℐ' (159). 3. Свойства преобразования Фурье (161). 4. Преобразование Фурье обобщённых функций с компактным носителем (163). 5. Преобразование Фурье свёртки (164). 6. Примеры, n = 1 (165). 7. Примеры, n ≥ 2 (170). 8. Упражнения (174).
§ 10. Преобразование Лапласа обобщённых функций (операционное исчисление)	175
1. Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций (175). 2. Преобразование Лапласа обобщённых функций (176) 3 Свойства преобразования Лапласа (179). 4. Обратное преобразование Лапласа (181). 5. Примеры и применения (185). 6. Упражнения (188).

Г л а в а III
Фундаментальное решение и задача Коши

§ 11. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов	190
1. Обобщённые решения линейных дифференциальных уравнений (190). 2. Фундаментальные решения (192). 3. Уравнения с правой частью (194). 4. Метод спуска (195). 5. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обыкновенными производными (198). 6. Фундаментальное решение оператора теплопроводности (198). 7. Фундаментальное решение волнового оператора (199). 8. Фундаментальное решение оператора Лапласа (202). 9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца (203). 10. Фундаментальное решение оператора Коши-Римана (205). 11. Фундаментальное решение оператора переноса (205). 12. Упражнения (206).
§ 12. Запаздывающий потенциал	208
1. Свойства фундаментального решения волнового оператора (208) 2. Дополнительные сведения о свёртках (210). 3. Запаздывающий потенциал (213). 4. Поверхностные запаздывающие потенциалы (217).
§ 13. Задача Коши для волнового уравнения	221
1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (221). 2. Постановка обобщённой задачи Коши для волнового уравнения (223). 3. Решение обобщённой задачи Коши (225). 4. Решение классической задачи Коши (227). 5. Упражнения (228).
§ 14. Распространение волн	230
1. Распространение волн в пространстве (230). 2. Распространение волн на плоскости (232). 3. Распространение волн на прямой (234). 4. Метод распространяющихся волн (237). 5. Метод отражений. Полубесконечная сгруна (240). 6. Метод отражений. Конечная струна (243).
§ 15. Метод Римана	245
1. Решение задачи Гурса (245). 2. Формула Грина (250). 3. Функция Римана (250). 4. Задача Коши (254).
§ 16. Задача Коши для уравнения теплопроводности	258
1. Тепловой потенциал (258). 2. Поверхностный тепловой потенциал (261). 3. Постановка обобщённой задачи Коши для уравнения теплопроводности (263). 4. Решение задачи Коши (264). 5. Упражнения (265).

Г л а в а IV
Интегральные уравнения

§ 17. Метод последовательных приближений	269
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром (269). 2. Повторные ядра. Резольвента (273). 3. Интегральные уравнения Вольтерра (277) 4. Интегральные уравнения с полярным ядром (279). 5. Упражнения (284).
§ 18. Теоремы Фредгольма	286
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром (286) 2. Теорема Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром (289). 3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром (292). 4 Следствия из теорем Фредгольма (296). 5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с полярным ядром (298). 6. Упражнения (301).
§ 19. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром	301
1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным ядром (301). 2. Лемма Арчела (303). 3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным ядром (304). 4. Интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром (307).
§ 20. Теорема Гильберта-Шмидта и её следствия	308
1. Теорема Гильберта-Шмидта для эрмитова непрерывного ядра (308). 2. Билинейное разложение повторных ядер (312). 3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра (313). 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным ядром (315). 5. Положительно определённые ядра (318). 6. Распространение теории Гильберта-Шмидта на интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром (319). 7. Теорема Ентча (321). 8. Метод Келлога (322). 9. Теорема Мерсера (326).

