Монография известных итальянских учёных содержит весьма подробное и вместе с тем доступное изложение метода точного интегрирования ряда классов нелинейных уравнений в частных производных (основанного на изучении спектральных свойств некоторых линейных дифференциальных операторов), который дал начало развитию новой области математической физики, называемой теорией солитонов. Даётся полный обзор современного состояния теории солитонов, излагаются новые результаты, полученные авторами.

Для специалистов, аспирантов и студентов, интересующихся теорией солитонов и её приложениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, не содержащие малого параметра, долгое время были для аналитиков «вещью в себе», к которой не имелось никаких подходов. Самое большее, на что можно было рассчитывать — это на вычисление отдельных классов точных решений, обычно связанных с группами симметрии, допускаемыми уравнениями. В тех случаях, когда этого было недостаточно, оставалось полагаться на вычисления на ЭВМ, возможности которых, несмотря на колоссальный прогресс в этой области, возрастают, с точки зрения специалиста по математической физике, довольно медленно.

В такой ситуации действительчо важным событием было появление в октябре 1967 г. небольшой статьи Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, посвящённой уравнению Кортевега — де Вриза. В этой статье было показано, что уравнение Кортевега — де Вриза можно представить как условие совместности двух линейных дифференциальных уравнений, одно Из которых оказалось одномерным стационарным уравнением Шрёдингера. Данное обстоятельство позволило авторам предложить процедуру построения бесконечных наборов точных решений уравнения Кортевега — де Вриза, в известном смысле полностью его проинтегрировать. Появлению упомянутой статьи предшествовала длительная история.

Уравнение Кортевега — де Вриза было выведено в конце прошлого века в связи с задачами о длинных волнах на поверхности жидкости конечной глубины. Интерес к нему возобновился в начале 60-х годов нашего века, когда выяснилось, что оно описывает некоторые типы волн в плазме. Вскоре стало ясно, что это уравнение имеет универсальный физический смысл, будучи приложимо ко всем ситуациям, в которых рассматриваются нелинейные волны в средах со слабой дисперсией. Это обстоятельство стимулировало работу по численному и аналитическому изучению уравнения Кортевега — де Вриза, определённый этап которой завершился статьёй Гарднера, Грина, Крускала и Миуры.

Вместе с тем эта статья явилась началом нового этапа развития не только теории уравнения Кортевега — де Вриза, но и теории нелинейных уравнений в частных производных вообще. Как показали последующие исследования, в статье названных авторов был найден совершенно новый подход к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Изложению его и посвящена предлагаемая читателю монография двух известных итальянских учёных.

В новой области науки не сразу устанавливается терминология. Авторы называют предмет своей книги «методом спектральных преобразований». Встречаются и другие названия этого метода. В советской литературе прочно утвердился термин «метод обратной задачи рассеяния». Неполные два десятилетия развития этого метода совершенно изменили наше интуитивное отношение к нелинейным уравнениям в частных производных. Если речь идёт об уравнениях весьма общего вида, то к ним по-прежнему не существует сколько-нибудь эффективных подходов. Но если интересующее исследователя уравнение встречается в приложениях, особенно в нескольких задачах разного физическогоо характера, то можно думать, что это уравнение обладает уникальными свойствами, благодаря которым к нему применимы в том или ином варианте развитые за последнее время мощные математические методы, и что борьба за его далеко продвинутое аналитическое исследование не безнадёжна. Конечно, так случается не всегда. К ряду важных задач нелинейной математической физики, имеющих универсальное значение (например, к уравнениям Янга-Миллса в пространстве Минковского), математика ещё не нашла эффективных подходов. Тем не менее уравнения нелинейной математической физики, поддающиеся глубокому аналитическому исследованию, в настоящее время исчисляются многими десятками. Эти уравнения часто называют интегрируемыми, хотя интегрируемость в другом смысле слова доказана лишь для немногих из них. Число интегрируемых уравнений продолжает возрастать.

Характерной чертой интегрируемых уравнений является существование у них специальных точных решений — солитонов. Солитоны наиболее интересны с точки зрения физических приложений теории. Они представляют собой локализованные в пространстве и во времени объекты, отличающиеся значительной устойчивостью и сохраняющиеся при столкновениях. Новейшее развитие теоретической физики показало, что солитоны играют важную роль во многих физических ситуациях — в гидродинамике, в физике плазмы, в физике конденсированных сред, в теории элементарных частиц и в космологии. Далеко не всегда реальные физические солитоны описываются исключительными с математической точки зрения интегрируемыми нелинейными уравнениями. Однако такие ситуации случаются довольно часто. Математическая теория солитонов, как иногда называют теорию нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных, имеет очень большие перспективы в физических приложениях.

В сложившейся ситуации появление обобщающих монографий, посвящённых методу обратной задачи, — давно назревшая необходимость. Выход каждой такой монографии в свет — событие, приветствуемое и узким кругом специалистов, и широким кругом просто интересующихся. Таких монографий существует пока немного. Одной из первых была книга известного специалиста по нелинейной оптике Дж. Лэма-младшего «Элементы теории солитонов» (изд-во Дж. Уайли, США, 1980; русский перевод: Москва, изд-во «Мир», 1983). Одновременно с ней в СССР появилась монография «Теория солитонов — метод обратной задачи рассеяния» (авторы В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский; англ, перевод: изд-во «Плинум Пресс», США, 1984). В 1981 г. в США вышла в свет книга М. Абловица и Х. Сегюра «Солитоны и преобразование обратной задачи». Любопытно, что, хотя основное содержание всех трёх книг по преимуществу математическое, все их авторы, кроме академика С. П. Новикова, по образованию и своей первоначальной специализации не математики, а физики-теоретики, занявшиеся математическими проблемами сначала лишь в связи с их физическими приложениями, а впоследствии всерьёз увлекшиеся ими. В этом смысле монография, русский перевод первого тома которой предлагается вниманию читателя, не составляет исключения. Она написана профессором Римского университета Ф. Калоджеро и его учеником, профессором того же университета А. Дегасперисом и была издана в Голландии в 1982 г. Имя профессора Ф. Калоджеро хорошо известно в СССР Видный деятель Пагуошского движения, частый гость СССР, он заслужил известность ещё раньше своими работами по квантовой теории рассеяния и ядерной физике. Его книга «Метод фазовых функций в теории рассеяния» была издана в СССР в 1964 г. В последние полтора десятилетия Ф. Калоджеро создал в Италии научную школу, специализирующуюся по теории солитонов и нелинейным дифференциальным уравнениям.

За сравнительно короткое время развития метода обратной задачи учёными разных стран — СССР, США, Италии, Англии, Японии и др. — был накоплен огромный фактический материал, изложить который в одной книге практически невозможно. Было разработано несколько различных подходов к этой проблеме, в конечном счёте приводящих к одним и тем же результатам. Один из таких подходов был создан в итальянской школе. В основе его лежит исследование некоторых алгебраических свойств нелинейных интегрируемых уравнений.

Каждое из таких уравнений, как и уравнение Кортевега — де Вриза, является условием совместности по крайней мере двух линейных дифференциальных уравнений. Для широкого класса задач, рассматриваемых в данной книге, одно из этих уравнений является обыкновенным. Спектральная теория соответствующего дифференциального оператора и играет основную роль. Ф. Калоджеро и А. Дегасперис предлагают оригинальный путь построения этой теории, основанный на найденном ими «интегральном соотношении вронскиана».

В первом томе этот подход развивается для одномерного оператора Шрёдингера. В соответствии с этим авторы занимаются в основном теорией уравнения Кортевега — де Вриза и его высших аналогов, хотя и предъявляют внушительный список других интегрируемых уравнений, теория которых должна составить содержание второго тома. При помощи развитой ими техники, позволяющей вычислять вронскианы между решениями двух разных уравнений Шрёдингера, авторы получают все известные результаты одномерной квантовомеханической теории рассеяния, а также легко воспроизводят теорию рекурсионного оператора, восходящего к известной работе Абловица, Каупа, Ньюелла и Сегюра 1974 г.

Техника вронскианов оказывается также достаточно гибкой, чтобы можно было развить для уравнения Кортевега — де Вриза и его аналогов теорию преобразований Бэклунда и Дарбу, дать компактные формулы для законов сохранения и построить для найденных уравнений гамильтоновский формализм. (Последнему пункту, на наш взгляд, в монографии уделяется недостаточное внимание.) Кроме того, техника вронскианов позволила авторам получить ряд достаточно важных новых результатов, также нашедших отражение в монографии. К их числу относится построение интегрируемых уравнений с коэффициентами, зависящими от пространственной координаты, а также первое построение многомерных интегрируемых уравнений, относящихся, согласно современной терминологии, ко «второму методу многомеризании». Книга Калоджеро и Дегаспериса богата материалом по квантовой теории рассеяния, в которой оба автора являются видными специалисгами. Так, они подробно рассматривает тонкий вопрос о спектральной особенности при нулевой энергии, приводят интересные теоремы о критериях существования собственных значений и их числе, подробно рассматривают потенциалы, для которых прямая задача рассеяния имеет точное решение. Всё это делает книгу ценным пособием для справок по одномерной квантовой теории рассеяния.

Книга снабжена богатой библиографией, в которой достаточно полно отражены труды советских учёных. В ряде случаев можно не соглашаться с терминологическими новациями, вводимыми авторами (например, предложением называть «солитронами» солитоны в неинтегрируемых уравнениях), но в общем книга Калоджеро и Дегаспериса заслуживает высокой оценки. Она, несомненно, будет полезна специалистам и по нелинейным интегрируемым уравнениям и по квантовой теории рассеяния, а также всем желающим ознакомиться с обоими названными предметами.

Предисловие, гл. 1—3 (§ 1, § 2, п. А, Б) и дополнения 1—10 перевела Н. Т. Пащенко; гл. 3 (§ 2, п. В) —- 6 и дополнения 11—23 перевёл М. А. Ольшанецкий.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В. Е. Захаров

Книги на ту же тему

1. Солитоны и нелинейные волновые уравнения, Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис Х., 1988
2. Солитоны и метод обратной задачи, Абловиц М., Сигур Х., 1987
3. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения, Богоявленский О. И., 1991
4. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике, Скотт Э., 1977
5. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде, Юэн Г., Лэйк Б., 1987
6. Известия высших учебных заведений. Радиофизика: Нелинейные волны, 1976
7. Нелинейные волны в диспергирующих средах, Карпман В. И., 1973
8. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса, Заславский Г. М., Сагдеев Р. З., 1988
9. Солитоны в математике и физике, Ньюэлл А. С., 1989
10. Нелинейные волны 2012, Литвак А. Г., Некоркин В. И., ред., 2013
11. Нелинейные волны, Лейбович С., Сибасс А., ред., 1977
12. Взаимодействие волн в неоднородных средах, Заславский Г. М., Мейтлис В. П., Филоненко Н. Н., 1982
13. Нелинейная теория распространения волн, Лайтхилл М., ред., 1970
14. Линейные и нелинейные волны, Уизем Д., 1977
15. Введение в нелинейную физику плазмы, Кингсеп А. С., 2004
16. Итоги науки и техники: Физика плазмы. Том 4, Шафранов В. Д., ред., 1983
17. Квазиодномерные магнитные солитоны, Борисов А. Б., Киселёв В. В., 2014
18. Избранные труды. Нелинейные волны в океане, Воляк К. И., 2002
19. Нелинейная динамика поверхностных вод суши, Найденов В. И., 2004
20. Лекции по нелинейному функциональному анализу, Ниренберг Л., 1977
21. Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
22. Методы анализа нелинейных математических моделей, Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М., 1991
23. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977