 Ч а с т ь п е р в а я |
| Ряды. Интегральное исчисление. Теория функций |
| |
| От издательства | 7 |
| Предисловие | 8 |
| Обозначения и сокращения | 16 |
| |
| О Т Д Е Л П Е Р В Ы Й |
| БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
| |
| Г л а в а 1 |
| Вычисления со степенными рядами |
| Задачи[Решения] |
| § 1 (1—31). Задачи из аддитивной теории чисел | 19[181] |
| § 2 (32—43). Биномиальные коэффициенты и прочее | 23[188] |
| § 3 (44—49). Дифференцирование степенных рядов | 25[189] |
| § 4 (50—60). Определение коэффициентов при помощи функциональных |
| уравнений | 27[190] |
| § 5 (61—64). Мажорантные ряды | 28[193] |
| |
| Г л а в а 2 |
| Преобразования рядов. Теорема Чезаро |
| |
| § 1 (65—78). Преобразование последовательностей |
| в последовательности в случае, когда в каждой строке схемы |
| имеется только конечное число элементов, отличных от нуля | 29[194] |
| § 2 (79—82). Преобразование последовательностей в последовательности |
| (общий случай) | 32[197] |
| § 3 (83—97). Преобразования последовательностей в функции. Теорема |
| Чезаро | 33[198] |
| |
| Г л а в а 3 |
| Структура вещественных последовательностей и рядов |
| |
| § 1 (98—112). Структура бесконечных последовательностей | 37[202] |
| § 2 (113—116). Показатель сходимости | 40[206] |
| § 3 (117—123). Максимальный член степенного ряда | 40[207] |
| § 4 (124—132). Части рядов | 43[208] |
| § 5 (133—137). Перестановки членов вещественного ряда | 44[210] |
| § 6 (138—139). Распределение знаков членов ряда | 46[211] |
| |
| Г л а в а 4 |
| Смешанные задачи |
| |
| § 1 (140—155). Обвертывающие ряды | 46[212] |
| § 2 (156—185). Прочие задачи, относящиеся к вещественным рядам | 50[216] |
| |
| О Т Д Е Л В Т О Р О Й |
| ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
| |
| Г л а в а 1 |
| Интеграл как предел сумм площадей прямоугольников |
| |
| § 1 (1—7). Нижние и верхние суммы | 56[227] |
| § 2 (8—19). Степень приближения | 59[228] |
| § 3 (20—29). Несобственные интегралы в конечных пределах | 61[232] |
| § 4 (30—40). Несобственные интегралы в бесконечных пределах | 63[234] |
| § 5 (41—47). Теоретико-числовые применения | 65[236] |
| § 6 (48—59). Средние значения. Произведения | 67[238] |
| § 7 (60—68). Кратные интегралы | 70[241] |
| |
| Г л а в а 2 |
| Неравенства |
| |
| § 1 (69—97). Неравенства | 72[244] |
| |
| Г л а в а 3 |
| Из теории функций действительного переменного |
| |
| § 1 (98—111). Интегрируемость в собственном смысле | 82[252] |
| § 2 (112—118). Несобственные интегралы | 84[256] |
| § 3 (119—127). Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые функции | 86[258] |
| § 4 (128—146). Особые интегралы, теорема Вейерштрасса | 87[264] |
| |
| Г л а в а 4 |
| Различные типы равномерного распределения |
| |
| § 1 (147—161). Числовая функция. Регулярные последовательности | 91[269] |
| § 2 (162—165). Критерии равномерного распределения | 94[273] |
| § 3 (166—173). Распределение кратных иррационального числа | 95[275] |
| § 4 (174—184). Распределение цифр в таблице логарифмов и аналогичные |
| задачи | 97[276] |
| § 5 (185—194). Другие типы равномерного распределения | 99[281] |
| |
| Г л а в а 5 |
| Функции больших чисел |
| |
| § 1 (195—209). Метод Лапласа | 103[283] |
| § 2 (210—217). Модификации метода Лапласа | 106[287] |
| § 3 (218—222). Асимптотическое вычисление некоторых максимумов | 108[291] |
| |
| О Т Д Е Л Т Р Е Т И Й |
| ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
| ОБЩАЯ ЧАСТЬ |
| |
| Г л а в а 1 |
| Комплексные числа и последовательности |
| |
| § 1 (1—15). Области и кривые. Вычисления с комплексными числами | 110[293] |
| § 2 (16—27). Расположение корней алгебраических уравнений | 112[296] |
| § 3 (28—35). Продолжение: теорема Гаусса | 115[299] |
| § 4 (36—43). Комплексные числовые последовательности | 116[302] |
| § 5 (44—50). Продолжение: преобразования рядов | 118[304] |
| § 6 (51—54). Изменение порядка членов в комплексных рядах | 119[308] |
| |
| Г л а в а 2 |
| Отображения и векторные поля |
| |
| § 1 (55—59). Дифференциальные уравнения Коши-Римана | 120[309] |
| § 2 (60—84). Специальные элементарные отображения | 121[310] |
| § 3 (85—102). Векторные поля | 126[315] |
| |
| Г л а в а 3 |
| Геометрическое поведение функции |
| |
| § 1 (103—116). Отображение окружности. Кривизна и опорные функции | 131[320] |
| § 2 (117—123). Средние значения вдоль окружности | 134[322] |
| § 3 (124—129). Отображение круга. Площадь области, получаемой при |
| отображении | 136[323] |
| § 4 (130—144). Поверхность модуля. Принцип максимума | 137[324] |
| |
| Г л а в а 4 |
| Интеграл Коши. Принцип аргумента |
| |
| § 1 (145—171). Интеграл Коши | 140[328] |
| § 2 (172—178). Формулы Пуассона и Иенсена | 145[338] |
| § 3 (179—193). Принцип аргумента | 148[341] |
| § 4 (194—206). Теорема Рушэ | 150[344] |
| |
| Г л а в а 5 |
| Последовательности аналитических функций |
| |
| § 1 (207—229). Ряд Лагранжа и его применения | 152[347] |
| § 2 (230—240). Вещественная часть степенного ряда | 157[355] |
| § 3 (241—247). Полюсы на границе круга сходимости | 159[359] |
| § 4 (248—250). Тождественное обращение в нуль степенных рядов | 160[361] |
| § 5 (251—258). Распространение сходимости | 162[363] |
| § 6 (259—262). Сходимость в разделённых областях | 163[365] |
| § 7 (263—265). Порядок возрастания последовательностей полиномов | 164[368] |
| |
| Г л а в а 6 |
| Принцип максимума |
| |
| § 1 (266—279). Различные формулировки принципа максимума | 165[369] |
| § 2 (280—298). Лемма Шварца | 167[372] |
| § 3 (299—310). Теорема Адамара о трёх кругах | 171[378] |
| § 4 (311—321). Гармонические функции | 173[381] |
| § 5 (322—340). Метод Фрагмена и Линделёфа | 174[383] |
| |
| Предметный указатель | 389 |
| |
| Ч а с т ь в т о р а я |
| Теория функций. Распределение нулей. |
| Полиномы. Определители. Теория чисел |
| |
| Обозначения и сокращения | 6 |
| |
| О Т Д Е Л Ч Е Т В Ё Р Т Ы Й |
| ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
| СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ |
| |
| Г л а в а 1 |
| Максимальный член и центральный индекс, максимум |
| модуля и число нулей |
| |
| § 1 (1—40). Аналогия между μ(r) и M(r), ν(r) и N(r) | 10[183] |
| § 2 (41—47). Дальнейшие свойства функций μ(r) и ν(r) | 15[188] |
| § 3 (48—66). Связь между μ(r), ν(r), M(r), N(r) | 16[191] |
| § 4 (67—76). μ(r) и M(r) при специальных предположениях |
| правильности роста | 19[197] |
| |
| Г л а в а 2 |
| Однолистные конформные отображения |
| |
| § 1 (77—83). Задачи подготовительного характера | 22[201] |
| § 2 (84—87). Теоремы единственности | 23[203] |
| § 3 (88—96). Существование отображающей функции | 24[204] |
| § 4 (97—120). Внутренний и внешний радиусы. Нормированная |
| отображающая функция | 25[207] |
| § 5 (121—135). Связи между отображениями различных областей | 30[211] |
| § 6 (136—163). Теорема Кёбе об искажении | 33[214] |
| |
| Г л а в а 3 |
| Смешанные задачи |
| |
| § 1 (164—174). Varia | 39[222] |
| § 2 (175—179). Об одном приёме Э. Ландау | 41[227] |
| § 3 (180—187). Прямолинейное приближение к существенно особой точке | 42[228] |
| § 4 (188—194). Асимптотические значения целых функций | 43[229] |
| § 5 (195—205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена-Линделёфа | 44[232] |
| |
| О Т Д Е Л П Я Т Ы Й |
| РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ |
| |
| Г л а в а 1 |
| Теорема Ролля и правило Декарта |
| |
| § 1 (1—21). Нули функций, перемены знака последовательностей | 46[238] |
| § 2 (22—27). Изменения знака функций | 49[241] |
| § 3 (28—41). Первое доказательство правила Декарта | 50[242] |
| § 4 (42—52). Применения правила Декарта | 53[245] |
| § 5 (53—76). Применения теоремы Ролля | 55[248] |
| § 6 (77—8)6). Доказательство правила Декарта, принадлежащее Лагерру | 58[253] |
| § 7 (87—91). На чём основывается правило Декарта? | 61[256] |
| § 8 (92—100). Обобщения теоремы Ролля | 63[258] |
| |
| Г л а в а 2 |
| Геометрические свойства нулей полиномов |
| |
| § 1 (101—110). Центр тяжести системы точек относительно некоторой |
| точки | 65[260] |
| § 2 (111—127). Центр тяжести полинома относительно некоторой точки. |
| Теорема Лагерра | 67[262] |
| § 3 (128—156). Производная полинома относительно некоторой точки. |
| Теорема Грэйса | 71[265] |
| |
| Г л а в а 3 |
| Смешанные задачи |
| |
| § 1 (157—182). Приближение нулей трансцендентных функций нулями |
| рациональных | 76[272] |
| § 2 (183—189). Точное определение числа нулей при помощи правила |
| Декарта | 81[282] |
| § 3 (190—196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов | 83[284] |
| |
| О Т Д Е Л Ш Е С Т О Й |
| ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ |
| |
| § 1 (1—7). Полиномы Чебышёва | 85[286] |
| § 2 (8—15). Общие сведения о тригонометрических полиномах | 86[287] |
| § 3 (16—28). Специальные тригонометрические полиномы | 88[289] |
| § 4 (29—38). Из теории рядов Фурье | 90[292] |
| § 5-(39—43). Неотрицательные тригонометрические полиномы | 92[294] |
| § 6 (44—49). Неотрицательные полиномы | 93[295] |
| § 7 (50—61). Максимумы и минимумы тригонометрических полиномов | 94[297] |
| § 8 (62—66). Максимумы и минимумы полиномов | 96[301] |
| § 9 (67—76). Интерполяционная формула Лагранжа | 98[304] |
| § 10 (77—83). Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова | 101[306] |
| § 11 (84—102). Полиномы Лежандра и родственные им | 102[307] |
| § 12 (103—113). Прочие задачи на максимумы и минимумы полиномов | 106[316] |
| |
| О Т Д Е Л С Е Д Ь М О Й |
| ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
| |
| § 1 (1—16). Вычисление определителей. Решение линейных уравнений | 110[320] |
| § 2 (17—34). Разложение рациональных функций в степенные ряды | 114[325] |
| § 3 (35—43). Положительные квадратичные формы | 119[328] |
| § 4 (44—54). Смешанные задачи | 122[331] |
| § 5 (55—72). Определители систем функций | 125[337] |
| |
| О Т Д Е Л В О С Ь М О Й |
| ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ |
| |
| Г л а в а 1 |
| Теоретико-числовые функции |
| |
| g I (1—11). Задачи на целые части чисел | 130[345] |
| § 2 (12—20). Подсчёт целых точек | 131[346] |
| § 3 (21—27). Одна теорема формальной логики и её применения | 132[348] |
| § 4 (28—37). Части и делители | 133[351] |
| § 5 (38—42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и |
| ряды Дирихле | 137[353] |
| § 6 (43—64). Мультипликативные теоретико-числовые функции | 139[353] |
| § 7 (65—78). Ряды Ламберта и родственные им | 143[358] |
| § 8 (79—83). Дальнейшие задачи на подсчёт целых точек | 145[360] |
| |
| Г л а в а 2 |
| Целочисленные полиномы и целозначные функции |
| |
| § 1 (84—93). Целочисленность и целозначность полиномов | 146[361] |
| § 2 (94—115). Целозначные функции и их простые делители | 147[364] |
| § 3 (116—129). Неприводимость полиномов | 150[368] |
| |
| Г л а в а 3 |
| Теоретико-числовые свойства степенных рядов |
| |
| § 1 (130—137). Подготовительные задачи о биномиальных коэффициентах | 152[375] |
| § 2 (138—148). К теореме Эйзенштейна | 153[376] |
| § 3 (149—154). К доказательству теоремы Эйзенштейна | 155[378] |
| § 4 (155—164). Целочисленные степенные ряды рациональных функций | 157[381] |
| § 5 (165—173). Теоретико-функциональные свойства целочисленных |
| степенных рядов | 158[383] |
| § 6 (174—187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица | 159[385] |
| § 7 (188—193). Значения степенных рядов, сходящихся в окрестности |
| точки z=∞, в целочисленных точках | 162[388] |
| |
| Г л а в а 4 |
| Об алгебраических целых числах |
| |
| § 1 (194—203). Алгебраические целые числа. Поля | 163[391] |
| § 2 (204—220). Наибольший общий делитель | 165[393] |
| § 3 (221—227). Сравнения | 168[398] |
| § 4 (228—237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов | 169[399] |
| |
| Г л а в а 5 |
| Смешанные задачи |
| |
| § 1 (238—244). Плоская квадратная целая решётка | 171[401] |
| § 2 (245—266). Смешанные задачи | 173[404] |
| |
| О Т Д Е Л Д Е В Я Т Ы Й (приложение) |
| НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ |
| |
| (1—25) | 177[413] |
| |
| Предметный указатель | 428 |