Г л а в а V
Краевые задачи для эллиптических уравнений

§ 21. Задача на собственные значения	329
1. Постановка задачи на собственные значения (329). 2. Формулы Грина (330). 3. Свойства оператора L (331). 4. Свойства собственных значений и собственных функций оператора L (333). 5. физический смысл собственных значений и собственных функций (337). 6. Упражнения (338).
§ 22. Задача Штурма-Лиувилля	339
1. Функция Грина (339). 2. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению (343). 3. Свойства собственных значений и собственных функций (344). 4. Нахождение собственных значений и собственных функций (346).
§ 23. Функции Бесселя	348
1. Определение и простейшие свойства функций Бесселя (348). 2. Свойство ортогональности (350). 3. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя (352). 4. Корни функций Бесселя (353). 5. Краевая задача на собственные значения для уравнения Бесселя (356). 6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бесселя (357). 7. Полнота функций Бесселя (358). 8. Другие цилиндрические функции (360). 9. Упражнения (362).
§ 24. Гармонические функции	363
1. Формула Грина (363). 2. Распространение формул Грина (366). 3. Теорема о среднем арифметическом (367). 4. Принцип максимума (368). 5. Следствия из принципа максимума (369). 6. Стирание особенностей гармонической функции (370). 7. Обобщённо-гармонические функции (371). 8. Дальнейшие свойства гармонических функций (373). 9. Аналог теоремы Лиувилля (374). 10. Упражнения (375).
§ 25. Сферические функции	375
1. Определение сферических функций (375). 2. Дифференциальное уравнение для сферических функций (377). 3 Полиномы Лежандра (378). 4. Производящая функция (380). 5. Присоединённые функции Лежандра (383). 6. Сферические функции (385). 7. Формула Лапласа (386). 8. Шаровые функции (388). 9. Упражнения (389).
§ 26. Метод Фурье для задач на собственные значения	389
1. Общая схема метода Фурье (389). 2. Примеры (391).
§ 27. Ньютонов потенциал	396
1. Объёмный потенциал (396). 2. Потенциалы простого и двойного слоя (398). 3. Физический смысл ньютоновых потенциалов (400). 4. Поверхности Ляпунова (401). 5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности S (406). 6. Разрыв потенциала двойного слоя (408). 7. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя (410). 8. Упражнения (412).
§ 28. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве	412
1. Постановка основных краевых задач (412). 2. Поведение гармонической функции на бесконечности (413). 3. Теоремы единственности решения краевых задач (415). 4. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям (417). 5. Исследование интегральных уравнений (420). 6. Решение задач Дирихле и Неймана для шара (424).
§ 29. Функция Грина задачи Дирихле	426
1. Определение и свойства функции Грина (426). 2. Примеры построения функции Грина (метод отражений) (429). 3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина (432). 4. Формула Пуассона (433). 5. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению (433). 6. Свойства собственных значений и собственных функций (437). 7. Упражнения (438).
§ 30. Уравнение Гельмгольца	440
1. Условия излучения Зоммерфельда (440). 2. Однородное уравнение Гельмгольца (441). 3 Потенциалы (443). 4. Принцип предельного поглощения (446). 5. Принцип предельной амплитуды (447). 6. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца (448). 7. Внешние краевые задачи для сферы (450). 8. Упражнения (451).
§ 31. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости	451
1. Поведение гармонической функции на бесконечности (452). 2. Постановка и единственность решения основных краевых задач (46З). 3. Логарифмический потенциал (454). 4. Разрешимость краевых задач (458). 5. Решение краевых задач для круга (461). 6 Функция Грина задачи Дирихле (463). 7. Решение задачи Дирихле для односвязной области (464). 8 Упражнения (465).

Г л а в а VI
Смешанная задача

§ 32. Метод Фурье	468
1. Однородное гиперболическое уравнение (469). 2. Неоднородное гиперболическое уравнение (471). 3. Параболическое уравнение (473). 4. Уравнение Шредингера (474). 5. Эллиптическое уравнение (475). 6. Примеры (476). 7. Упражнения (483).
§ 33. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа	484
1. Классическое решение. Интеграл энергии (484). 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения (486). 3. Функции, непрерывные в ℒ₂(G) (490). 4. Обобщённое решение (492). 5. Единственность и непрерывная зависимость обобщённого решения (496). 6. Существование обобщённого решения (496). 7. Существование классического решения (499).
§ 34. Смешанная задача для уравнения параболического типа	502
1. Классическое решение. Принцип максимума (502). 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения (504). 3. Обобщённое решение (506). 4. Существование обобщённого решения (508). 5. Существование классического решения (509).
Литература	510

Книги на ту же тему

Сборник задач по математике для втузов: Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. — 2-е изд., перераб., Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н., Каракулин А. Ф., Лесин В. В., Поспелов А. С., Терещенко А. М., 1990
Лекции об уравнениях с частными производными. — 3-е изд., доп., Петровский И. Г., 1961
Уравнения математической физики, Араманович И. Г., Левин В. И., 1964
Уравнения математической физики. — 5-е изд., стереотип., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1977
Уравнения математической физики. — 4-е изд., испр., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1972
Уравнения в частных производных математической физики. Учебное пособие для мех.-мат. факультетов университетов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., 1970
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
Курс математической физики, Михлин С. Г., 1968
Обобщённые функции в математической физике, Владимиров В. С., 1976
Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики. Учебное пособие для втузов, Котляр Я. М., 1991
Сборник задач по уравнениям математической физики, Владимиров В. С., Михайлов В. П., Вашарин А. А., Каримова Х. Х., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И., 1974
Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
Задачи для ультрагиперболических уравнений в полупространстве, Костомаров Д. П., 2006
Локальные свойства решений уравнения переноса, Гермогенова Т. А., 1986
Аддитивные схемы для задач математической физики, Самарский А. А., Вабищевич П. Н., 2001
Математическая теория распространения электромагнитных волн, Бейтмен Г., 1958
Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Ладыженская О. А., 1961
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах, Сербина Л. И., 2007
Характеристики систем с распределёнными параметрами (справочное пособие), Бутковский А. Г., 1979
Структурная теория распределённых систем, Бутковский А. Г., 1977
Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учебное пособие для вузов, Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В., 2005
Задачи на собственные значения (с техническими приложениями), Коллатц Л., 1968
Распределение собственных значений (самосопряжённые обыкновенные дифференциальные операторы), Костюченко А. Г., Саргсян И. С., 1979
Методы приближённого преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга), Крылов В. И., Скобля Н. С., 1974
Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
Интегральные преобразования и операционное исчисление. — 2-е изд., доп., Диткин В. А., Прудников А. П., 1974
Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. — 2-е изд., доп., Романовский П. И., 1959
Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. С приложением таблиц, составленных Р. Гершелем. — 2-е изд., Дёч Г., 1960
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971
Ряды Фурье, Толстов Г. П., 1951
Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд., исправл., Петровский И. Г., 1965
Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962

elapsed time 0.021 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему