В книге излагается теория устойчивости разностных схем, рассматриваемых как операторно-разностные уравнения в гильбертовом пространстве. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных и трёхслойных разностных схем общего вида и рассмотрены многочисленные приложения теории к конкретным разностным схемам, аппроксимирующим задачи математической физики.

Книга рассчитана на специалистов в области вычислительной математики, аспирантов и студентов, физико-математических факультетов.

Библ. 295 названий.

Область применения численных методов в настоящее время стремительно расширяется, охватывая основные разделы физики и техники. Для описания большинства физических процессов используются те или иные математические модели, обычно представляющие собой дифференциальные уравнения в частных производных (уравнения математической физики).

Для решения на быстродействующих цифровых вычислительных машинах уравнений математической физики широко применяется метод конечных разностей.

Опыт численного решения сложных задач физики и техники стимулировал постановку ряда теоретических проблем, вызвал потребность глубокого изучения машинно-ориентированных численных методов.

От теории разностных схем естественно требовать, чтобы она была достаточно общей (т. е. не зависела от конкретного вида разностных операторов, а использовала лишь их функциональные свойства) и эффективной, т. е. удобной в применении к конкретным разностным схемам.

Проведение численных экспериментов предъявляет к разностным методам ряд жёстких требований, таких, например, как достаточная точность, устойчивость схемы, экономичность по числу действий. Поэтому от теории разностных схем требуется формулировка простых правил построения схем заданного качества. Чтобы получить схему требуемого качества, надо задать исходное семейство схем, в котором осуществляется выбор. Прежде всего надо дать определение объекта исследований, т. е. разностной схемы. От этого понятия зависит выбор средств исследования. Мы определяем разностную схему либо как семейство операторных уравнений (что является аналогом стационарных задач математической физики), зависящих от параметра («шага» сетки), либо как семейство операторно-разностных схем, которые являются разностными по t уравнениями с операторными коэффициентами. Операторно-разностные схемы являются аналогами нестационарных уравнений математической физики. Исходное семейство схем задано, если заданы коэффициенты схемы как операторы, действующие в некотором абстрактном пространстве.

Одним из основных вопросов теории разностных схем является устойчивость. Известно, что разностные схемы, соответствующие корректно поставленным задачам математической физики, могут быть неустойчивыми. Поэтому отыскание классов устойчивых схем является важной теоретической проблемой. Эти классы определены, если выполнены достаточные условия устойчивости.

Данная книга посвящена систематическому изложению теории устойчивости разностных схем. Отправным пунктом излагаемой теории является признание того факта, что устойчивость есть внутреннее свойство схемы, не зависящее от таких свойств, как аппроксимация и сходимость. Поэтому устойчивость можно изучать независимо от сходимости.

В основу настоящей книги положена концепция устойчивости, предложенная в работах А. А. Самарского и развитая в последующих работах А. А. Самарского и А. В. Гулина. Аналогичное изложение некоторых принципиальных вопросов теории устойчивости разностных схем имеется также в книге А. А. Самарского.

Основное внимание в книге уделяется изучению устойчивости линейных двухслойных и трёхслойных операторно-разностных схем. Полученные необходимые и достаточные условия устойчивости представляют собой линейные операторные неравенства, удобные для проверки в случае разностных схем, порождённых уравнениями в частных производных. Эти условия устойчивости выделяют из исходного семейства классы устойчивых схем. Поиск схем нужного качества можно вести в классе устойчивых схем. Следствием теории устойчивости является метод регуляризации в классе устойчивых схем для отыскания схем заданного качества.

Существенную роль в теории играет каноническая форма записи схем. Отметим, что в этой же форме записываются итерационные схемы для решения операторных уравнений. Это позволяет строить теорию итерационных методов как раздел теории устойчивости операторно-разностных схем.

В книге используются лишь элементарные понятия функционального анализа и линейной алгебры, такие как норма оператора, сопряжённый оператор, операторное неравенство и т. п. Так, не используется спектральная теория операторов. Основным инструментом исследования устойчивости является аппарат операторных неравенств и априорных оценок в гильбертовом пространстве.

В книге уделяется большое внимание примерам применения общей теории устойчивости к многочисленным конкретным схемам; эти примеры демонстрируют эффективность теории.

Следует отметить, что изучению устойчивости разностных схем посвящено значительное количество работ, в которых предлагаются различные определения устойчивости, используются различные математические средства и получены многочисленные трудно сопоставимые результаты. Укажем, например, книги В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова, Р. Рихтмайера и К. Мортона, С. К. Годунова и В. С. Рябенького, в которых рассматриваются вопросы устойчивости и приведена соответствующая литература.

Для чтения данной книги желательно знакомство с элементами теории разностных схем (например, в объёме первых двух глав книги А. А. Самарского). Предполагается также, что читатель знаком с постановками типичных задач математической физики, например, в объёме книги «Уравнения математической физики» А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. Необходимые сведения из функционального анализа можно найти в первых главах книг Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова, Л. А. Люстерника и В. И. Соболева.

Авторы выражают благодарность И. В. Фрязинову за обсуждение ряда вопросов, связанных с проблематикой этой книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ
А. А. Самарский, А. В. Гулин

Книги на ту же тему

1. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики, Ковеня В. М., Тарнавский Г. А., Чёрный С. Г., 1990
2. Повышение точности решений разностных схем, Марчук Г. И., Шайдуров В. В., 1979
3. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
4. Управляемый термоядерный синтез, Киллин Д., ред., 1980
5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
6. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
7. Вычислительные методы в физике реакторов, Гринспен Х., Келбер К., Окрент Д., ред., 1972
8. Вычислительные методы в физике, Поттер Д., 1975
9. Разностные методы решения краевых задач, Рихтмайер Р., Мортон К., 1972
10. Численные методы расчёта одномерных систем, Воеводин А. Ф., Шугрин С. М., 1981
11. Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
12. Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
13. Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
14. Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Вабищевич П. Н., 1991
15. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
16. Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
17. Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
18. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
19. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
20. Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу, Белоцерковский О. М., Опарин А. М., 2001
21. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
22. Лекции по методам вычислений, Гавурин М. К., 1971
23. Численные методы, алгоритмы и программы. Введение в распараллеливание: Учебное пособие для вузов, Карпов В. Е., Лобанов А. И., 2014
24. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2-х томах (комплект из 2 книг), Бахвалов Н. С., Воеводин В. В., Дымников В. П., ред., 2005
25. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
26. Методы граничных элементов в прикладных науках, Бенерджи П. К., Баттерфилд Р., 1984
27. Численные методы прогноза погоды, Белов П. Н., Борисенков Е. П., Панин Б. Д., 1989
28. Аддитивные схемы для задач математической физики, Самарский А. А., Вабищевич П. Н., 2001
29. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах (комплект из 2 книг), Андерсон Д., Таннехилл Д., Плетчер Р., 1990
30. Численное решение задач гидромеханики, Рихтмайер Р., ред., 1977
31. Технология разреженных матриц, Писсанецки С., 1988
32. Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
33. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
34. Прямые методы для разреженных матриц, Эстербю О., Златев З., 1987
35. Итерационные методы для разреженных линейных систем: Учебное пособие. — В 2-х томах. Том 1, Саад Ю., 2013
36. Численное моделирование методом частиц, Хокни Р., Иствуд Д., 1987
37. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках, Григорьев Ю. Н., Вшивков В. А., Федорук М. П., 2004
38. Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
39. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
40. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
41. Возможности вычислительных машин и человеческий разум. От суждений к вычислениям, Вейценбаум Д., 1982
42. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
43. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
44. Функции Ляпунова, Барбашин Е. А., 1970
45. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
46. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике, Хеерман Д. В., 1990
47. Проливы Мирового океана. Общий подход к моделированию, Андросов А. А., Вольцингер Н. Е., 2005
48. Математические модели циркуляции в океане, Марчук Г. И., Кочергин В. П., Саркисян А. С., Бубнов М. А., Залесный В. Б., Климок В. И., Кордзадзе А. А., Кузин В. И., Протасов А. В., Сухоруков В. А., Цветова Е. А., Щербаков А. В., 1980