В книге излагается теория устойчивости разностных схем, рассматриваемых как операторно-разностные уравнения в гильбертовом пространстве. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных и трёхслойных разностных схем общего вида и рассмотрены многочисленные приложения теории к конкретным разностным схемам, аппроксимирующим задачи математической физики.

Книга рассчитана на специалистов в области вычислительной математики, аспирантов и студентов, физико-математических факультетов.

Библ. 295 названий.

Область применения численных методов в настоящее время стремительно расширяется, охватывая основные разделы физики и техники. Для описания большинства физических процессов используются те или иные математические модели, обычно представляющие собой дифференциальные уравнения в частных производных (уравнения математической физики).

Для решения на быстродействующих цифровых вычислительных машинах уравнений математической физики широко применяется метод конечных разностей.

Опыт численного решения сложных задач физики и техники стимулировал постановку ряда теоретических проблем, вызвал потребность глубокого изучения машинно-ориентированных численных методов.

От теории разностных схем естественно требовать, чтобы она была достаточно общей (т. е. не зависела от конкретного вида разностных операторов, а использовала лишь их функциональные свойства) и эффективной, т. е. удобной в применении к конкретным разностным схемам.

Проведение численных экспериментов предъявляет к разностным методам ряд жёстких требований, таких, например, как достаточная точность, устойчивость схемы, экономичность по числу действий. Поэтому от теории разностных схем требуется формулировка простых правил построения схем заданного качества. Чтобы получить схему требуемого качества, надо задать исходное семейство схем, в котором осуществляется выбор. Прежде всего надо дать определение объекта исследований, т. е. разностной схемы. От этого понятия зависит выбор средств исследования. Мы определяем разностную схему либо как семейство операторных уравнений (что является аналогом стационарных задач математической физики), зависящих от параметра («шага» сетки), либо как семейство операторно-разностных схем, которые являются разностными по t уравнениями с операторными коэффициентами. Операторно-разностные схемы являются аналогами нестационарных уравнений математической физики. Исходное семейство схем задано, если заданы коэффициенты схемы как операторы, действующие в некотором абстрактном пространстве.

Одним из основных вопросов теории разностных схем является устойчивость. Известно, что разностные схемы, соответствующие корректно поставленным задачам математической физики, могут быть неустойчивыми. Поэтому отыскание классов устойчивых схем является важной теоретической проблемой. Эти классы определены, если выполнены достаточные условия устойчивости.

Данная книга посвящена систематическому изложению теории устойчивости разностных схем. Отправным пунктом излагаемой теории является признание того факта, что устойчивость есть внутреннее свойство схемы, не зависящее от таких свойств, как аппроксимация и сходимость. Поэтому устойчивость можно изучать независимо от сходимости.

В основу настоящей книги положена концепция устойчивости, предложенная в работах А. А. Самарского и развитая в последующих работах А. А. Самарского и А. В. Гулина. Аналогичное изложение некоторых принципиальных вопросов теории устойчивости разностных схем имеется также в книге А. А. Самарского.

Основное внимание в книге уделяется изучению устойчивости линейных двухслойных и трёхслойных операторно-разностных схем. Полученные необходимые и достаточные условия устойчивости представляют собой линейные операторные неравенства, удобные для проверки в случае разностных схем, порождённых уравнениями в частных производных. Эти условия устойчивости выделяют из исходного семейства классы устойчивых схем. Поиск схем нужного качества можно вести в классе устойчивых схем. Следствием теории устойчивости является метод регуляризации в классе устойчивых схем для отыскания схем заданного качества.

Существенную роль в теории играет каноническая форма записи схем. Отметим, что в этой же форме записываются итерационные схемы для решения операторных уравнений. Это позволяет строить теорию итерационных методов как раздел теории устойчивости операторно-разностных схем.

В книге используются лишь элементарные понятия функционального анализа и линейной алгебры, такие как норма оператора, сопряжённый оператор, операторное неравенство и т. п. Так, не используется спектральная теория операторов. Основным инструментом исследования устойчивости является аппарат операторных неравенств и априорных оценок в гильбертовом пространстве.

В книге уделяется большое внимание примерам применения общей теории устойчивости к многочисленным конкретным схемам; эти примеры демонстрируют эффективность теории.

Следует отметить, что изучению устойчивости разностных схем посвящено значительное количество работ, в которых предлагаются различные определения устойчивости, используются различные математические средства и получены многочисленные трудно сопоставимые результаты. Укажем, например, книги В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова, Р. Рихтмайера и К. Мортона, С. К. Годунова и В. С. Рябенького, в которых рассматриваются вопросы устойчивости и приведена соответствующая литература.

Для чтения данной книги желательно знакомство с элементами теории разностных схем (например, в объёме первых двух глав книги А. А. Самарского). Предполагается также, что читатель знаком с постановками типичных задач математической физики, например, в объёме книги «Уравнения математической физики» А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. Необходимые сведения из функционального анализа можно найти в первых главах книг Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова, Л. А. Люстерника и В. И. Соболева.

Авторы выражают благодарность И. В. Фрязинову за обсуждение ряда вопросов, связанных с проблематикой этой книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ
А. А. Самарский, А. В. Гулин

Предисловие	6
Основные обозначения, принятые в книге	9
Введение	11

Глава I. Разностные схемы	18

§ 1. Примеры разностных аппроксимаций	18
1. Обозначения (18). 2. Аппроксимация простейших дифференциальных выражений (19). 3. Аппроксимация краевых задач для уравнения второго порядка (21). 4. Случай цилиндрических и сферических координат (24). 5. Краевая задача для уравнения четвёртого порядка (26).
§ 2. Свойства некоторых разностных операторов	29
1. Линейные операторы в нормированных пространствах (29). 2. Операторы в гильбертовом пространстве (30). 3. Некоторые разностные тождества и неравенства (34). 4. Оператор второй разностной производной (37). 5. Третья краевая задача (40). 6. Разностные операторы первого порядка (42). 7. Разностные операторы четвёртого порядка (47). 8. Случай комплексных пространств сеточных функций (51). 9. Функции разностных операторов (53).
§ 3. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем	61
1. Устойчивость и сходимость стационарных задач (61). 2. Случай неравномерной сетки (65). 3. Разностные схемы для уравнения переноса (67). 4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности (72). 5. Метод энергетических неравенств (74). 6. Примеры трёхслойных разностных схем (78). 7. Уравнение колебаний стержня (81). 8. Нестационарное уравнение Шрёдингера (84).

Глава II. Устойчивость двухслойных разностных схем	87

§ 1. Устойчивость по начальным данным и по правой части	87
1. Общие понятия (87). 2. Канонические формы двухслойных и трёхслойных разностных схем (89). 3. Устойчивость двухслойной схемы (91). 4. Устойчивость по начальным данным и по правой части (93). 5. Связь между устойчивостью по начальным данным и устойчивостью по правой части (95).
§ 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным	98
1. Операторные неравенства (98). 2. Оценки норм операторов в гильбертовом пространстве (101). 3. Необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем в действительном гильбертовом пространстве (103). 4. Случай несамосопряжённых операторов (107). 5. Метод энергетических неравенств (109). 6. Перестановочные операторы (111). 7. Схема с весами (113). 8. Устойчивость разностных схем в комплексном гильбертовом пространстве (115). 9. Устойчивость разностных схем с переменными операторами (122).
§ 3. Примеры исследования устойчивости разностных схем	129
1. Общие замечания (129). 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности (130). 3. Уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами (138). 4. Уравнение теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах (142). 5. Разностные схемы для уравнения переноса. Задача Коши (145). 6. Краевая задача для уравнения переноса (150). 7. Замечания (155).

Глава III. Устойчивость двухслойных разностных схем по правой части	158

§ 1. Априорные оценки для двухслойных разностных схем	158
1. Сведение схемы общего вида к явной схеме (158). 2. Метод выделеления стационарных неоднородностей (161). 3. Схемы с весами (164). 4. Метод энергетических неравенств (169). 5. Примеры исследования сходимости разностных схем (177).
§ 2. Разностные схемы с несамосопряжёнными операторами	184
1. Несамосопряжённый оператор А (184). 2. Кососимметричный оператор А (189). 3. Случай знаконеопределённого оператора А (191).
§ 3. Другие методы исследования устойчивости	194
1. Метод разделения переменных (194). 2. Асимптотическая устойчивость (201). 3. Пример асимптотически устойчивой схемы (205). 4. Другие априорные оценки (208). 5. Замечания и примеры (214).

Глава IV. Устойчивость многослойных разностных схем	218

§ 1. Достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трёхслойных разностных схем	218
1. Пространство H^m (218). 2. Определение устойчивости многослойной разностной схемы (220). 3. Линейные операторы в пространстве H² (221). 4. Исследование устойчивости трёхслойных разностных схем методом энергетических неравенств (224). 5. Представление трёхслойной схемы в виде двухслойной (227). 6. Достаточные условия устойчивости трёхслойных разностных схем (230). 7. Устойчивость в более простых нормах (233) 8. Устойчивость по правой части (236). 9. Трёхслойные схемы с весами (238). 10. Примеры трёхслойных разностных схем (241).
§ 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости трёхслойных разностных схем	244
1. Общий вид условий устойчивости (244). 2. Приложение к двухслойным схемам (248). 3. Необходимые и достаточные условия устойчивости трёхслойных разностных схем по начальным данным (252). 4. Устойчивость по правой части. Случай ρ= 1 (257). 5. Случай произвольного ρ > 0 (260). 6. Устойчивость трёхслойных разностных схем с несамосопряжёнными операторами (263). 7. Другие теоремы об устойчивости трёхслойных схем с несамосопряжёнными операторами (268).
§ 3. Устойчивость четырёхслойных и пятислойных разностных схем	273
1. Канонический вид и достаточные условия устойчивости четырёхслойных разностных схем (273). 2. Канонический вид и достаточные условия устойчивости пятислойных разностных схем (274). 3. Устойчивость обыкновенных разностных уравнений (278). 4. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным четырёхслойных и пятислойных разностных схем (280). 5. Устойчивость по правой части (283).
§ 4. Примеры исследования устойчивости разностных схем	285
1. Разностные схемы для телеграфного уравнения и уравнения Шрёдингера (285). 2. Схемы для уравнения типа С. Л. Соболева и для уравнения колебаний стержня (290). 3. Уравнения с особенностями (292). 4. Трёхслойные разностные схемы с несамосопряжёнными операторами (294). 5. Схема с весами для уравнений акустики (298). 6. Двумерная система уравнений акустики (301). 7. Система уравнений акустики с учётом теплопроводности (304).

Глава V. Дополнение	308

§ 1. Разностные схемы для многомерных задач математической физики	308
1. Общие замечания (308). 2. Простейшие разностные эллиптические операторы (311). 3. Многомерные схемы (314). 4. Схемы переменных направлений (317). 5. Двухслойные схемы повышенного порядка точности для уравнения теплопроводности (320). 6. Трёхслойные экономичные схемы (325). 7. Аддитивные схемы (331). 8. Достаточные условия устойчивости аддитивных схем (333). 9. Примеры аддитивных схем (335).
§ 2. Принцип максимума. Априорные оценки в равномерной метрике	339
1. Каноническое уравнение (339). 2. Принцип максимума и априорные оценки (342). 3. Примеры (348). 4. Многомерная задача (355). 5. Применение принципа максимума для исследования устойчивости в С простейшей аддитивной схемы (357).
§ 3. Обзор работ по устойчивости разностных схем	362
1. Введение (362). 2. Исследование устойчивости разностных схем методом преобразования Фурье (366). 3. Библиографический обзор (370). 4. Гиперболические системы уравнений (373). 5. Другие способы исследования устойчивости разностной задачи Коши (377). 6. Исследование устойчивости нестационарных краевых задач (380). 7. Принцип замороженных коэффициентов (382). 8. Аналогия с итерационными методами (387). 9. Связь с теорией устойчивости по Ляпунову (390).

Задачи	396
Литература	400
Предметный указатель	414

Книги на ту же тему

Применение метода расщепления в задачах аэродинамики, Ковеня В. М., Тарнавский Г. А., Чёрный С. Г., 1990
Повышение точности решений разностных схем, Марчук Г. И., Шайдуров В. В., 1979
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Управляемый термоядерный синтез, Киллин Д., ред., 1980
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
Вычислительные методы в физике реакторов, Гринспен Х., Келбер К., Окрент Д., ред., 1972
Вычислительные методы в физике, Поттер Д., 1975
Разностные методы решения краевых задач, Рихтмайер Р., Мортон К., 1972
Численные методы расчёта одномерных систем, Воеводин А. Ф., Шугрин С. М., 1981
Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Вабищевич П. Н., 1991
Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу, Белоцерковский О. М., Опарин А. М., 2001
Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
Лекции по методам вычислений, Гавурин М. К., 1971
Численные методы, алгоритмы и программы. Введение в распараллеливание: Учебное пособие для вузов, Карпов В. Е., Лобанов А. И., 2014
Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2-х томах (комплект из 2 книг), Бахвалов Н. С., Воеводин В. В., Дымников В. П., ред., 2005
Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
Методы граничных элементов в прикладных науках, Бенерджи П. К., Баттерфилд Р., 1984
Численные методы прогноза погоды, Белов П. Н., Борисенков Е. П., Панин Б. Д., 1989
Аддитивные схемы для задач математической физики, Самарский А. А., Вабищевич П. Н., 2001
Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах (комплект из 2 книг), Андерсон Д., Таннехилл Д., Плетчер Р., 1990
Численное решение задач гидромеханики, Рихтмайер Р., ред., 1977
Технология разреженных матриц, Писсанецки С., 1988
Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
Прямые методы для разреженных матриц, Эстербю О., Златев З., 1987
Итерационные методы для разреженных линейных систем: Учебное пособие. — В 2-х томах. Том 1, Саад Ю., 2013
Численное моделирование методом частиц, Хокни Р., Иствуд Д., 1987
Численное моделирование методами частиц-в-ячейках, Григорьев Ю. Н., Вшивков В. А., Федорук М. П., 2004
Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
Возможности вычислительных машин и человеческий разум. От суждений к вычислениям, Вейценбаум Д., 1982
Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
Функции Ляпунова, Барбашин Е. А., 1970
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике, Хеерман Д. В., 1990
Проливы Мирового океана. Общий подход к моделированию, Андросов А. А., Вольцингер Н. Е., 2005
Математические модели циркуляции в океане, Марчук Г. И., Кочергин В. П., Саркисян А. С., Бубнов М. А., Залесный В. Б., Климок В. И., Кордзадзе А. А., Кузин В. И., Протасов А. В., Сухоруков В. А., Цветова Е. А., Щербаков А. В., 1980

elapsed time 0.021 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему